四川省巴中市普通高中2022级（2025届）“零诊“数学考试（PDF版，含答案）

巴中市高2022级零诊考试
数学参考答案与评分标准
一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
答 案 ： 1 .C;2.A;3.B;4.D;5.A;6.B;7.C;8.B.
二 .多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
答 案 ： 9 .ABD; 10.AC; 11.BC.
三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
答案：12.-32; 13.80π; 14.[ √5,3].
四.解答题：本大题共5小题，共77分.
15. (本小题满分13分，第(1)问6分，第(2)问7分)
已知数列{a,}的首项 ,且满足
(1)证明：数列 为等比数列；
(2) 求满足条件的最大整数n.
解：(1)由 且 知 a,>0 … ……………… ………2分
变形 )…………… …………………… ………4分
由 得 1… …… ………………………… ………………5分
∴ 数 列 是以1为首项， 为公比的等比数列…………………………6分
(2)山(1) , ...……… …… 7
分
…… … 8 分
等价于
即 7… … …… …… ……………… …….…9分
",则
∴f(n) 单调递增… ………… …………… ………………… … … 10分
,
…………………… …………………11分
………… … ………………… …12分
∴ 使f(n)<47 成立的最大整数为47
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∴ 使 的最人整数为47.. …… …13分
16.(本小题满分15分，第(1)问7分，第(2)问8分)
在直二棱柱ABC-A B C 中，AB=1,AA=2,∠ABC=90°,
D在BB 上，且
(1)证明：AC⊥AD:
(2)当四棱锥A-BCC D的体积为 时，求平面AC D与平面
ABC 所成二面角的正弦值.
解 ： (1)证明
连结A B,在矩形ABB A中 ，AA=2,AB=1,
∴tan∠ADB=2=tan∠ABA,故∠ADB=∠ABA……… ……2分
又∠ADB+∠BAD=90°,故∠ABA +∠BAD=90°
.…3分
∴AD⊥A B……… … ………………………
∵AB⊥BC,BB⊥CB
AB,BB c平面ABB A,AB∩BB =B
∴BC⊥平面ABB A ……… ………… … …4分
又ADC 平面ABB A,故BC⊥AD……… …………… …… … … …5分
∵AD⊥A B、AD⊥BC,BC,A BC平面ADC ,H.BCNAB =B
∴AD⊥ 平面 A BC…………… …………… …6分
又ACc平面A,BC,故AC⊥AD………………7分
(2)由题意知，AB,BC,BB 两两垂直
以B为原点，以向量BC,BA,BB 分别为 轴
的正方向建立空间直角坐标系
设BC=a(>0),出 AA =2AB=2, 得：
C(a,0,0),A(0,1,0),B(0,0,2),
A,(0,1,2),C (a,0,2)……… ……………………8分
由题意可知AB⊥平面BCC B ,平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)……………9分
解得BC=3……… ………10分
,AC =(3,-1,2)…… … …… … …11分
设平面AC D的一个法向量为ū=(x,y,z)
由 取y=1得M=(-1,1,2)… … …13分
得
… …… ……………14分
设平而AC D与平面ABC所成二而角的大小为0,则
∴平面AC D与平面iABC所成二面角的正弦值为 … ………15分
注：第(1)问也可用坐标法证明.
17. (木小题满分15分，第(1)问7分，第(2)问8分)
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在锐角△ABC中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 若a - c =2 ccosB.
(1) 证明：B =2C;
(2) 若a=2,求 的取值范围.
