课件11张PPT。“综合与实践”活动课国际数学大师 陈省身问题： 在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数 f 与m、n之间的关系.直线穿过正方形.gsp探究矩形一条对角线所穿过的小正方形个数 f 与 m、n的关系.猜想：拓展猜想.gsp拓展猜想 在由m×n个小矩形组成的矩形网格中，它的一条对角线所穿过的小矩形个数f与m、n之间仍有上述关系吗？验证你的猜想. 要说明猜想的正确性，验证是不够的，必须要进行严格证明.同学们课后可以通过查阅资料或小组合作，尝试给出该猜想的证明.活动小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？完成《数学综合实践活动评价报告》课外活动：感谢专家指导！
谢谢同学们合作！“矩形对角线穿过的小正方形数”教学设计
沪科版九年级上册数学课本（2014年6月第1版92页）
【活动目标】
(1)通过分析数据、寻找规律，发现并验证f、m、n三者关系.
(2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验，积累直接经验.强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动.
(3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验观察、探索、猜想、验证的数学思维方式，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法.
【活动重点】经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想.
【活动难点】f、m、n三者之间关系的探究.
【活动过程】本活动分为两个阶段.
第一阶段：课内活动
一、提出问题
在由个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数与、之间的关系.
二、认识概念
何为直线“穿过”正方形？
动画演示，学生观察并表述.
三、探究矩形一条对角线所穿过的小正方形个数与、的关系
问题1：你们准备怎么做？
板书：探索方法——从特殊到一般.
问题2：你们有什么发现？
板书学生的发现.
问题3：你是怎么发现的？请说出几组m、n的值和对应的f值.
板书：将学生所选的m、n值以及由此得到的f值填入表中:
m
n
f
问题4：有没有不同的方法？
板书：探索方法——控制变量.
启发学生思考：m一定，探索f与n的关系或n一定，探索f与m的关系.
（设计意图：通过探究活动，培养学生发现问题、提出问题的能力，帮助学生不断积累数学活动经验.）
四、提出猜想
五、验证猜想
你能再举几个例子验证猜想吗？
六、拓展猜想
在由个小矩形组成的矩形网格中，它的一条对角线所穿过的小矩形个数与、之间仍有上述关系吗？若小正方形变为小平行四边形呢？验证你的猜想.
（设计意图：通过问题拓展，培养学生的创新意识.）
七、活动小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
八、课外活动
1.完成《数学综合实践活动评价报告》
2.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形（如图）.设S为格点多边形的面积，N为格点多边形内部的格点数，L为它边上的格点数，试探究S、 N、L三者之间的关系.
第二阶段：课外活动 数学综合实践活动评价报告
活动名称
探究f、m、n之间关系
活动时间
参加者
自 我 评 价
你得出的结论是什么？你是用什么方法进行探究的？举两个例子.
在活动过程中你碰到了什么样的困难？你是如何克服的？
你是否乐意参加这样的数学活动？ （非常乐意 乐意 无所谓 不乐意）
谈谈你参加这次活动的感受：
同学或小组评价
老师评语
附： 观察、探究、猜想
—— 综合与实践“矩形对角线穿过的小正方形数”活动课实录与反思
安徽省马鞍山市外国语学校 司擎天
摘要：义务教育数学课程标准（2011年版）把“综合与实践”作为课程内容之一，提出“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动. 本课例以2012安徽省一道中考题为背景，通过学生主动观察、实验、探索、猜想、验证、交流等数学活动，经历问题解决的思维过程，培养发现问题、提出问题的能力，渗透数学思想，积累数学活动经验，形成对数学知识的理解. 该课于2013年3月18日在安徽省初中数学“综合与实践”教学研讨活动中进行了交流，得到了与会专家的好评.
