北师大版八年级数学上册 第7章 平行线的证明 （单元基础卷）（含详解）

第7章《平行线的证明》（单元基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列结论是正确的是( )
A．全等三角形的对应角相等 B．对应角相等的两个三角形全等
C．有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D．相等的两个角是对顶角
2．能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4
C．∠3+∠4=180° D．∠2=30°，∠4=35°
4．如图，在中，分别在上，且，要使，只需再有下列条件中的（ ）即可．
A． B． C． D．
5．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
6．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交 于点，交于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．2.5
8．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（ ）
A．44° B．60° C．67° D．77°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，直线a、b被直线c所截，若满足______，则a、b平行．
12．如图，若，DE//OB，则与的关系是________．
13．如图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为__________．
14．如图AB∥CD，CE交AB于点A，AD⊥AC于点A，若∠1=48°，则∠2=__．
15．已知是锐角，在计算的值时，小明的结果是20°，小丽的结果是30°，小芳的结果是35°，小静的结果是40°,他们四人的结果有一个是正确的，那么________的结果是正确的．
16．△ABC与关于直线l对称，则∠B的度数为________．
17．如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．
18．如图，已知，平分，平分，，，则的度数为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，，，，求证：．
20．（8分）如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB
21．（10分）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
22．（10分）如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF.
求证：△ADE≌△CFE．
23．（10分）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
24．（12分）阅读下面内容，并解答问题．
探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律 在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果． 规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半． 规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半． 如图，已知点是的内角平分线与的交点，点是的外角平分线与的交点．则，． 证明：规律1，∵，是的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ∴． 规律2，∵，， ∴． ∴．
请解决以下问题：
（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______；
（2）如图，已知点是的内角平分线与的外角平分线的交点，试探究和的数量关系？并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．A
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及对顶角的性质判定即可.
解：、全等三角形的性质是全等三角形的对应角相等，正确；
、对应角相等的两个三角形相似，不一定全等，故错误；
、当两个三角形中两条边及一角对应相等时，其中如果这组角是两边的夹角时两三角形全等，如果不是这两边的夹角的时候不一定全等，故错误；
、相等的角不一定是对顶角，故错误.
故选：.
2．C
【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．
解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
B、如图2，∠2是锐角，且∠2=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
C、如图3，∠3是钝角，且∠3=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；
D、如图4，∠4是锐角，且∠4=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．B
解：∵∠1＝∠4
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行），
故选：B.
4．B
解：∵EFAB
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠DFE
∴∠2=∠DFE（等量代换）
∴DFBC（内错角相等，两直线平行）
所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE
故选B．
5．C
解：A．∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；
B．∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意；
C．测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意；
D．在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAC=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意．
故选C．
6．C
【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．
解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，
故选：C．
7．B
【分析】题干要求线段的长，根据和的平分线相交于点，且得到BD=DF,EF=EC，从而进行分析即可求解.
解：已知和的平分线相交于点F，可得
,,
又可得
,
即有BD=DF,EF=EC,
由，可得
EC=EF=DE-DF=5-3=2.
故选B.
8．D
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
解：命题①，如果，那么.
∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题.
命题②，如果那么.
∵∴∵，∴，∴.
∴该命题为真命题.
命题③，如果，那么.
∵∴∵，∴，∴
∴该命题为真命题.
故，选D
9．D
【分析】依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，
解：∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．
∴NP＝NM＝80（海里）．
故选D．
10．C
解：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=90°－∠A=68°．
由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，
∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°．
∴．
故选C．
二、填空题
11．∠1=∠2或∠3=∠2或∠3+∠4=1800
解：∵∠1=∠2(以此为例)，
∴a∥b（同位角相等两直线平行），
故答案为∠1=∠2．
12．相等
【分析】根据平行线的判定和性质证明即可．
解：∵DEOB，
∴2=3，
∵1=3，
∴1=2.
故答案为：相等
13．55°
解：本题考查平行线的性质，属于几何初步知识．识别∠2与∠CDF是内错角，进而根据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等发现它们之间的数量关系是解题关键．由a∥b，得∠3＋∠2＝∠1，所以∠3＝110°－55°＝55°．
14．42°
解：先根据平行线的性质求得∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.
∵AB∥CD，∠1＝48°
∴∠C＝∠1＝48°
∵AD⊥AC
∴∠2＝180°-90°-48°＝42°．
15．小明
【分析】根据0°＜∠A＜90°，得出0°＜＜25°即可得出答案．
解：∵是锐角，
∴0°＜∠A＜90°，
∴0°＜＜25°，
∴四人的结果只有小明的结果是正确的.
故答案为小明.
16．
【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形全等，则，再根据三角形内角和定理即可求得
解：△ABC与关于直线l对称
故答案为：
17．20
【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
解：，将沿着翻折得到，
，，
，
故答案为20
18．55°
【分析】先根据角平分线的定义，得出∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，再根据三角形内角和定理，推理得出∠BAD＋∠BCD＝2∠E，进而求得∠E的度数．
解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∵∠ABE＋∠BAD＝∠E＋∠ADE，∠BCD＋∠CDE＝∠E＋∠CBE，
∴∠ABE＋∠BAD＋∠BCD＋∠CDE＝∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE，
∴∠BAD＋∠BCD＝2∠E，
∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，
∴∠E＝（∠BAD＋∠BCD）＝（70°＋40°）＝55°．
故答案为：55°．
三、解答题
19．
解：证明：∵（已知），
∴（等式的性质），
即．
在和中，
∴．
∴（全等三角形的对应边相等）．
20．
解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
∴∠A=∠C．
∴AB∥CD．
21．
解：平分，平分
，即
．
22．
解：，
，
，
，
.
，
，
.
23．
（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）
故答案为：①，SSS；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
24．
解：（1）答案不唯一，如三角形内角和定理或者三角形的内角和等于180°或者三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）．
理由如下：
∵，平分和，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．