集合与常用逻辑用语问题的类型及解法
文档属性
| 名称 | 集合与常用逻辑用语问题的类型及解法 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-22 16:40:58 | ||
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文档简介
集合与常用逻辑用语问题的类型及解法
集合与常用逻辑用语问题是考试的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷，都必有集合与常用逻辑用语的5分小题（或大题）的问题。从题型上看一般是选择题（或填空题或大题），难度系数为低档题（或中档题），百分之九十以上的考生都能得分。纵观近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试或高一单元测试与专题练习）试卷，归结起来集合与常用逻辑用语问题主要包括：①集合元素与集合的关系及表示的问题；②集合与集合之间的关系问题；③集合运算问题；④集合新概念的问题，⑤判断命题的真假；⑥充分条件，必要条件，充分必要条件的判断；⑦全称量词与存在量词及运用；⑧求参数的值（或取值范围）等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在具体解答集合与常用逻辑用语问题时，到底
应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的予以解答呢？下面通过对近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试或高一单元测试与专题练习）试卷中试题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、设全集U=R，集合A={x|2A 1A B 2A C 3 A D 4A
2、（理）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足M={1，3}，则（ ）
A 2M B 3M C 4M D 5M
（文）集合M={2，4，6，8，10}，N={x|-1A {2，4} B {2，4，6} C {2,4，6，8} D {2,4，6，8，10}
3、若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（ ）（成都市高一单元练习）
A 3.14 B -5 C D
4、（多选）设集合A={-3，x+2，-4x}，且5A ，则x的值可以为（ ）（成都市高一单元练习）
A 3 B -1 C 5 D -3
（多选）由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数可能为（ ）（全国高一专题练习）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
（多选）集合{1，3，5，7，9}用描述法可不是为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {x|x是不大于9的非负奇数} B {x|x=2k+1，kN，且k≤4}
C {x|x≤9，x} D {x|0≤x≤9，xZ}
下列各种对象的全体可以构成集合的是 （填写序号）（成都市高2023级高一单元测试）
高一（1）班优秀的学生； ② 高一年级身高超过1.60m的男生
高一（2）班个子较高的女生 ④ 数学课本中的难题
8、已知集合S满足条件：若aS，则S（a0，a1）， 若3S，试把集合S中的所有元素都求出来。（成都市高2023级高一专题练习）
9、已知集合A={x|a-3x+2=0，aR}，问是否存在a，使：（1）集合A中只有一个元素；
（2）集合A中至多有一个元素；（3）集合A中至少有一个元素，若存在，分别求出来；若不存在，请说明理由。（成都市高2023级高一单元测试）
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合元素和元素与集合关系相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素的定义，掌握元素与集合之间的关系及其表示，注意集合中元素的性质；
（2）集合中的每一个个体，称为集合的元素；元素与集合的关系有两种：①元素是集合中的元素称为元素属于集合，用符号“”表示；②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合，用符号“”表示；
（3）确定集合中的元素或集合中元素的个数，都必须求出集合，在求复合某些条件的集合时，应该注意集合元素的性质；
（4）集合元素的性质有：①确定性，即一个集合的元素是确定的；②互异性，即一个集合中元素与元素之间不能完全相同；③无序性，即一个集合中元素与元素之间没有先后顺序。
（5）对含有参数的集合问题，应该对参数的可能取值进行分类讨论，注意参数分类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。
（6）解决集合问题中参数问题的基本方法是：①确定集合元素的属性，它表示的是一个怎样的集合（定性），②结合问题的条件进行分析，实施解答（定量）；
（7）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其问题中涉及到A∩B=时，一定要分A或B=和A或B两种情况来考虑。
[练习1]解答下列问题：
1、已知集合A={0，m，-3m+2}，且2A ，则实数m为（ ）（全国高一专题练习）
A 2 B 3 C 0或3 D 0，2，3
下列说法正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 某村子里的高个子组成一个集合 B 所有小的正数组成的集合
C 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D 1，0.5，，，，这些数组成的集合有五个元素
下列各组集合表示同一集合的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A M={（3，2）}，N={（2，3）} B M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C M={4，5}，N={5，4} D M={1，2}，N={（1，2）}
4、由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 2 B 3 C 4 D 5
5、集合A={xZ|Z}，用列举法表示集合A，则A= （成都市高2023级高一单元测试）
6、已知集合A={xZ|-2A -2A B 0A C -1A D {-1}A
7、下列有关集合的说法正确的是（ ）（成都市高一单元练习）
A {0}{0，1，2} B ={0} C 0 D {0}
已知集合A={12，+4a，a-2}，-3A ，则a=（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A -1 B -3或1 C 3 D -3
【典例2】解答下列问题：
集合A={xN|-5<2x-1<5}的子集个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 4 B 7 C 8 D 16