关键词：教学实录；教学反思
2013年3月18日，由省教育科学研究院组织的“安徽省初中数学‘综合与实践’教学研讨活动在我市举行.在研讨会上，我向来自全省16个地市的42名专家、代表和我市近100名初中数学教师汇报了一节《观察、探究、猜想》的“综合与实践”活动课.课后专家们精彩的点评和深入全面的研讨给了我很大启发，促使我对课作进一步的反思.
一、教学实录
【活动目标】
(1)通过分析数据、寻找规律，发现并验证f、m、n三者关系.
(2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验，积累数学活动经验.强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动.
(3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验观察、探索、猜想、验证的数学思维方式.
【活动重点】经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想.
【活动难点】f、m、n三者之间关系的探究.
【活动过程】本活动分为两个阶段.
第一阶段：课内活动
（一）提出问题
师：出示PPT1.这是2002年8月在北京举行的第24届国际数学家大会期间，国际数学大师陈省身先生给少年儿童的题词“数学好玩”.今天我们就以2012年我省的一道中考题为背景，一起再感受一下“数学好玩”.
PPT2.问题：在由个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数与、之间的关系.
【设计意图】从“数学好玩”的角度提出问题，激发了学生的探究欲望.
（二）明确问题
观察图形，明确、、的含义.请学生说出图中、、的数值.
(三)探究问题
师：现在请大家任取、的值，在方格纸（课前已发给学生）上画矩形网格，探究与、之间的关系.
学生画图，教师巡视.
从巡视中发现，每个学生都画了许多不同的矩形网格，有的还将、、的值以表格形式呈现出来.
【设计意图】要求学生任取、的值，在方格纸上画矩形网格，探究与、之间的关系.目的是拓展问题的思维空间，体现“做”中学，凸显学生的主体地位，激发学生学习的积极性、主动性和创造性.
师：请说出选取的、的值和由此得到的的值.
生1：（板书）
m n f
3 4 6
3 8 10
5 3 7
猜想：f=m+n-1.
师：大家同意吗？
生2：不同意！比如：（板书）
m n f
3 3 3
5 5 5
f≠m+n-1，此时f=m=n.
师：还有别的发现吗？
生3：我的结论和他们不太一样.（板书）
m n f
5 10 10
4 8 8
f≠m+n-1，此时f= n=2m.
生4：我的发现是：（板书）
m n f
4 6 8
6 8 12
f≠m+n-1，此时f=m+n-2.
【设计意图】把问题抛给学生，给足探究时间，让学生在肯定与否定的思维碰撞中，不断审视发现的问题，不断修正提出的问题.结论的多样性，有利于激发学生的探究热情，为进一步深入研究做好了心理准备.
师：同学们讨论得很热烈，得到了与、之间的一些关系，但这些关系随着、的取值不同而不同，不具有普遍性.如果我们仍这样探究下去，一定还会得到一些特殊关系，由于、的取值有无数组，这样的探究没有尽头.如何优化探究方法，缩短我们的探究历程？
【设计意图】先放后收. 提出“由于、的取值有无数组，这样的探究没有尽头.如何优化探究方法，缩短我们的探究历程？”放是为了给学生提供广阔的思维空间，是为了让学生的思路更自然；收是为了帮助学生学会反思，从中发现问题、提出问题，从而获得数学活动经验.
生5：、的取值虽有无数组，但我们可以对它进行分类.
师：怎么分类？
生5：可以分成三类：、同偶；、同奇；、一偶一奇.
生6：可以分成两类：、互质；、不互质.研究两类比研究三类更简便.
师：说得好！
生7：当、互质时，就是生1一开始举的几个例子，此时f=m+n-1.
师：大家同意他的观点吗？能不能举一个反例？
生8：我找到一个反例：m=5，n=7，f=10.
众生：f =11！
生8（不好意思）：我数错了.
【设计意图】渗透分类思想，体现求简精神.
师：刚才你们是从“数”的角度得到这个猜想，还能从“形”的角度说明猜想的正确性吗？
生9：我画图发现当m=5，n=7时，横线有6条，竖线有8条，对角线与每条横线和竖线都相交，这样共有6+8=14个交点，而对角线的两个端点又重复计算了一次，所以共有12个交点，这12个交点将对角线连续分成11段，每段对应一个小正方形，因此f =11.
(掌声！)
【设计意图】渗透数形结合思想，拓宽探究方法，进一步丰富学生数学活动经验.
师：我们已研究了、互质的情况，下面应该研究……
众生：不互质.
师：当、不互质时，与、之间有何关系？
(学生分组讨论.)
生10：从前面的例子中，发现关系不唯一.
师：能否将这些不唯一的关系统一起来？
生11：我从生2、生3给的例子中发现当n是m的倍数时，f=n；从生4给的例子中发现当n不是m的倍数时，f=m+n-2.
师：有不同意见吗？
生12：当n不是m的倍数时，不一定有f=m+n-2.
师：举例说明.
生12：m=6，n=9，f=12≠6+9-2；m=8，n=12，f=16≠8+12-2.
师：当n不是m的倍数时，不一定有f=m+n-2原因出在哪里？
（学生分组讨论.）
生13：是因为m、n的取值有变化.
师：观察生4给出的例子
m n f
4 6 8
6 8 12
m、n的取值变了，为什么关系式f=m+n-2不变？
（学生沉思.）
生14：m、n中可能有不变的“东西”.
师：看来抓住m、n中的不变因素是关键！
生15：m、n都是偶数没变.
生16：不对！刚才的m=8，n=12虽都是偶数，f≠m+n-2.
生15（恍然大悟！）啊！是最大公约数没变！
师：最大公约数是多少？
生15：是2.
师：那就是说在什么情况下f=m+n-2？
生15：m、n的最大公约数为2的情况下，f=m+n-2.
师：大家同意吗？再举几个最大公约数为2的m、n试试.
(学生快速进入验证之中.)
师：有不同意见吗？
众生：没有！
师：若m、n的最大公约数为3，请猜想与、之间有何关系？
众生：f=m+n-3!
师：请在方格纸上画图验证.
生16：m=6，n=9，f=6+9-3=12；m=3，n=6，f=3+6-3=6.
师：若m、n的最大公约数为d，请猜想与、之间有何关系？
众生：f=m+n-d!
师：你们还能从“形”的角度来说明吗？
生17：我想这和上面不互质研究的方法一样，可以从对角线与网格线的交点个数来考虑.
师：说得好！这个问题留给你们课下研究.
师：、互质与不互质时，我们得到了两种关系，这两种关系有联系吗？
生18：如果用d表示它们的最大公约数，都有f=m+n-d.（PPT3）
师：好！这体现了数学知识之间的和谐美.
【设计意图】提供观察背景，引导学生从变中找不变；体验观察方法，经历发现问题、提出问题过程，加深对问题本质的理解.
（四）拓展问题
（PPT4）若将原题中的“小正方形”改为“小矩形” ，上述结论还成立吗？若“小正方形”改为“小平行四边形” ，结论又如何？提出你的猜想并验证.
生19：我认为结论应该一样.
师：说说理由.
生19：我是凭感觉猜的.
师：好！到底结论是否相同？我们先小组讨论.
(各小组迅速进入讨论中，教师不时也加入讨论行列.)
生20：结论一样.
师：你是怎么发现的？
生20：我是画图发现的.
师：把你画的图展示给大家看一下.
（通过实物投影仪将生20画的图展示在屏幕上.）
师：生20通过画图验证了结论仍然成立.很好！还有没有别的方法？
生21：借鉴前面的探究经验，我们还可以根据对角线与网格线的交点个数来确定f与m、n的关系.我发现当m、n互质时，对角线不经过网格内部交点即格点.
师：能否举一个具体例子？
生21：比如m=2，n=3.
师：好，你在黑板上画一下.同学们再取一对互质的m、n，在方格纸上画图验证.
师：当m、n互质时，对角线真的不经过网格内部格点吗？
众生：不经过！
师：谁能说出其中道理？
（学生犹豫.）
师：大家再讨论.
生22：老师！我可以到黑板前讲吗？（众生笑）
师：可以！
生22：在生21画的图中，如果对角线还经过网格内部格点，我们假设格点为P，则点P到大矩形相邻两边的距离为小矩形边长的整数倍，不妨设为、，根据相似三角形的性质，则有，由于点P是网格内部的点，所以，，这与2、3互质是矛盾的，所以对角线不经过网格内部格点.
(掌声一片！)
师：生22说得太精彩了！你能继续说说为什么结论仍然成立？
生22：在个小矩形组成的矩形网格中，横线有条；竖线有条，对角线与每条横线和竖线都相交，这样共有+个交点，而对角线的两个端点又重复计算了一次，所以共有个交点，这个交点将对角线连续分成段，每段对应一个小正方形，因此.
(掌声更热烈！)
师：当m、n不互质时，又如何说明结论仍然成立？
（学生陷入思考.）
生23：我发现当m、n不互质时，对角线经过网格内部的格点.
师：请你也在黑板上画图说明，其他同学任取一对不互质的m、n，在方格纸上画图验证.
生23：取m=3，n=6，对角线经过网格内部2个格点，加上两个端点，这样对角线与网格线的交点中，有4点重复计算了1次，所以交点总数为（3+1）+（6+1）-4=7，这7个交点将对角线连续分成6段，每段对应一个小矩形，所以对角线穿过6个矩形，符合f=m+n-d=3+6-3.
生24：我取m=2，n=4，对角线经过网格内部1个格点，结论也是成立的.
师：看来确定对角线经过网格内部的格点数是关键.请各小组交流：对角线经过网格内部格点数与什么有关？
生25：我们发现：
m n 对角线经过网格内部格点数
2 4 1
3 6 2
4 6 1
4 8 3
对角线经过网格内部格点数=m、n的最大公约数-1.
师：很好！如果m、n的最大公约数为d，对角线与网格线共有多少个交点？
生25：因为对角线经过格点时，交点重复计算了1次，所以对角线与网格线共有（m+1）+(n+1)-(d-1)-2=m+n-d+1个交点.这（m+n-d+1）个交点将对角线连续分成段，每段对应一个小正方形，因此.
师：太棒了！
生26：假设图是画在可以拉伸的橡皮膜上，我们可以想象不论小正方形变为小矩形还是小平行四边形，结论显然是成立的.
(掌声雷动！)
【设计意图】在实践中思考，在活动中创造是综合实践活动课程的重要价值取向之一，综合实践课程的重要功能是要培养学生创新精神.通过问题拓展，目的是激活学生的创新思维，在经历问题解决的过程中，学生不断体验建立模型、数形结合、化归求解等数学思想方法，在反复尝试中，不断提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.
（五）活动小结
（PPT5）通过本节课的学习，你有哪些收获？
第二阶段：课外活动 数学综合实践活动评价报告
活动名称
探究f、m、n之间关系
活动时间
参加者
自 我 评 价
你得出的结论是什么？你是用什么方法进行探究的？运用你获得的经验，你能解决下列问题吗？
如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形（如图）.设S为格点多边形的面积，N为格点多边形内部的格点数，L为它边上的格点数，试探究S、 N、L三者之间的关系并将探究过程写成小论文.
在活动过程中你碰到了什么样的困难？你是如何克服的？
谈谈你参加这次活动的感受：
小组评价
老师评语
【设计意图】培养学生反思意识.将研究的过程和结果形成报告或小论文，有利于相互交流，共享成果.通过小组和老师评价，总结参与数学活动的收获和克服困难的过程，有利于升华数学活动经验.
