2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，若为实数，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知角，满足，则( )
A. B. C. D.
7.棱长和底面边长均为的正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.设椭圆与双曲线有公共焦点为，，是两条曲线的一个公共点，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据：，，，，，，，则( )
A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的方差为
C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的第百分位数为
10.已知圆：，则下列说法正确的是( )
A. 点在圆外 B. 圆的半径为
C. 圆关于对称 D. 直线截圆的弦长为
11.已知，，且，则( )
A. 的最小值是 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知随机变量服从正态分布，且，则______．
14.袋子中有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中任取个球，个白球得分，个黑球得分记为取出的个球的得分总和，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，已知，，．
求的值；
求．
16.本小题分
已知数列前项和为，且．
证明数列是等比数列；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，是的中点，是的中点．
求证平面；
求平面与平面的夹角余弦值．
18.本小题分
已知函数．
求 在区间上的最大值；
若过点 存在条直线与曲线 相切，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点．
求椭圆的标准方程；
直线与椭圆交于、两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．
求四边形的面积的最大值；
设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由．
参考答案
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15.解：，，，
则，
化简整理可得，，
解得负值舍去；
，，，
则，
则，
则，
故，
所以．
16.证明：当时，，所以，
当时，，
所以，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由知，，
所以，
所以
得：
，
所以．
17.证明：取中点，连接，，
因为是的中点，所以，且，
因为是的中点，所以，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面
解：在四棱柱中，平面，，
所以，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以平面与平面的夹角余弦值为．
18.解：由得．
令，得或．
因为，，，，
所以在区间上的最大值为．
设过点的直线与曲线相切于点，
则，且切线斜率为，
所以切线方程为，因此
整理得．
设，
则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”．
，
与的情况如下：
所以，是的极大值，是的极小值．
当，即时，此时在区间和上分别至多有个零点，所以至多有个零点．
当，即时，此时在区间和上分别至多有个零点，所以至多有个零点．
当且，即时，因为，，所以分别在区间，和上恰有个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有个零点．
综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，
的取值范围是．
19.解：设椭圆的方程为，
由题意得，，解得，
所以椭圆的标准方程为．
把代入中，解得，
所以点、的坐标为，，且，
设直线的方程为，、，
联立，得，
由，可得，
所以，
因为，是椭圆上位于直线两侧，
所以，解得，
所以四边形的面积，
故当时，四边形的面积取得最大值．
的值是常数，理由如下：
由题意知，直线的斜率，直线的斜率，
所以
．
所以的值为常数．
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