2024-2025学年广西贵港市平南县中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广西贵港市平南县中学高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从，，，四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有( )
A. B. C. D.
4.下列四个命题中，是真命题的为( )
A. 任意，有 B. 任意，有
C. 存在，使 D. 存在，使
5.已知点，，动点满足，则点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
6.若都为非零向量，且，，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
7.过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，有一组样本数据为，，，，，，，，，若在这组数据中再插入一个数，则( )
A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 方差不变 D. 极差不变
10.若函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称
C. 在上有最小值 D. 的图象关于直线对称
11.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 当时，
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为______用数字作答
13.已知向量，，且则的值为______．
14.已知直线：是曲线和的公切线，则实数 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设等比数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求．
16.本小题分
某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据单位：人：
喜欢 不喜欢 合计
男性
女性
合计
根据上述信息，解决下列问题：
根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；
从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取人现从人中随机抽取人，若所选名观众中女性人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，过棱的中点作于点，连接．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若，求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．
求椭圆的方程；
已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点在靠近的一侧
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意，设等比数列的公比为，
则，
即，
由，可得，
整理，得，
即，
，
，
将代入，解得，
，．
由，可得
，
．
16.解：由题意得，
故根据小概率值的独立性检验，不能认为观众喜欢该影片与观众的性别有关；
从不喜欢该影片的观众中采用分层抽样的方法，随机抽取人，
由于不喜欢该影片的观众中男性与女性的比例为：，
故随机抽取人中有名男性和名女性，
故的取值可能为，，，
则，
故的分布列为：
故．
17.解：Ⅰ证明：因为平面，平面，
所以，
又因为，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，为中点，
所以，
又因为，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，
而，
所以平面，
又因为平面，
所以．
Ⅱ因为平面，四边形是矩形，则，
所以，，两两互相垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系：
因为，所以，
所以，，，
则，，
由Ⅰ知，平面，平面，
所以分别为平面，平面的法向量，
设平面与平面所成角为，
则，
，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为，，
所以，
因此，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
因为，
所以
又因为既存在极大值，又存在极小值，则，
所以，
由题意得，，解得且，
所以实数的取值范围为且．
19.解：由题意可得，
则椭圆的方程为．
设直线：，，，
联立，消去整理得，则，
且，则，
(ⅰ)则
，
设，则．
则．
(ⅱ)设，则．
设直线，：，，
由，则到直线，的距离相等，
即．
代入，化简得．
则，
通分并整理得．
代入得．
化简得．
故，则．
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