设集合A={n|n=6k+1，kZ}，B={n|n=3m+1，mZ}，则下列判断正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A A=B B AB=A C AB=A D BA
3、设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},若AB，则a=（ ）（2023全国高考新高考II）
A 2 B 1 C D -1
4、已知集合A={0，z}，B={0，2，4}，若A B，则实数z的值为（ ）（成都市2020高三三诊 ）
A 0或2 B 0或4 C 2或4 D 0或2或4
5、（多选）下列命题中正确的有（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 集合{a，b}的真子集是{a}，{b} B {x|x是菱形}{x|x是平行四边形}
C 设a，bR，A={1，a}，B={-1，b}，若A=B，则a-b=-2
D {x|+1=0，xR}
6、 设a，bR，P={1，a}，Q={2a+3，b}，若P=Q，则a-b= （成都市高2023级高一单元测试）
7、已知集合A={x|-3x+2=0，xR}，B={x|08、已知集合A有三个元素：a-3，2a-1，+1，集合B也有三个元素：0，1，x。
若-3A，求a的值；
若B，求实数x的值；
是否存在实数a，x，使A=B。（成都市高2023级高一专题练习）
『思考问题2』
（1）【典例2】是集合与集合之间的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集和集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质。
（2）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，则称集合A是集合B的子集，
子集用符合“”表示，读作包含于，或符号“”表示，读作包含；
（2）子集的性质有：①空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；③子集具有传递性；④含有n个元素的集合有个子集；
（3）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，且存在B，但A，则称集合A是集合B的真子集，真子集用符合“”表示，读作真包含于，或符号“”表示，读真包含；
（4）真子集的性质有：①空集是任何非空集合的真子集；②真子集具有传递性；③ 含有n个元素的集合的真子集个数为（-1）个；
（5）设A、B是两个集合，如果AB，且BA，则称集合A与集合B相等，表示为A=B。
[练习2]解答下列问题：
已知集合P={x|y=}，集合Q={y|y=}，则P与Q的关系是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A P=Q B PQ C PQ D PQ=
已知集合A={xR|-3x-18<0}，B={xR|-ax+-27<0}，则下列命题中正确的是（）
（成都市高2023级高一专题练习）
A 若A=B，则a=-3 B 若AB，则a=-3
C 若B=，则a≤-6或a≥6 D 若BA，则-6已知集合B={（x，y）|4x+3y-12<0，x，y}，则集合B的子集个数为（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 3 B 4 C 7 D 8
4、已知集合M={3,4}，N={x|（x-3）（x+a）=0,aR}，若M=N，则a=（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A 3 B 4 C -3 D -4
5、、已知集合M={x|x=+,kZ}，N={x|x=-,kZ}，则（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A M N= B MN C MN D MN=M
6、（多选）已知集合M={x|=1}，N={x|ax=1,aR}，若NM，则实数a的值可能为（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A -1 B 0 C 1 D 2
7、若A={1，2}，合B={x|xA}，则B= （成都市高2023级高一专题练习）
8、满足{1，3}A{0，1，3，5，7}条件的集合A的个数有 （福州高2022级高一专题练习）
【典例3】解答下列问题：
（理）集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}，则（AB）=（ ）
A {1， 4，9} B {3，4，9 } C {1，2，,3} D {2，3，5}
（文）集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}，则AB =（ ）（2024全国高考甲卷）
A {1，2， 3，4} B {1，2，3} C {3，4} D {1，2，9}
（理）已知集合A={xR|y=x+1，}，B={y|y=-1，xR}，则AB=（ ）
A {-1， 2} B {（-1，0），（2，3） } C [2，+） D [-1，+）
（文）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1,4}，集合N={2,5}，则N（M）=（ ）（2024全国高考乙卷）
A {2，3，5} B { 1，3，5} C {1，2，4，5} D {2，3，4，5}
3、已知集合A={x|-5<<5}，集合B={-3，-1，0，2，3}，则AB =（ ）（2024全国高考新高考I）
A {-1，0} B {2，3 } C {-3，-1，0} D {-1，0，2}
4、已知集合A={x|x(x-1)=0}，B={x|=1}，则AB=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {-1，0，1} B {1，0} C {-1，1} D {1}
已知集合A={x|x≤1或x>3}，B={-2，1，2，3}，则（A）B =（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A B {1，2} C {2，3} D {1，2，3}
6、已知R是实数集，集合A={x|-30}，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {x|-47、已知全集U= {x|x≤4} ，集合A= {x|-2（A）B。
立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台-支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究，随机调查了1000名市民，结果显示，使用支付宝的有456人，使用微信支付的有783人，两种都使用的有298人。
只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？
两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）
『思考问题3』
【典例3】是集合运算的问题，集合的运算主要包括：①集合的并集；②集合的交集；③集合的补集；
设A，B是两个集合，由集合A，B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号∪表示，读作并；
并集有如下性质：①任何集合与空集的并集等于这个集合本身；②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身；③两个集合的并集具有交换性；④若A B，则A∪B=B；
设A，B是两个集合，由A，B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号表示，读作交；
交集有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与自身的交集等于它本身；③两个集合的交集具有交换性；④若A B，则A∩B=A；
研究对象的所有元素构成的集合，称为全集，一般用符号U表示；
设U为全集，A为集合，由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合，称为集合A在全集U下的补集，用符号A表示，读作集合A在全集U下的补集；
补集有如下性质：①任何集合与补集的并集等于全集；②任何集合与补集的交集等于空集；③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集；④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集；
（9）在进行集合运算时，如果集合是用描述法表示的应该先把集合进行化简，再进行运算；（10）如果集合涉及到不等式的解集，在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行；（11）如果集合涉及到函数，在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行，这样可以使问题更直观更简便。
[练习3]解答下列问题：
1、已知A={xN||x|≤2}，B={xN|0≤x<7}，则AB中元素的个数为（ ）（广西高2022级高一专题练习）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、设全集U= {-2，-1，0，1，2} ，集合A={x|-x-2=0}，B={x|+x-2=0}，则（AB）
=（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A {-2，-1，1，2} B {-2，-1，0} C {0，1，2} D {0}
3、（多选）如图，已知全集U表示矩形，A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）（江苏徐州高2022级高一统考）
A （A）B B （AB） C （AB） D A
4、（多选）已知集合A= {x|x<2} ，B= {x|3-2x>0} ，则（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A AB ={x|x<} B AB = C AB = {x|x<2} D AB = R
5、设y=+ax+b，A= {x|y=x} ={a}，M={（a，b）}，求M。（成都市高2023级高一专题练习）
6、已知U={xR|1（1）AB；
（2）（A）（B）。（成都市高2023级高一专题练习）
7、设全集为R，A= {x|3≤x<7} ，B= {x|2求AB ；
求（AB）。（成都市高2023级高一专题练习）
8、已知全集U=R，A= {x|2≤x<5} ，B= {x|3（1）（AB）；
（2）A（B）。（成都市高2023级高一专题练习）
【典例4】解答下列问题：
1、定义集合运算：A.B={z|z=(y-1)，xA，yB}，设A={-1，1}，B={0，2}，则集合A.B中的所有元素之和为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、定义集合M.N={x|xM且x-1N}，已知A={x|+3x-10<0}，B={x|-7=（ ）（河南新乡市高2023级高一专题练习）
A {x|-53、设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P*Q={（a，b）|aP，bQ}，则P*Q中元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 3个 B 4个 C 7个 D 12个
4、对任意两个正整数m，n，定义运算“”：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn，如46=4+6=10，
37=3+7=10，34=34=12，根据上述定义，集合M={（a，b）|ab=12，a，b}的元素有 个。（江苏如东中学高2022级高一专题练习）
『思考问题4』
（1）【典例4】是集合新概念的问题，它属于信息迁移类问题，是化归思想的具体运用，也是近几年的高考热点问题；它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向，常见的类型有：①定义新概念；②定义新公式；③定义新运算；④定义新法则；
（2）解答这类问题的基本思路是：①理解问题中新概念，新公式，新运算，新法则；②利用学过的数学知识进行逻辑推理；③对选项进行筛选，验证，得出结论。
[练习4]解答下列问题：
1、设A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”。给定S=｛x∈N|y=lg(36-)｝,设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）（成都市高2023级高一专题练习）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
2、在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论：（1）2011〔1〕；（2）-3〔3〕；（3）Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕；（4）“整数a，b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是（）（成都市高2023级高一专题练习）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、已知集合A=｛（x，y）|+≤1，x，yZ｝，B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，yZ｝，
定义集合A B=｛（+，+）|（，）A，（， ）B｝，则AB中元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 77 B 49 C 45 D 30
4、若对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 。（成都市高2023级高一专题练习）
【典例5】解答下列问题：
1、如图，在正方体ABCD—中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论错误的是（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A ，F， C，G 四点共面 B 直线EF//平面BD
C 平面HCG//平面BD D 直线EF和HG所成角的正切值为
2、命题p：x>1，+2x-3>0，命题q： xR，2-4x+3=0，则（ ）（河北高2023级高一专题练习）
A p真q真 B p假q假 C p假q真 D p真q假
下列命题中为真命题的是（ ）（山西晋中高2023级高一专题练习）
A 所有的矩形都是正方形 B 集合{（x，y）|y=}与集合{y|y=}表示同一集合C “=”是“a=b”的必要不充分条件 D xR，+2x+2≤0
4、设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素-1，0，1；②若aM，则M，则下列结论正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 集合M中至多有2个元素 B 集合M中至多有3个元素
C 集合M中有且仅有4个元素 D 集合M中至少有4个元素
5、（多选）已知集合A={xR|-3x-18<0}，B={xR|+ax+-27<0}，则下列命题中正确的是（ ）（2023全国高一专题练习）
A 若A=B，则a=-3 B 若AB，则a=-3
C 若B=, 则a≤-6或a≥6 D 若BA时， 则-66、（多选）下面命题正确的是（ ）（江苏镇江高2023级高一专题练习）
A “a>1”是“<1”的充分不必要条件
B 命题“若x<1，则<1”的否定是“存在x≥1，≥1”
C 设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“+≥4”的必要不充分条件
D 设a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件
『思考问题5』
（1）【典例5】是命题真假的判断问题，解答这类问题需要理解命题，真命题，假命题的定义，掌握命题真假判断的基本方法；
（2）命题真假判断的基本方法有：①直接判断法；②间接判断法；
（3）直接法判断命题的真假可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；其基本方法是：①弄清问题与哪一个定义，定理，公理，哲理相关；②运用相应的定义，定理，公理，哲理判断真假；③对假命题，只需找一个反例即可；
（4）间接法的基本方法是：①利用原命题与逆否命题真假的一致性间接判断原命题的真假；②利用充要条件与集合的关系判断命题的真假。
[练习5]解答下列问题：
1、下列命题中错误的是（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握性越大 C 线性回归直线=x+恒过点（，） D 在回归分析中，残差平方越小，模型的拟合效果越好
2、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，M，N分别为B，CD的中点，有下列结论：①三棱锥—MN在平面DC上的正投影为等腰三角形；②直线MN//平面D；③在棱BC上存在一点E，使得平面AEMNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥M—NFB的各点均在同一球面上，则该球的体积为。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线y=kx（k0）与椭圆C相交于A（，B两点，有下列结论：①四边形AB为平行四边形；②若AEx轴，垂足为E，则直线BE的斜率为k；③若|OA|=c（O为坐标原点），则四边形AB的面积为；④若|A|=2|A|，则椭圆的离心率可以是。
（理）其中错误结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 0
（文）其中正确的结论是（ ）
A ①④ B ①②④ C ①②③ D ②④
4、（多选）下列说法不正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A “x≥2”是“x>4”的充分不必要条件
B 命题p：“a，b为无理数”，命题q：“ab为有理数”，则p是q的充分条件
C “m2”是“|m|2”的充分必要条件
D 命题p：“四边形是正方形”，命题q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的充分必要条件
5、已知函数f(x)=sinx-sinx+k，x[0，]，有下列结论：①若函数f(x)有零点，则k的取值范围是（-，]；②函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4；③若函数f(x)有四个零点，，，，则k（0，），且+++=2 ；④若函数f(x)有四个零点，，，（<<<），且，，，成等差数列，则为定值，且（，），其中所有正确结论的编号为 。
【典例6】解答下列问题：
已知向量=（x+1，x），=（x，2），则（ ）（2024全国高考甲卷）
A “x=-3”是“”的必要条件 B “x=-3”是“//”的必要条件
C “x=0”是“”的充分条件 D “x=-1+”是“//”的充分条件
已知p：0A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
3、“=4”是“a=2”的（ ）（陕西延安高2022级高一期末考试）
A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件
4、已知a，bR，下列选项中，使ab>0成立的应该充分不必要条件是（ ）（山西吕梁市高2022级高一专题练习）
A a>0或b>0 B a>10且b>2 C a，b同号且不为0 D a+b>0或ab>0
5、已知命题p：4x-m<0，命题q：1≤3-x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {m|m≥8} B {m|m>8} C {m|m>-4} D {m|m≥-4}
6、“0A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要
7、（多选）-2x-3≤0成立的充分不必要条件可以是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0≤x≤4 B 0≤x≤3 C -1≤x≤2 D -1≤x≤3
8、（多选）下列结论正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A“>1”是“x>1”的充分不必要条件
B 设M N，则“xM”是“xN”的必要不充分条件
C “a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
D “a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分必要条件
『思考问题6』
（1）【典例6】是充分条件，必要条件，充分必要条件的判断问题，解答这类问题应该理解充分条件，必要条件，充分必要条件的定义，掌握充分条件，必要条件，充分必要条件的判断的基本方法；