解 ： ( 1 )方法一
山 a -c =2 ccosB 与正弦定理得 sinA -sinC =2 sinCcosB ……………………………1 分
又sinA=sin [π-( B + C)]= sin (B+C )=sin BcosC +cos BsinC ……………………… 3 分
∴ sinC = sin BcosC -sinCcos B=sin(B -C) ………………………………………4 分
由 0 <
………………………………………………………5 分
∴ C=B-C,故 B = 2 C………………………………………………………………7 分
方法二
山 a -c =2 ccos B及余弦定理得a- c =2c· 化简得b - c =ac ………1 分
由上式及正弦定理得sin B - sin C = sin AsinC ……………………………………… 2 分
…………………………3 分
又cos2 C= cos [(B+ C )-( B- C)]= cos(B + C)cos (B-C )+ sin (B+C )sin( B-C)
cos 2B= cos [(B+ C )+( B- C)]= cos( B+C )cos(B - C)- sin( B+ C)sin (B -C)
∴ sin B-sin C=sin(B+C)sin(B-C)
∴ sinAsinC = sin (B+C)sin (B-C) ……………………………………………………4 分
由 B +C=π- A,0< C,B, 知sin(B+C)= sinA>0, ……… 5 分
∴ sinC = sin(B -C) ……………………………………………………………………6 分
∴C=B-C, 故 B = 2 C………………………………………………………………7 分
(2) 方法一
由正弦定理及a =2
…………………………………………………… 分
由 ( 1 )知 B = 2C , 故sinB =2 sinCcosC ……………………………………………9 分
1 0 分
由sinA=sin (B+C )=sin BcosC +cos BsinC =2 sinCcos C+(1-2 sin C )sinC ……11分
……………………………………… 1 2 分
由 0 ,故1<1+2cos2C< 2 , 即 ……………………… 14分
∴ ),即 …………… 15分的取值范围
方法二
由 a -c =2 ccosB 及a =2 ①……………………………8 分
由正弦定理 ……………………………………………… 9 分
代入B =2C 4 化简得 ②………………………………1 1 分
山①②得： ……………………………………………………… 12分
由 0 数学答案与评分标准第3页(共7页)
)…………………………………………1 4 分
的取值范围为 )…………………………………………………1 5 分
方法三
由 ( 1 )知sinB=2 sinCcosC …………………………………………………………8 分
出a=2及正弦定理得 ………………………… 10分
, 故
如右图，∠A =∠A BC=90°
A ……………
……………………
由于△ABC为锐角二角形且B =2C
∴ , 即 的取值范围为 · …………………………… 15分
18.( 本小题满分17分，第(1)问5分，第(2①)5分，第(2②)7分)
已知动圆Q 经过点F(1,0)几与直线x=-1相切，记圆心Q 的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 设过点F 且斜率为正的直线l 交曲线C 于A, B 两点(点A在点B的上方),AB 的中点为
M,
①过 M ,B 作直线x=-1的垂线，垂足分别为M, B , 证 明 ：AM // FB;
②设线段 AB的亚直平分线交x轴于点P , 若 △FPM 的面积为4,求直线1的方程.
解：(1)设 Q (x,y) , 由Q 到直线x=-1的距离为|x +1| …………………………………… 1 分
出动圆Q 经过点 F(1,0)且与直线x=-1相切得|QFHx +1| ……………………… 3 分
即 √(x-1) + y =| x +1| ……………………………………………………………… 4 分
化简得 y =4x
∴ 曲 线C 的方程为y =4x …………………………………………………………5 分
(2) 设直线l 的方程为x =my +1,其中m>0, A (x , y ),B (x , y ), M (x , )
由 ’消去x 得 y -4 my-4=0,显然△=16(m +1)>0恒成立
,y y =-4 ………………………………………………………6分
①方法一
h题意得M (-1,2 m), B (-1, y )
∵ M,A=( x +1, y -2 m), B F =(2,- y ), y =4x ……………………………7 分
∴ AM,// FB , 故AM // FB …………………………………………………… 10分
②由 yo=2 m得x =myo +1=2 m +1
设P(t,0),由MP⊥AB得kmw·kpw=-1,故 ………… 11分
解得t =2 m +3,故 |FP |=2 m +2 …………………………………………………12分
∴ △FPM 的面积 ………………………………… 13分
由△FPM 的面积为4得m(2 m +2)=4,即m( m +1)=2 ………………………14分
设f(m)= m + m- 2 , 则f'( m)=3 m +1>0, f (m)在(0,+0)上单调递增……15分
又f(1)=0,故 f (m)在(0,+)内有唯一零点m =1
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即方程m(m +1)=2有唯一解m =1 … … … … … ……………………16分
∴ 直线1的方程为x - y - 1=0. ……………… …………… ……… 17分
由 ( 1 ) 知，曲 线C是以F 为焦点，x =-1为准线的抛物线
①方法二
.
