2024-2025学年四川省成都市天府新区实外高级中学高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市天府新区实外高级中学高三（上）入学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.过点且与直线平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
3.记为等比数列的前项和．若，，则( )
A. B. C. D.
4.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，的整数倍称为“吉数”若从，，，，这五个阳数，，，，这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
6.函数在处有极值，则点为( )
A. B.
C. 或 D. 不存在
7.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则( )
A. B. C. D.
8.古印度数学家婆什伽罗在丽拉沃蒂一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施子安贝古印度货币单位，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月天计算，记此人第日布施了子安贝其中，，数列的前项和为若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.某个班级共有学生人，其中有团员人全班共分成个小组，第一小组有学生人，其中团员人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则不可能的值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数有极小值
B. 函数在处切线的斜率为
C. 当时，恰有三个实根
D. 若时，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题：“，使”是假命题，则实数的取值范围为______．
13.如图，在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，分别为、的中点，则直线和夹角的余弦值为______．
14.已知，，，，，则下列结论中正确的是______．
当时，；
当时，有个元素；
若有个元素，则；
若有个元素，则无整数解．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，．
求与的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，，分别是线段，的中点．
求证：平面；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”第届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者．
已知报名者，，组人数之比为：：，将这组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设，，组中的每一个人答对某道题的概率分别为，，，从中任选一人，求此人答对该题的概率；
从名女性报名者和名男性报名者中随机选出名进行亚运会服务技能考核，记为其中女性的人数，求的数学期望．
18.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，离心率，
求椭圆的标准方程：
若、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点、，求的面积的最大值．
19.本小题分
设函数．
分析的单调性和极值；
设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
若，且满足时，证明：．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
由，得，又，，
，；
由得，
．
16.解：如图，取中点，连接，．
，分别是线段，的中点，
又平面，平面，
平面，同理得平面，又，
平面平面，又平面，
平面；
四边形为矩形，，又平面，
、、两两垂直．
以、、所在直线为、、轴建，立如图的空间直角坐标系，
则根据题意可得，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，
若满足条件的上的点存在，设，，
又，，
设直线与平面所成的角为，
则，又，
解得，，
，，，
，
故CD上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，且．
17.解：记“答题人来自于第组”为事件，记“任选一人答对”为事件，
此时样本空间，且，，两两互斥，
易知，，，
而，，，
则
，
所以任选一人，此人答对该题的概率为；
易知的所有可能取值为，，，．
此时，，，，
则．
18.解：由题意可得，
解得：，
故椭圆的标准方程为；
设，，
由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，
由，整理得：，
由韦达定理可知：，
又因直线与椭圆交于不同的两点，
故，即，．
则
，
令，则，
则
，
令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，
即当时，在上单调递增，
因此有，
所以，
即当，即时，最大，最大值为．
19.解：，定义域为，，
令，即，解得，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为．
，，
因为，即构造函数，，
则，
可知，若要，必须要求，
即，得，
当，时，恒成立，
在上单调递增，所以恒成立，
故实数的取值范围为．
证明：记，则，
记，，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即，
所以函数在单调递减，
则转化为，
注意到，不妨，
要证，只需证，即证：，
即证：，即证：，
记，，
则，
记，
则，所以在单调递增，所以，
即，所以在单调递减，所以，
所以，
所以，得证．
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