沪科版九年级数学上册 21.5 反比例函数 复习题（含详解）

21.5《反比例函数》复习题
一、单选题
1．函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B．
C． D．
2．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
5．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ）

A． B． C．或 D．或
6．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．3
9．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

B． C． D．
二、填空题
11．已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
12．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．

（1） ；
（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ．
13．定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
14．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
16．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
17．如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．

18．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小；
③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 （只填写序号）．
三、解答题
19．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标．
(2)分别以点O、A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线，交x轴于点D．求线段的长．
20．如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上
(1)求k的值；
(2)连接，记的面积为S，设，求T的最大值．
22．给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式．
24.如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
答案
一、单选题
1．C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，
则，解得，
所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
2．B
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意；
C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
4．C
【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意．
故选C．
5．D
【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点
∴
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得：,
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
设，
∵，
解得：或，
∴的坐标为或，
故选：D．
6．D
【分析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．
【详解】∵经过，
∴解析式为，
设正方形的边长为x，则点，
∴，
解得（舍去），
故点，
故选D．
7．C
【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
设点的坐标为，
∵矩形的对称中心M，
∴延长恰好经过点B，，

∵点D在上，且，
∴，
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选C．
8．A
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，

∵，，
∴．
∴．
∴．
∵点在第二象限，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，

∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于；
故选B．
10．A
【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设，则，根据图象可得，
将点代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，，
故选：A．
二、填空题
11．（满足都可以）
【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可．
【详解】解：，
一次函数的图象必定经过第二、四象限，
，
反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，
反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限，
，
∴，
∵，
∴，
∴满足条件的k值可以为1.5，
故答案为：1.5（满足都可以）．
12．
【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数的图象经过斜边的中点．
∴；
∴反比例数解析式为
故答案为：；
（2）∵，
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，将点代入并解得，
∴直线的解析式为，
∵反比例数解析式为
联立
解得：或
当时，
当时，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案；
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围．
【详解】解：（1）若是“和谐点”，则，
则，
∴，
即，解得（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：
（2）设点为双曲线上的“和谐点”，
∴，，
即，
∴，
则，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，且，
对抛物线来说，
∵，
∴开口向下，
当时，，
当时，，
∵对称轴为，，
∴当时，k取最大值为4，
∴k的取值范围为，
故答案为：
14．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，从而求出点坐标，画图，最后利用割补法即可求出的面积．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
．
反比例函数为：．
反比例函数的图象经过点，
，
．
如图所示，过点作于，过点作的延长线于，设与轴的交点为，

，，
，，，
．
故答案为：．
15．2
【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，

故答案为：2．
16．
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．
【详解】当时，的纵坐标为8，
当时，的纵坐标为4，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
则；
；
；
；
…
；
，
∴．
故答案为：．
18．②③④
【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．
【详解】解：列表，
x 1 2
y 3 3 5
描点、连线，图象如下，

根据图象知：
①当时，x越小，函数值越大，错误；
②当时，x越大，函数值越小，正确；
③当时，x越小，函数值越大，正确；
④当时，x越大，函数值越大，正确．
故答案为：②③④．
三、解答题
19．（1）解：解方程组，得，
∵，
∴；
（2）解：由题意可得：垂直平分，
连接，如图，则，
设，
则，解得，
∴．

20．（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴设，
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴，
∵的面积是8．
∴，
解得：；
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点A的横坐标为2时，
∴，即，
则，
∵直线过点C，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，
解得：或，经检验，符合题意；
∴或．
21．（1）解：∵点在函数的图像上，
∴，
∴，
即k的值为2；
（2）∵点在x轴负半轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，轴，
∴的面积为，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，T的最大值是1．
22．（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
23．（1）解：四边形是边长为的正方形，
，
；
即反比例函数的表达式为．
（2）解：设，过点D作轴，

点，，，
∴S OBH=OH AB=a
S BHD=DH AH= （a-2）=，
S ODH=OH DH=2
∵S OBD=S OBH +S BHD -S ODH=3
，
解得：，，经检验，是符合题意的根，
即点，
设直线的函数解析式为，得∶
，解得：，
即：直线的函数解析式为．
24．（1）解：∵，的面积是6，
∴S AOC =4，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵点，，在的图象上，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴交x轴于点C，
∴，
∴，
设直线上在第一象限的点，
∴，
∴，
∴，
∴．