二、教学反思
1.拓展探究空间，增加问题开放度
义务教育数学课程标准（2011年版）以下简称“课标2011版”指出：要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键.这些问题既可来自教材，也可以由教师、学生开发.提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的、有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题.基于这一理念，本课例以2012安徽省一道中考题为背景，原题中分m、n互质与不互质两种情况并且给出了5个基本图形和表格，问题指向明确，坡度小.为了使问题变得自然、开放.这里我舍弃了m、n互质与不互质两种情况以及基本图形和表格，把问题抛给学生：为了探究f与m、n之间的关系，你准备怎么做？学生画图、列表、交流，得到若干组不同的m、n值以及相应的f值.
“综合与实践”活动课难上，难就难在课堂是开放的，正如叶澜教授所说：“课堂是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定路线，而没有激情的行程.”教师如何发挥好组织者、引导者、合作者？如何创设有助于学生创新的问题情境？如何驾驭更加开放的课堂？等等，已向我们提出了新的挑战.
2.渗透数学思想，积累活动经验
课标2011版强调：“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授.它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动.“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体.在经历具体问题的过程中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变为数学问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别人体会自己成果的价值.通过这样的教学活动，逐步让学生积累运用数学解决问题的经验.
在我的几次教学过程中，为了探索 f、m、n三者之间关系，多数学生都采用了列表探究，还有学生提出了如下处理方法.生1：利用函数探究（模型思想出现）.我问：函数是研究两个变量之间的对应关系，而这里有三个变量，如何处理？生1：可以把m、n看成一个整体（整体思想出现）.我又问：m、n如何组合成一个整体？生1：我发现f的值不小于m、n的值，我猜想f一般不会是m、n相减；f是正整数，我猜想f一般不会是m、n的商；从表中看某些m、n的积要比f的值大得许多，所以我猜想f应与m+n之间存在某种函数关系.生2：既然有三个变量，我们可以限制一个变量.如m都取1然后观察f与n的关系（转化思想出现）.生3：可以用比较法，把有相同规律的放在一起研究（分类思想出现）.生4：当m是n的倍数时，f=m.生5：当m=n时，f=m=n等等.学生在观察、探究中迸发出来的这些思维火花，真是令人兴奋不已！这些宝贵的活动经验推动着课堂向纵深发展，使课堂精彩纷呈.
3.增强问题意识，培养创新能力
“综合与实践”是培养学生应用意识和创新能力的有效载体，而学生发现问题和提出问题又是创新的基础.因此增强学生的问题意识在教学过程中显得尤为重要.如何培养学生发现问题和提出问题能力？这又将成为我们研究的课题. “拓展问题”的设计给出了提出问题的一种方法，但不足的是这里的问题是由教师提出的，若能改为学生提出将会更好.
美国著名学者布鲁巴克指出：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生自己提问题.”有专家在中西方教育的比较研究中曾说：“中国衡量教育成功的标准是：将有问题的学生教育成没问题，全懂了，所以中国学生年龄越大，年级越高，问题越少；而美国衡量教育成功的标准是：将没问题的学生教育得有问题，如果学生提出的问题教师都回答不了，那算是非常成功.所以美国学生年级越高，越有创意、越会突发奇想.” 这确实值得我们深思.
4.课内课外结合，升华活动成果
整个活动分两部分：课内和课外.“综合与实践”活动实际上是一种“小课题长作业”.目前，在课程改革背景下，我国学生小课题的探究也受到极大的重视，正逐渐成为改善学生学习方式的一个重要方法. “小课题长作业”的基本过程是：提出问题——动手实验——观察记录——解释讨论——得出结论——表达陈述. 设计第二阶段:课外活动《数学综合实践活动评价报告》，目的是想在这些方面作些尝试，引导学生在“综合与实践”活动中，积累活动经验、展现思考过程、交流收获体会、激发创造潜能.
初中数学“综合与实践”是一种激发学生主动探求知识、重视问题解决、促进学生形成终身学习的课程.它体现了创新教育改革的方向，其内容的丰富性和实施模式的多样性值得我们深入研究和广泛实践.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012
[2]汪宗兴，刘义杰.穿越彰精彩 化归显本质[J].中学数学教学参考（中旬）2012（9）：47-48.
