2024-2025学年四川省泸州市龙马潭区两校联考九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省泸州市龙马潭区两校联考九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是( )
甲 乙 丙 丁
平均分
方差
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.如图，在 中，已知，，平分交边于点，则等于( )
A. B.
C. D.
5.如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知点，都在直线上，则，大小关系是( )
A. B. C. D. 不能比较
7.下列说法错误的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等
C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
8.关于的方程的解是( )
A. B. C. D. 或
9.的三边长分别为，，，下列条件：；：：：：；；：：：：，其中能判断是直角三角形的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，则重叠部分的面积是( )
A. B. C. D.
12.关于的方程是一元二次方程，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.在函数中，自变量的取值范围是______．
14.已知直线和直线平行，且过点，则此直线解析式为______．
15.已知直线与的交点为，则方程组的解是______．
16.在正方形中，在上，，，是上的动点，则和的长度之和最小是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值，，其中．
19.本小题分
如图， 中，点、分别在、上，且求证：．
20.本小题分
书籍是人类进步的阶梯．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生本学期阅读课外书的册数，并绘制出如图统计图．
共抽查了多少名学生？
请补全条形统计图，并写出被抽查学生本学期阅读课外书册数的众数、中位数；
根据抽查结果，请估计该校名学生中本学期课外阅读册书的学生人数．
21.本小题分
已知雅美服装厂现有种布料米，种布料米，现计划用这两种布料生产、两种型号的时装共套．已知做一套型号的时装需用种布料米，种布料米，可获利元；做一套型号的时装需用种布料米，种布料米，可获利元．设生产型号的时装套数为，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为元．
求元与套的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
当型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象经过点，且与轴交于点，与直线：交于点，点的横坐标为．
求直线的解析式；
直接写出关于的不等式的解集；
若是轴上的点，且，求点的坐标．
23.本小题分
已知：如图，在正方形中，点、分别在和上，．
求证：；
连接交于点，延长至点，使，连接，，判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
24.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
当为何值时，是等边三角形？说明理由；
当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴、轴交于点、，且与直线：交于点．
分别求出点、、的坐标；
若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：原式
．
18.解：原式
，
，
原式
．
19.证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，即，
而，
四边形为平行四边形，
．
20.解：名，
共抽查了名学生；
人，
补全条形统计图如图：
阅读册数最多的是册，
阅读课外书册数的众数是，
这个数从小到大排列第和个数都是，
阅读课外书册数的中位数是；
人，
该校名学生中本学期课外阅读册书的学生人数为人．
21.解：，
由题意得，，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以，不等式组的解集是，
为整数，
，，，，，
与的函数关系式是；
，
随的增大而增大，
当时，，
即，生产型号的时装套时，该厂所获利润最大，最大利润是元．
22.解：点在直线上，且点的横坐标为，
把代入得：，
点的坐标是，
直线过点，点，
，
解得：，，
直线的解析式是；
直线和直线的交点的坐标是，
关于的不等式的解集为：；
设，
点为直线与轴的交点，
，解得：，
即，
，
，
解得：，
或．
23.证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
；
解：四边形是菱形，理由为：
证明：四边形是正方形，
正方形的对角线平分一组对角，
正方形四条边相等，
已证，
等式的性质，
即，
在和中，
≌，
，又，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
24.证明：在中，，，，
．
又，
，
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
当是等边三角形时，是等边三角形．
，
．
，，
，
，
当为时，是等边三角形．
四边形是平行四边形，
当为直角三角形时，是直角三角形．
当时，，即，
解得：；
当时，，即，
解得：．
综上所述：当为或时，为直角三角形．
25.解：分别与轴、轴交于点、，
点坐标为，点坐标为，
直线：与直线：交于点．
，
，
点坐标为；
设点坐标为，
的面积为，
，
，
是线段上的点，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：；
若以为边，设点，
如图，
当四边形是菱形，
，，，
，
，舍去，
点，
点；
当四边形是菱形，
，，，
，
舍去，，
点，
点；
若为对角线，
以、、、为顶点的四边形是菱形，
与互相垂直平分，
点的纵坐标为，
点，
点坐标为；
综上所述：点的坐标为或或
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