22．2 相似三角形的判定
第一课时
[教材分析] 本节内容是沪科版九上第22章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．
[教学目标]
知识与技能目标：
（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角．
（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．
过程与方法目标：
（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．
（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．
情感与态度目标：
（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．
（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．
[教学重点] 相似三角形判定定理的预备定理的探索
[教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明
[教学方法] 探究法
[教学媒体] 多媒体课件 直尺、 三角板
[教学过程]
一、课前准备
1、全等三角形的基础知识
2、三角形中位线定理及其证明方法
3、平行四边形的判定和性质
4、相似多边形的定义
5、比例的性质
二、复习引入
（一）复习 1、相似图形指的是什么？
2、什么叫做相似三角形？
（二）引入 如图1，△ABC与△A’B’C’相似.
图1
记作“△ABC∽△A’B’C’”， 读作“△ABC相似于△A’B’C’”．
[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应角．
对于△ABC ∽△A’B’C’,根据相似形的定义,应有
∠A＝∠A’， ∠B＝∠B’ , ∠C＝∠C’,
＝＝.
[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1 与k2有什么关系? k1＝ k2能成立吗?
三、探索交流
（一）［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
（1）“角” ∠BAC＝∠DAE．
∵DE∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C．
（2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？
Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理 图2
∵DB∥BC，D为AB的中点，
∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线．
（三角形中位线定理的逆定理）
∴DE＝BC．（三角形中位线定理）
∴＝＝＝．
∴△ADE∽△ABC．
Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识
过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．
则△ADE≌△DBF,（ASA）
且四边形DFCE为平行四边形.
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图3
∴DE＝BF＝FC.
∴＝＝＝．
∴△ADE∽△ABC．
2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？
由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．
过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．
则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,（ASA）
且四边形D1F1CE1、D2F2CE2、D1GE2E1、D2F2F1G为平行四边形.
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图4
∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C， ∴AE1＝E1E2＝E2C，
∴ ＝＝＝．
∴△AD1E1∽△ABC． ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
[思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？
过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．
则四边形D2F2CE2为平行四边形，
且△AD1E1≌D2BF2,（ASA） ∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．
由（1）知，D1E1＝D2E2，AE1＝AE2， 图５
∴D1E1＝BC，AE1＝AC． ∴＝＝＝．
∴△AD1E1∽△ABC． ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
（二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．
图6
（三）［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
这个定理可以证明，这里从略．
四、应用迁移
[操作]：课本第78页练习。
五、整理反思
（一）小结 内容总结 思想归纳
（二）反思
六、布置作业
《基础训练》第58页 第7、8题。
板书设计
相似三角形
记号 读法
注意
22．2 相似三角形的判定
探究1、在△ABC中，D为AB的中点
课本第78页
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
探究2、当D1、D2为AB的三等分点
猜想
小结
作业
课件15张PPT。沪科版九年级数学（上册） §22.2 相似三角形的判定
第一课时相似三角形定义 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar triangle)如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F；
，则△ABC与△DEF相似，记做
“△ABC∽△DEF”。其中k叫做它们的相似比。 ②如果k1＝1，这两个三角形有怎样的关系？注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！思考：①如果△ABC∽△DEF，相似比k1,△DEF∽ △ABC,相似比为k2, 那么k1,k2有怎样的关系？k1k2=1全等如果△ABC∽△DEF,那么 ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F. 相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例.[回顾]全等三角形知多少什么样的两个三角形叫做全等三角形?
三角对应相等,三边也对应相等的两个三角形全等.
全等三角形有什么性质?
全等三角形的对应角相等,对应边相等.
你还记得三角形全等的判定条件吗?
边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边(SSS);斜边直角边(HL). 也就是边按一定的比例放大或缩小,
而角的大小与边的长短无关,
所以类比三角形全等可知…你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件?只考虑角只考虑边考虑部分角与部分边.［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DE∥BC交AC于点E，那么△ADE△ABC相似吗？（1）“角” （2）“边”： 要证明对应边的比相等，有哪些方法？Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理∵DE∥BC，D为AB的中点，
∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线．
∴DE＝ BC．（三角形中位线定理）
∴ ．
∴△ADE∽△ABC．
AⅡ、利用全等三角形和平行四边形知识 过点D作DF∥AC交BC于点F，
则△ADE≌△DBF（ASA）
且四边形DFCE为平行四边形.
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴DE＝BF＝FC.
∴
∴△ADE∽△ABC．AF［猜想］2、通过上面的特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC相似． X型［归纳］ 重要结论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．
[练习]：课本第78页的练习。[小结]: ㈠内容总结 ㈡方法归纳 由特殊到一般，类比，转化，猜想，归纳 [课下作业]： 《基础训练》第57页第1、2 、3题．【课下思考】当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1E2，那么△AD1E1△AD2E2与△ABC相似吗？ AD1D2E1E2由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．
过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．
则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,（ASA）
且四边形D1F1CE1、D2F2CE2、D1GE2E1、D2F2F1G为平行四边形.
∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C∴AE1＝E1E2＝E2C
∴
∴△AD1E1∽△ABC
∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
AD1D2E1E2GF1F2
