课题 二次函数与一元二次方程
教学 分析
学生经历了二次函数图像与X轴的交点及与对应一元二次方程解的个数及判别式的学习。本节课是对以上知识的应用，是求解方程解的一种全新的方法，虽难以理解且比较繁，但直观，学生学起来还是有相当深厚的兴趣的。
教学目标
知识与技能
能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。进一步发展估算能力。
过程与方法
经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
情感态度与价值观
进一步培养学生的数形结合思想，并用这种思想解决问题。
重难点
重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的关系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
难点：利用图象法求一元二次方程的近似解。
教学过程
一、温故知新
用提问的方式，引导学生对以前学过的用图像法解一元一次方程的回忆，然后提问学生： 一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
教师活动
设疑激发学生求知的欲望
你能利用二次函数图象估一元二次方程的解吗？
预设学生行为学生先思考、回忆讨论后找一名学生回答?思考、探索相互交流
设计意图 引导学生找到解方程的新的方法,培养学生新旧知识的迁移能力。
二、创设问题情境---新课引入
写出二次函数y=x2-2x-3 的顶点坐标,对称轴,并画出它的图象.
教师活动?巡回指导?引导学生学生观察图中的景物.
学生活动小组合作独立完成
设计意图 努力培养学生自主学习的能力
三、思考、探索
你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为
（－1，0）（3，0）
方程x2－2x－3 ＝0的两根是x1＝ －1 ,x2 ＝ 3
你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决
教师活动?巡回指导?引导学生学生观察图中的景物，思考回答所提出的问题
学生活动小组合作独立完成
归纳，总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ= b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
教师活动：引导学生归纳
学生活动：小组讨论，代表回答
设计目的：训练学生由具体到一般的思维能力
三、及时反馈
1、方程X2+4X-5=0的根是-5，1 ；
则函数y=X2+4X-5的图象与x轴的交点有 2 个，其坐标是 （-5,0）（1,0）．
2、函数y=X2－10X+25的图象与x轴的交点有_1个，其坐标是（5,0）则方程X2－10X+25=0 的根是 x1=x2=5
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（D ）
教师活动：巡回指导
设计目的培养学生自主学习的能力
四、巩固应用
知识点 1
已知二次函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)的图象与x 轴只有一个交点，求 m 的值．
思路点拨：“只有一个交点”等价于“方程只有一个根”．
解：当m≠0 时，∵函数 y＝mx2－6x＋1的图象与 x 轴只有一个交点，
∴方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根．
∴(－6)2－4m＝0，解得 m＝9.
故 m 的值为 9.
知识点2：解方程：x2+2x-10=0?? 你可以用几种方法求解？
问:请同学观察以上作出的函数图象，由图象可得方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间
X
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
（1）先求－5和－4之间的根.利用计算器进行探索：
因此，x=-4.3是方程的一个近似根. 填表后回答问题：
1、能否说明为什么方程的一个根在-4.3和-4.4之间？你是怎样判断的？
2、为什么方程的近似根选择-4.3,而不选择-4.4?
（2）另一个根可以类似的求出：?
X
2.1
2.2
2.3
2.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
因此，x=2.3是方程的另一个近似根.?此根由学生独立或分组探究完成
引导学生观察分析，激发学生的学习兴趣
教师活动?巡回指导?引导学生学生观察图中的景物，思考回答所提出的问题
学生活动小组合作独立完成
设计意图 努力培养学生自主学习的能力
2:利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10图象；
(2). 作直线y=3；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4).确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
教师活动?巡回指导?引导学生学生观察图中的景物
学生活动小组合作独立完成
设计意图 努力培养学生自主学习的能力
五、课堂小结
你这节课学到了什么知识？
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解；（两种方法）
（2）利用计算器估算方程的近似解.（强调函数值从正到负的变化过程，并取绝对值较小的函数值对应自变量为方程的解）
（3）这节课学到的解方程的方法和以前的方法有什么区别？
教师活动 教师引导
学生活动 学生小结
设计意图 引导学生学生自主小结，巩固所学内容
六、作业布置
?教学反思
1、努力培养学生自主学习能力。
本节课解法的第二种方法完全由学生自主学习掌握。
2、被提问学生，包含不同层次的学生。也充分贯彻分层教学的理念。
3、充分体现新教改理念。
着力培养学生独立解决问题的能力。
不足之处：
1、课堂中有时处理问题过于急躁，一些问题，学生还没有回答完整，自己就提前把原由说出来了。
2、在习题的处理上，由于害怕时间比较紧，有时叫了举手的学生上黑板做题，这样表面上看一节课比较顺畅，而掩盖了那些做错学生的错误，这样教师得不到第一手的真实资料来了解课堂的实效性。
3、在授课的语言上语速过快，这样有时容易产生滑过现象，影响了教学的效果。
课件11张PPT。二次函数与一元二次方程温故知新思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根 xy… -2 -1 0 1 2 3 4 …… 7 0 -3 -4 -3 0 7 …NM当x为何值时,y=0? 写出二次函数 的顶点坐标,对称轴,并画出它的图象.x=-1, x=3x=-1, x=3探究一：你的图象与x轴的交点坐标是什么？函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为
（－1，0）（3，0）
方程x2－2x－3 ＝0的两根是
x1＝ －1 ,x2 ＝ 3
你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决知识回顾14.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系:有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac > 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac < 0 1、方程X2+4X-5=0的根是 ；
则函数y=X2+4X-5的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ．-5，12（-5，0）（1，0）
、 2、函数y=X2－10X+25的图象与x轴的交点有___个，其坐标是__________则方程X2－10X+25=0 的根是 ；
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）D及时反馈1(5,0)x1=x2=5知识点 1二次函数与一元二次方程的关系 已知二次函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)的图象与
x 轴只有一个交点，求 m 的值．
思路点拨：“只有一个交点”等价于“方程只有一个根”．
解：
当m≠0 时，∵函数 y＝mx2－6x＋1的图象与 x 轴只有一
个交点，
∴方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根．
∴(－6)2－4m＝0，解得 m＝9.
故 m 的值为 9. 知识点 2利用函数图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数的图象，求方程 x2＋2x－10＝0 的
近似根(精确到 0.1)．
思路点拨：先借助二次函数图象确定方程的解的大致范围，
再通过计算进一步精确．
解：作二次函数 y＝x2＋2x－10 的图象如图 D4，由图象可
知方程 x2＋2x－10＝0 有两个根，一个在－5 和－4 之间，一个
在 2 和 3 之间．因此两个根分别为－4 点几和 2 点几，下面用
计算器进行探索.因此 x＝－4.3 是方程的一个近似根．
另一个根也可以类似地求出：因此 x＝2.3 是方程的另一个近似根．图D4(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10图象；利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4).确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.(2). 作直线y=3；小结小结 1.会根据二次函数图象与x轴的交点情况判断一元二次方程根的情况;会根据一元二次方程根的情况判断二次函数与x轴的交点情况.2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤 .
