2024-2025学年四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市简阳实验学校高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线经过点，离心率为，则的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.某种袋装大米的质量单位：服从正态分布，且，若某超市购入袋这种大米，则该种袋装大米的质量的袋数约为( )
A. B. C. D.
6.班长准备对本班元旦晚会的个表演节目进行演出排序，则节目甲与乙中间恰好间隔个节目的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为研究光照时长小时和种子发芽数量颗之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数变小 B. 经验回归方程斜率变大
C. 残差平方和变小 D. 决定系数变小
10.已知的展开式中，第四项与第七项的二项式系数相等，则( )
A.
B. 若展开式中各项系数之和为，则
C. 展开式中有理项有项
D. 若，则展开式中常数项为
11.已知函数为常数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，无极值点
B. 当时，恒成立
C. 若有个零点，则取值范围为
D. 当时，有唯一零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.样本数据，，，，，，，，的中位数为______．
13.从男女共名学生中选出人组成志愿者服务队，要求志愿者服务队中至少有名女生，共有______种不同的选法用数字作答
14.已知数列满足，，设，则 ______；的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且和是的两个极值点．
求实数，的值；
求在区间上的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，为等边三角形，平面平面，为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为热门的销售方式通过主播的详细介绍，使顾客对商品有更全面的了解，小张统计了某新手主播开启直播带货后从月份到月份每个月的销售量万件，，，，的数据，得到如图所示的散点图．
根据散点图判断，模型与模型哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程？给出判断即可，不必说明理由，并求出关于的回归方程计算结果精确到；
随机调查了名市民对直播带货的认可程度，得到的部分数据见下表：
认可 不认可
岁以下市民
岁以上市民
依据小概率值的独立性检验，分析市民对直播带货认可程度是否与年龄有关联．
参考公式与数据：，，，，其中，其中．
18.本小题分
已知圆经过椭圆：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆上．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若直线与圆相切，与椭圆交于、两点，且，求直线的倾斜角．
19.本小题分
第十五届全国运动会将于年在广东、香港、澳门三地举办为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛．
初赛从道题中任选题作答，题均答对则进入决赛已知这道题中小王能答对其中道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的分布列；
为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励奖励规则如下：已进入决赛的参赛学生允许连续抽奖次，中奖次奖励元，中奖次一奖励元，中奖次奖励元，若次均未中奖，则只奖励元假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立．
记一名进入决赛的大学生恰好中奖次的概率为，求的极大值；
该校体育系共有名学生进入了决赛，若这名大学生获得的总奖金的期望值不小于元，求此时的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
，和是的两个极值点． ，
由可知 ，
令，得或，
令得或；
令得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为，
所以 上的最大值只可能在或处取到，
．，
而，
所以上的最大值为．
16.Ⅰ证明：因为为正三角形，为中点，
所以．
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
Ⅱ解：由Ⅰ知，平面．
取中点，连结．
因为底面为矩形，为中点，
所以．
所以，，两两垂直．
分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
则，，，．
所以，．
设平面的法向量，
由，得，
令，得，．
所以．
平面的法向量．
设平面与平面夹角大小为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由散点图可知，随着的增加，的增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，是非线性的关系，
所以选模型更适宜，
令，则，
可得，，
则，
所以，
所以，
即求出关于的回归方程为；
零假设：市民对直播带货认可程度与年龄无关联，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对直播带货认可程度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不超过．
18.解：Ⅰ由题可知圆只能经过椭圆的上、下顶点，所以，椭圆焦距等于短轴长，即，
又点在椭圆上，所以，，解得，，
因此，椭圆的方程为；
Ⅱ圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，解得，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，
因为直线与圆相切，所以，，即，
将直线的方程与椭圆的方程联立，得，
判别式，即，
设点、，
由韦达定理得，，
，
解得，因此，直线的倾斜角为或．
19.解：由题意，小王答对题目个数，，，，
，，，，
故的分布列为：

由题意知，
，
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值为；
由题可设每名进入决赛的大学生获得奖金为随机变量，
则可能取值为，，，，
，，
，，
，
即，
整理得，即，
恒成立，只需，
的取值范围为．
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