湖北省黄冈市2025届高三上学期9月调考数学试题（含答案）

黄冈市2024年高三年级9月调研考试
数学
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．若，且，则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，下面可使得有两组解的a的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．e
7．设是定义在R上的两个函数，若，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则也一定是奇函数
B．若是偶函数，则也一定是偶函数
C．若是周期函数，则也一定是周期函数
D．若是R上的增函数，则在R上一定是减函数
8．已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时，函数值域为 D．函数有三个零点
11．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围是
B．当且时，
C．若满足，则
D．若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
13．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数．当时，，则__________．
14．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
设为数列的前n项和，满足．
（1）求证：；
（2）记，求．
16．（本小题15分）
函数，函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间以及对称中心；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，在函数图象上从左到右依次取点，该点列的横坐标依次为，其中，，求．
17．（本小题15分）
已知函数
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值；
（2）讨论的单调性．
18．（本小题17分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
（1）证明：
（2）若a，b，c成等比数列．
（i）设，求q的取值范围；
（ii）求的取值范围．
19．（本小题17分）
已知定义在的两个函数，．
（1）证明：；
（2）若．证明：当时，存在，使得；
（3）若恒成立，求a的取值范围．
数学答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 10. 11. ABD
11.解析：
A.时，
在，递减，递增，
,A正确；
B.由（1）知：在递减，当时，,B正确；
C.因为
所以关于对称，则,得,C错误；
D.由题意知：，①
又由化简得：
,
因为,所以， ②
① ②化简可得,D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13.
14.,
14.解析：
,可知函数单调递减，在中心对称，
得：,将不等式 ()+()>2，变形得
()>(),所以得< ,变形得：
,
,
据图可得：
, 解得,.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解：证明：因为,
所以,
两式相减得：,....................................3分
所以数列为等比数列，公比,
当时，,所以..................4分
所以..................5分
（2）,所以..................7分
, 9分
16. 解：，....................................1分
因为函数的最小正周期为，所以，即，....................................2分
所以，........................................................................3分
令，
解得，
所以的单调递增区间为，....................................5分
令，解得，
所以的对称中心为..................7分
将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，
则，....................................9分
所以函数的最小正周期为，..................10分
由知，
,
=0， ..................13分
所以..................15分
17. 解：的定义域为, ..................1分
...............................................................2分
由题意知：,所以.......................................................4分
.........................................................................6分
令,........................................................................7分
当时，
所以在单调递减，单调递增； ............................9分
当时，0<
所以在单调递增，单调递减，单调递增；..................11分
当时，,
在单调递增；..................13分
当时，,
所以在单调递增，单调递减，单调递增. .....................................15分
18. 解： 3分
,
故6分
(2)
(i)由题意设,由三角形三边关系知
8分
解之得：....................................10分
（ii）
由(1)的结论可知
故的取值范围为17分
19.解：（1）当时，显然成立；
当时，.
即证 ，. ※ 2分
构造.
. 在单调递增，
,即※式成立
综上： 4分
(2)当时，,
当时，单调递减，单调递增，
在单调递减， 6分
又,
在(0,1)存在唯一零点，记为, 8分
在(0, )单调递增，在(,1)单调递减，9分
,证毕. 10分
(3) 即sin,
若sin异号，显然成立，只考虑sin同号，11分
又时，命题成立；时，，命题成立，2分
故只需考虑时， ※※13分
若， ※※式成立（用（1）结论），15分
若,取,取,
(由（2）结论), ※※式不成立，16分
综上：. 17分