由 M 为AB的中点且MM ⊥M B 得 a …
…..8
∴ 等腰三角形△BBF∽△M MA
…..B 9
… …10
方法三
设A(s ,2 s), B (t ,21)( I<0< s ) , 则
Yw=8+t, ,B (-1,2r),M (-1,s+t)…… 6分
由 A ,F ,B 共线得kFg=kpH
化简得(st +1)t - s) = 0 , 故st = - 1 … … … … … …7分
… …………………8分
, 故kFg=kAM, … … … … … … … 9 分
∴ AM // FB ………………… ………… … ……… ……10分
19.( 木小题满分17分，第(1)问4分，第(2)6分，第(3)7分)
已知函数f (x)= xInx - a( x -1).
(1) 若曲线y = f( x)在点(1,0)处的切线方程为x + y- 1=0,求实数a 的值；
(2) 当x>1时f (x)<0恒成立，求实数a 的取值范围；
(3) 证明：
解：(1)f(x)=1+Inx -2 ax , 故f'(1)=1-2 a………………………… ………………………1分
曲 线y= f( x)在点(1,0)处的切线方程为x + y -1=0
乂直线x + y -1=0的斜率为-1……………………… … …………………2分
∴f'(1)=-1,故-1=1-2a ………… ……………………………………………3分
a=1…………………………………………………… 4分
(2) 由x>1时 f(x)<0即xlnx - a (x -1)<0( x>1)
等价 (x>1)…………………………… ………… …………5分
1), 则
方法一
令h(x)=ax - x+ a ( x>1)
若a≤0,则当x >1时h(x)<0恒成立，此时g '(x)<0, g (x)是减函数……………6分
∴ 当x>1时， g (x)< g(1)=0,不个题意… … …… …… … …………7分
若a>0,△=1-4a
当△>0,即1-4a >0时，0<2a <1
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出h(x)=0且x x =1知 1………………8 分
∴当1此时g (x)< g(1)=0不合题意………………………………………………………9 分
当△≤0,即2a≥1时，h (x)≥0, g'( x)≥0, g (x)单调递增
此时g(x)> g (1)=0
综上可知，a 的取值范围是 ,+0)………………………………………………10分
方法二
∵g(1)=0, H.g(x)>0( x >1)
∴ g'(1)=2a-1≥0,解得 7 分
下证当 且x>1时，恒有f (x)<0
;
由x>1可知，
∴ 当 时 ， )…………………… 8分
, 则 4 故h(x)在(1,+0)上单调递增
∴ h(x)>h(1)=0,故x>1时 f (x)<0恒成立…………………………………… 9 分
综上可知，a 的取值范围足t ,+0) ………………………………………………10分
方法三
由x>1知x -1>0, …………………………………6 分
令 ), 则 1)
令G(x)= x -1- x Inx -Inx , 则
令 , 则 当x >1时 ),H(x) 单调递减…7 分
∴ G(x)=H(x)∴ G(x)由导数的定义知
………………………………………………9 分
声 即a的取值范围是 )………………………………………… 10分
(3) 方法一
由(2)知，当x>1时，恒有 …………………………………… 11分
令x= √ (t>1)得 ),等价于 t>1) …………………12分
∴ 当k≥2时，恒有 变形得………………… 13分,
又当k≥2时， )………………………… 14分
当k≥2时， …………………………………… 1 5 分
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=2(√ n-1)=2√ n -2 ………………………………………… 16分
(n∈N*) ………………………………………………………17分
方法二
设T,=2 √n是数列{a,}的前n项和，则
2√n-2=T -《 =a +a +…+ an ……………………………………………………12分
故欲
只需记 (k≥2) …………………………………………………………………………13分
由k≥2知，只需证( √k +√ k -1) lnk <2 k-2 ……………………………………… 14分
由k≥2知，( √k+√ k -1)<2√ k,故只需证 √k Ink < k-1 …………………………15分
山(2)知， 当 , x > 1 时，恒 有 …………………………… 16分
取x= √k ,k≥2得 故 √k Ink ∴ 原不等式成立……………………………………………………………………17分
方法三
由 得 故 ……………………… 11分
∴ 当n=2时，原不等式成立
假设当n =k , 且n≥2时原不等式成立
成立…………………………………………12分
那么n =k+1时，
由 得 , 故 ………………………13分
由重要不等式知2√k(k+1)< k+( k+1)=2 k+1
………………………………………… 15分
即 n =k +1时，原不等式也成立…………………………………………………… 16分
综上可知，对一切不小丁2的正整数 n,都有 成立………………17分
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