（2）充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法有：①定义法，②集合关系法，③等价法；
（3）定义法是直接运用充分条件，必要条件，充分必要条件定义进行判断；
（4）集合法只适用于与集合相关的问题，其基本步骤是：①确定问题中涉及的两个集合；②判断两个集合的关系；③得出结果；
（5）等价法是利用pq与qp，qp与pq，pq与qp的等价关系判断命题真假的方法，对于条件或结论是否定形式的命题，一般都可以运用这种方法。
[练习6]解答下列问题：
1、“R，sin（-）=cos，kZ”是“k=1”的（ ）（山西高2022级高一专题练习）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
2、已知命题p：0A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
3、“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（ ）（福州高2022级高一专题练习）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
4、<4的一个必要不充分条件是（ ）（福州高2022级高一专题练习）
A x<- 2 B -25、已知A，B是两个集合，则“AB=A”是“BA”的（ ）（福清市高2022级高一专题练习）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
6、已知命题p：“01”，命题q：“f(x)=-b(a>0，且a1）的图像不过第一象限”，则p是q的（ ）（福州高2022级高一专题练习）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
7、“实数a>1，b>1”是“a+b>2”的（ ）（福州高2022级高一专题练习）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
8、（多选）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A“a=b”是“ac=bc”的充分必要条件B“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分必要条件
C “a>b”是“>”的充分条件 D “a<5”是“a<3”的必要条件
【典例7】解答下列问题：
1、已知命题p： xR，|x+1|>1；命题q： x>0，=x，则（ ）（2024全国高考新高考II）
A p和q都是真命题 B p 和q都是真命题
C p和q 都是真命题 D p 和q 都是真命题
2、已知命题p： xR，+x-1>0 ，命题q： xR，>，则真命题是（ ）（陕西榆林市高2022级高一专题练习）
A pq B p（q ） C （ p）q D （ p） （q ）
3、已知命题p： xR，|x+1|>1；命题q： x>0，=x，则（ ）（2024全国高考新高考II）
A p和q都是真命题 B p 和q都是真命题
C p和q 都是真命题 D p 和q 都是真命题
4、已知命题p：空间两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间双沟平面，，，若⊥，⊥，=l，则l⊥，则下列命题为真命题的是（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A pq B pq C pq D pq
『思考问题7』
（1）【典例7】是复合命题真假判断的问题，解答这类问题需要理解逻辑连接词“且”，“或”，“非”的意义，注意复合命题的几种结构形式①p∧q；②p∨q；③p；掌握复合命题真假判断的基本方法；
（2）复合命题真假判断的基本方法是：①确定问题中的简单命题；②确定复合命题的结构形式；③判断简单命题的真假；④结合相应的真值表得出结果。
[练习7]解答下列问题：
已知命题p：“x>2”是“-3x+2≥0”的充分不必要条件，命题q： xR，+2x+1>0 ，则下列命题是真命题的是（ ）（宁夏吴忠市高2022级高一专题练习）
A pq B pq C （ p）q D （ p） （q ）
2、已知命题p：xR，sinx<1，命题q：xR，1，则下列命题中是真命题的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A pq B pq C pq D (p q)
3、命题p：函数f(x)= （a>0且a 1）的图像恒过点（0，1）；命题q：当t（-2，2）时，函数g(x)= -3tx+1在区间（-3，3）上存在最小值，则下列命题为真命题的是（ ）（2021
成都市高三三诊）
A pq B p ( q) C ( p) q D ( p) ( q)
4、设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；：过空间中任意三点有且仅有一个平面；：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；：若直线l平面，直线m平面，则ml。则下述命题中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标II）
① ② ③ ④
【典例8】解答下列问题：
1、命题“N，N”的否定为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A nN，N B nN，N
C N，N D N，N
2、命题“x>0，+2x+3>0”的否定是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A x>0，+2x+3<0 B x>0，+2x+3≤0
C x<0，+2x+3<0 D x>0，+2x+3≤0
若命题p： xR，+2x+1≤0，则（ ）（贵阳市高2022级高一专题练习）
A 命题p为真命题，且p：xR，+2x+1>0，
B 命题p为真命题，且p：xR，+2x+1>0，
C 命题p为假命题，且p：xR，+2x+1>0，
D 命题p为假命题，且p：xR，+2x+1>0，
4、已知命题p：“aN，bN，a>b”，则命题p的否定为（ ）（湖北宜昌高2022级高一单元测试）
A aN，bN，a≤b B aN，bN，a≤b
C aN，bN，a≤b D aN，bN，a≤b
5、（多选）下列存在量词命题中真命题是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A xR，x≤0 B 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
C x{x|x是无理数} ，是无理数 D Z，1<5<3
6、（多选）命题“1≤x≤3，-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A a≥9 B a≥11 C a≥10 D a≤9
7、选择适当的符号“”，“”表示下列命题：有一个实数x，使-2x-3=0 （福州高2022级高一专题练习）
8、命题“对任意xR，都有+2x-4≤0”的否定为 （成都市高2023级高一专题练习）
『思考问题8』
