2024-2025学年北京四十四中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京四十四中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列命题是真命题的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 四个角都相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4.在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则( )
A. B. C. D. 以上都有可能
5.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”，在一次女子单人米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示设甲、乙的平均分依次为，，方差依次为，以下四个推断中，正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.在直角坐标系中，点在直线上，为原点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方形中，为边上一点点不与点，重合，于，并交于点，交延长线于点给出下面三个结论：
；
；
．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. 仅有 B. 仅有 C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.要使式子有意义，则的取值范围是______．
10.方程是关于的一元二次方程，则的值为______．
11.如果一次函数的图象经过，且随的增大而增大，那么这个一次函数的解析式可以是 写出一个即可．
12.菱形的面积为，对角线的长为，则的长为 ．
13.如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地米，将它往前推米时，踏板离地米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是______米
14.如图，菱形的对角线，相交于点，为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为 ．
15.如图，正比例函数与一次函数的图象交于点下面四个结论：
；
；
不等式的解集是；
当时，．
其中正确的是______．
16.如图，在平面直角坐标系中四边形为正方形，点的坐标为若直线：和直线：被正方形的边所截得的线段长度相等，写出和满足的数量关系______．
三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
；
；
；
．
18.本小题分
如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形．
求作： ，使．
作法：如图，
分别以点，为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点，；
作直线；
以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于点，连接；
以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于点，连接．
则四边形即为所求作的平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
的大小为______；
判定四边形是平行四边形的依据是______；
用等式表示平行四边形的面积和矩形的面积的数量关系为______．
19.本小题分
一个一次函数的图象经过和两点．
求该一次函数的表达式；
作出该一次函数的图象；
结合图象回答：当时，的取值范围是______．
20.本小题分
数学课上老师提出一个命题：如果四边形和都是平行四边形，则四边形也是平行四边形．
下面是某同学根据自己画出的图形给出的证明过程．
证明：因为是平行四边形，
所以，．
又因为也是平行四边形，
所以，．
所以，．
即．
所以四边形是平行四边形．
讨论后大家发现这个证明过程存在问题．
请说明该同学证明中出现的问题；
给出正确的证明．
21.本小题分
关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
若点的横坐标为，求的值；
若关于的不等式有且只有个正整数解，直接写出的取值范围．
23.本小题分
如图，中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接．
求证：四边形是菱形；
连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
24.本小题分
某校举办了一场游泳比赛，年级初选出名学生代表将名学生代表米自由泳所用时间数据整理如下：
名学生代表米自由泳所用时间单位：秒：
，，，，，，，，，
名学生代表米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数单位：秒；
平均数 中位数 众数
写出表中，的值；
部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若次日常训练的平均用时低于名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
甲乙两位同学次日常训练的用时如表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是______填“甲”或“乙”；
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲同学日常训练用时
乙同学日常训练用时
丙同学前次训练的用时为，，，，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第次训练的用时的要求为：______．
25.本小题分
我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题：已知：二次函数中的和满足如表：
可求得的值为______；
求出这个二次函数的解析式；
画出函数图象；
当时，则的取值范围为______．
26.本小题分
在正方形中，是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接．
如图，当点在线段上时不与端点，重合．
求证：；
求证：；
如图，当点在线段的延长线上时，依题意补全图并用等式表示线段，，之间的数量关系．
27.本小题分
已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．
若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是______；
点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围；
点为正方形边上一动点，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.答案不唯一
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：原式
．
原式
．
，
，
所以，．
，
，
，
，
则，
所以．
18.解：
连接，
由作图知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；
四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
设与交于，
，，
，
故答案为：．
19.解：设一次函数解析式为，
把和分别代入得，
解得，
所以一次函数解析式为；
如图，
．
20.解：题中没有指明、、三点共线，、、三点共线，
由，不能得到；
证明：四边形是平行四边形，
，，
四边形也是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形．
21.证明：，，，
，
此方程总有两个实数根．
解：，
．
，．
此方程有一个根小于．
．
．
22.解：当时，，
，
函数经过，
，
；
设，
由图象得：的解集为，且有个正整数解，
，
当时，，
当时，，
的取值范围为：．
23.证明：平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
的长为．
24.，．
乙．
设丙同学第次训练的用时为．
根据题意，得，即，解得．
25.．
由题意，设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
．
抛物线解析式为．
由的关系式，可以作图如下，
．
26.证明：，
，
四边形是正方形，
，
，
，
；
如图，过点作于，
，
，
四边形是正方形，
，
由知：，
≌，
，，
，，
，
，
；
解：线段，，之间的数量关系为：，理由如下：
如图，过点作于，
，
，
，
由同理得：，
≌，
，，
，
；
27.解：设是正方形上一点，则有，
，解得：，
在正方形上，
是正方形关于点的倍点；
同理可得：不满足条件，满足条件，
正方形关于点的倍点为，，
故答案为：，；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则，解得：，
点在直线上，则，
，
，即，
解得：；
或．
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