2024-2025学年江西省吉安市遂川中学高二（上）开学数学试卷(含答案）

2024-2025学年江西省吉安市遂川中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是第三象限角，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则图象的对称中心的坐标是( )
A. B.
C. D.
4.已知椭圆：的右焦点为，右准线为，点，线段交于点，若，则( )
A. B. C. D.
5.在四棱锥中，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，已知正方形的边长为，若动点在以为直径的半圆上正方形内部，含边界，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知过抛物线：的焦点的直线与相交于，两点，轴上一点满足，则( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为、、，为的面积，，且，则的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的一个法向量为
B. 若直线：，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
10.设点，，的坐标分别为，，，动点满足：，则下列说法正确的有( )
A. 点的轨迹方程为
B.
C. 存在个点，使得的面积为
D.
11.中，角、、所对的边为、、下列叙述正确的是( )
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是等边三角形
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则与夹角的余弦值为：______．
13.设向量，，．
若，则的值为______；
设函数，则的最大值为______．
14.已知双曲线与椭圆有公共的焦点、，且与在第一象限的交点为，若的面积为，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期为，且．
求函数的解析式并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合；
求函数，的单调递减区间．
16.本小题分
如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点．
求的值；
若，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为．
求椭圆的方程；
若直线：与轴交于点，与椭圆交于，两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值．
19.本小题分
在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足．
求证：；
当平面平面时，
求点到平面的距离；
若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
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15.解：的最小正周期为，
，
，，
，
即，
当时，取最小值，
当时，取最大值，
即取最小值时，的取值集合为，
取最大值时，的取值集合为
依题意，
若单调递减，则，
，
又，
令，，得其减区间为，．
16.解：根据题意，可得，
因为是的中点，所以，
由，得，可得，
所以，
因为，
，
所以，．
设，则，
因为，且与共线，所以，解得，可得，
所以，结合，可得，，即．
17.解：，，，则，，
中，，
故AC，故DC，
又因为底面，底面，所以，
又因为，，平面，平面，底面，故平面平面，
作，垂直为，连接，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，故为与平面所成的角，
中，，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
另解：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，
所以，
根据三棱锥等体积转换方法可知，即，
中，由可知，，，，，
故，所以，
故，解得，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：设椭圆的焦距为，则，即，则，，
由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得，
即，解得，，
所以椭圆的方程为．
显然，设，，则，
由，消去得，，
则，
又，而与同号，
因此
，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最大值为．

19.解：证明：取的中点，连接，，
因为，为的中点，
所以，
因为，为的中点，
所以，
又因为，
所以平面，
又因为平面，
所以．
过点作于，连，，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，，
令，则，，
，
在中，由，得，，
所以，
故点到平面的距离为．
记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，
因为平面为平面与平面的公共垂面，故，
在中，，可求得，
又因为，，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
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