（1）【典例8】是与全称量词，存在量词相关的问题，这类问题主要包括：①全称命题，特称命题真假的判断；②全称命题，特称命题的否定；
（2）全称命题，特称命题真假判断的基本方法与简单命题真假的判断类似可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；
（3）解答含有一个量词的命题否定的问题的基本方法是；①全称命题的否命题是特称命题，它的结构形式由求出命题变成特称命题；②特称命题的否命题是由全称命题，它的结构形式由特称命题变成全称命题。
[练习8]解答下列问题：
命题p：“x≥0，-sinx≥0”的否定为（ ）（河南高2022级高一专题练习）
A x≥0，-sinx<0 B x<0，-sinx<0
C ≥0，-sin<0 D <0，-sin<0
2、命题“x>0，+x+1>0”的否定为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A x>0，+x+1≤0 B x≤0，+x+1≤0
C >0，++1≤0 D ≤0，++1≤0
3、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数” 的否定是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B 任意一个无理数，它的平方是有理数
C 存在一个无理数，它的平方是有理数 D 存在一个无理数，它的平方不是有理数
4、命题“x≥0，-x≥0”的否定是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A x≥0，-x<0 B x<0，-x<0
C ≥0，-<0 D <0，-<0
5、命题“x<0，-3x+1≥0”的否定是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A ≥0，-3+1<0 B ≥0，-3+1<0
C x<0，-3x+1<0 D x≥0，-3x+1<0
6、经命题“+≥2xy”改写成全称量词命题为（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 对任意x，y R，都有+≥2xy成立 B 存在x，y R，使+≥2xy成立
C 对任意x>0，y>0，都有+≥2xy成立 D 存在x<0，y<0，使+≤2xy成立
7、（多选）下列命题正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 存在x<0，-2x-3=0 B 对于一切实数x<0，都有|x|>x
C xR ，=x D n，2+5n+2能被2整除是假命题
8、命题“ xZ，≤1”的否定为 （成都市高2023级高一专题练习）
【典例9】解答下列问题：
已知集合A={x|-4=0}，B={x|ax-2=0}，若AB=B，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）（湖北高2023级高一专题练习）
A {-1} B {1} C {-1，1} D {-1，0，1}
（多选）设A={xN|N}，B={x|mx-4=0}，若AB=A，则m的值可以为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0 B C 1 D 2
已知集合A={x|2a+(2a-8)x+1=0}有且仅有两个子集，则a的取值集合为 （成都市高2023级高一单元测试）
若“ xR，a≥-+1”是真命题，则实数a的最小值为 （江西新会市高2023级高一专题练习）
设集合A={，2x-1，-4}，B={x-5，1-x，9}，若AB={9}，求实数x的值。（成都市高2023级高一专题练习）
6、已知集合A={x|+2x-3≤0}，集合B={x|a-1≤x≤a+1}。
（1）当a=1时，求AB；
（2）若BA，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一单元测试）
7、设U=R，已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}。
（1）当4B时，求实数m的取值范围；
（2）设p：xA，q：xB，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。（成都市高2023级高一单元测试）
8、已知p：{x|x+2≥0，且x-10≤0}，q：{x|1-m≤x≤1+m，m>0}。
（1）若m=1，则p是q的什么条件？
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
9、已知集合A={x|-2x-3≤0}，B={x|-2mx+-4≤0，xR，mR，}.
（1）若AB=[0，3]，求实数m的值；
（2）若AB，求实数m的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
10、已知命题p：和是方程-mx+2=0的两个实根，不等式-5a-3≥|-|对任意实数a[-1，1]恒成立；命题q：不等式a+2x-1>0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
『思考问题9』
（1）【典例9】是求参数的值或取值范围的问题，解答这类问题需要清楚问题与哪一个知识点相关，再结合相关知识点解答问题；
（2）求问题中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据命题所满足的条件得到含参方程（或方程组）或数的不等式（或不等式组）；②求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组）求出参数的值（或取值范围）；③得出所求参数的值（或取值范围）。
[练习9]解答下列问题：
已知集合A={1，m}，B={0，m+1，m-1}，若AB，则实数m的值为（ ）（辽宁高2023级高一期末考试）
A -1 B 0 C 1 D 2
2、已知集合A={x|>1，xR}，B={x|x>a，xR},若BA，则实数a的取值范围为（ ）（江西景德镇市高2023级高一专题练习）
A a< -1 B a≤-1 C a> 1 D a≥1
3、若3={m-1，3m，-1}，则实数m= （2023全国高一专题练习）
4、若“ x≥0，+x-a≤0”是真命题，则实数a的取值范围是 （北京昌平区高一期末考试）
5、已知集合A={x|x≤-3或x≥-1}，B={x|2m6、设A={xR|+4x=0}，B={xR|+2（a+1）x+-1=0，aR}，若BA，求实数a的值。（成都市高2023级高一专题练习）
7、已知全集为R，集合A={x|2≤x≤6}，B={x|3x-7≥8-2x}。
（1）求AB；
（2）若C={x|a-4≤x≤a+4}，且（AB）C，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一单元测试）
8、已知集合A={x|x-5<+2x（1）当m=-4时，求(AB)；
（2）当B为非空集合时，若xB是xA的充分不必要条件，求实数m的取值范围。（成都市高2023级高一单元测试）
9、已知集合A={xR|（-5x+8)=1}，B={xR|2+2x-8=1}，C={xR|-ax+
-19>0}.
（1）求AB；
（2）若AC，BC=，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
10、命题p：实数a满足+a-6≥0，命题q：函数y=的定义域为R，若命题pq为真， pq 为假，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
集合与常用逻辑用语问题的类型及解法
集合与常用逻辑用语问题是考试的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷，都必有集合与常用逻辑用语的5分小题（或大题）的问题。从题型上看一般是选择题（或填空题或大题），难度系数为低档题（或中档题），百分之九十以上的考生都能得分。纵观近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试或高一单元测试与专题练习）试卷，归结起来集合与常用逻辑用语问题主要包括：①集合元素与集合的关系及表示的问题；②集合与集合之间的关系问题；③集合运算问题；④集合新概念的问题，⑤判断命题的真假；⑥充分条件，必要条件，充分必要条件的判断；⑦全称量词与存在量词及运用；⑧求参数的值（或取值范围）等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在具体解答集合与常用逻辑用语问题时，到底
应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的予以解答呢？下面通过对近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试或高一单元测试与专题练习）试卷中试题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、设全集U=R，集合A={x|2A 1A B 2A C 3 A D 4A
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②补集定义与性质；③补集运算的基本方法；④元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和补集的性质，运用补集运算的基本方法求出A ，
利用元素与集合的关系及表示，对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】 全集U=R，集合A={x|24}，1A ， 2A ， 3 A， 4A ，A，B，D错误，C正确，选C。
2、（理）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足M={1，3}，则（ ）
A 2M B 3M C 4M D 5M
（文）集合M={2，4，6，8，10}，N={x|-1A {2，4} B {2，4，6} C {2,4，6，8} D {2,4，6，8，10}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②全集定义与性质；③补集定义与性质；④交集定义与性质；⑤求已知集合在全集下补集的基本方法；⑥求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】（理）根据集合表示的基本方法，全集和补集的性质，运用求已知集合在全集下补集的基本方法，结合问题条件确定出集合M，可得出选项。（文）根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用求两个已知集合交集的基本方法，结合问题条件求出MN就可得出选项。
【详细解答】（理）全集U={1，2，3，4，5}， M={1，3}，集合M={2，4，5}，
A正确，选A。（文） M={2，4,6，8，10}， N={x|-13、若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A 3.14 B -5 C D
【解析】
【考点】①集合元素定义与性质的基；②有理数定义与性质；③无理数定义与性质；④实数定义与性质；⑤元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据集合元素，有理数，无理数和实数的性质，运用元素与集合的关系，结合问题条件确定出x的值就可得出选项。
【详细解答】a是R中的元素，但不是Q中的元素，a是无理数，D正确，选D。
4、（多选）设集合A={-3，x+2，-4x}，且5A ，则x的值可以为（ ）（成都市高一单元练习）
A 3 B -1 C 5 D -3
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②集合元素定义与性质；③元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和集合元素的性质，运用元素与集合的关系，结合问题条件求出x的值就可得出选项。
【详细解答】集合A={-3，x+2，-4x}，且5A ， x+2=5或，-4x=5，当x+2=5时，解之得x=3，-4x=9-12=-3，x3；当-4x=5时，解之得x=-1或x=5，x+2
=-1+2=1，或x+2=5+2=7，x=-1或x=5， B，C正确，选B，C。
5、（多选）由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数可能为（ ）（全国高2023级高一专题练习）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
【解析】
【考点】①集合元素定义与性质的基；②二次根式定义与性质；③三次根式定义与性质；④元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据集合元素，二次根式和三次根式的性质，运用元素与集合的关系，结合问题条件确定出由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数可得出选项。
【详细解答】=|x|，-=-x，当x=0时，|x|=-x=0，当x<0时，|x|=-x，当x≤0时，出由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数为1；当x>0时，|x|=x-x，由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数为2，综上所述，由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数可能为1或2，A，B正确，选A，B。
6、（多选）集合{1，3，5，7，9}用描述法表示可以为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {x|x是不大于9的非负奇数} B {x|x=2k+1，kN，且k≤4}
C {x|x≤9，x} D {x|0≤x≤9，xZ}
【解析】
【考点】①集合定义与性质的基；②集合元素定义与性质；③列举法表示集合的基本方法；④描述法表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合元素和集合的性质，运用列举法和描述法表示集合的基本方法，结合问题条件把集合{1，3，5，7，9}用描述法表示出来可得出选项。
【详细解答】集合{1，3，5，7，9}中元素的共同特征是：①都是奇数，②都是正数，③都比10小，把集合{1，3，5，7，9}用描述法表示出来可以是 {x|x是不大于9的非负奇数}，{x|x=2k+1，kN，且k≤4} ，A，B正确，选A，B。
7、下列各种对象的全体可以构成集合的是 （填写序号）（成都市高2023级高一单元测试）
① 高一（1）班优秀的学生； ② 高一年级身高超过1.60m的男生
③ 高一（2）班个子较高的女生 ④ 数学课本中的难题
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②集合元素定义与性质。
【解题思路】根据集合和集合元素的性质，结合问题条件，对个选项的所有对象是否能够组成集合进行判断就可得出选项。
【详细解答】 对①，高一（1）班的学生中，优秀学生的标准不确定，不能构成集合；对②，高一年级中，身高超过1.60m的男生是确定的，能构成集合；对③，高一（2）班的学生中，身高较高的女生的标准不确定，不能构成集合；对 ④ ，数学课本中的习题难题女生的标准不确定，不能构成集合，综上所述，下列各种对象的全体可以构成集合的是②。
8、已知集合S满足条件：若aS，则S（a0，a1）， 若3S，试把集合S中的所有元素都求出来。（成都市高2023级高一专题练习）
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②集合元素定义与性质。
【解题思路】根据集合和集合元素的性质，结合问题条件，就可求出集合S中的所有元素。
【详细解答】 集合S满足条件：若aS，则S（a0，a1）， 3S，=-2S，集合S={-2，3}。
9、已知集合A={x|a-3x+2=0，aR}，问是否存在a，使：（1）集合A中只有一个元素；
（2）集合A中至多有一个元素；（3）集合A中至少有一个元素，若存在，分别求出来；若不存在，请说明理由。（成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①集合定义与性质的基；②集合元素定义与性质；③表示集合的基本方法；④参数分类讨论的一诊和基本方法。
【解题思路】根据集合元素和集合的性质，运用表示集合的基本方法与参数分类讨论的一诊和基本方法，结合问题条件就可分别符合条件的实数a的值。
【详细解答】（1）当a=0时，集合A={x|a-3x+2=0，aR}={}只有一个元素；当a0时，集合A={x|a-3x+2=0，aR}只有一个元素，得到=9-8a=0，解之得：a=，综上所述，当a=0或a=时，集合A中只有一个元素；（2）由（1）知，当a=0或a=时，集合A中只有一个元素，若集合A中没有元素，得到=9-8a<0，解之得：a>，综上所述，当a=0或a≥时，集合A中至多有一个元素；（2）由（1）知，当a=0或a=时，集合A中只有一个元素，若集合A中有两个元素，得到=9-8a>0，解之得：a<，综上所述，当a≤时，集合A中至少有一个元素。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合元素和元素与集合关系相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素的定义，掌握元素与集合之间的关系及其表示，注意集合中元素的性质；
（2）集合中的每一个个体，称为集合的元素；元素与集合的关系有两种：①元素是集合中的元素称为元素属于集合，用符号“”表示；②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合，用符号“”表示；
（3）确定集合中的元素或集合中元素的个数，都必须求出集合，在求复合某些条件的集合时，应该注意集合元素的性质；
（4）集合元素的性质有：①确定性，即一个集合的元素是确定的；②互异性，即一个集合中元素与元素之间不能完全相同；③无序性，即一个集合中元素与元素之间没有先后顺序。
（5）对含有参数的集合问题，应该对参数的可能取值进行分类讨论，注意参数分类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。
（6）解决集合问题中参数问题的基本方法是：①确定集合元素的属性，它表示的是一个怎样的集合（定性），②结合问题的条件进行分析，实施解答（定量）；
（7）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其问题中涉及到A∩B=时，一定要分A或B=和A或B两种情况来考虑。
[练习1]解答下列问题：
1、已知集合A={0，m，-3m+2}，且2A ，则实数m为（ ）（全国高一专题练习）
A 2 B 3 C 0或3 D 0，2，3 （答案：B）
2、下列说法正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A 某村子里的高个子组成一个集合 B 所有小的正数组成的集合
C 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D 1，0.5，，，，这些数组成的集合有五个元素
3、下列各组集合表示同一集合的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A M={（3，2）}，N={（2，3）} B M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C M={4，5}，N={5，4} D M={1，2}，N={（1，2）}
4、由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：A）
A 2 B 3 C 4 D 5
5、已知集合A={xZ|-2A -2A B 0A C -1A D {-1}A
6、下列有关集合的说法正确的是（ ）（成都市高一单元练习）（答案：D）
A {0}{0，1，2} B ={0} C 0 D {0}
7、已知集合A={12，+4a，a-2}，-3A ，则a=（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A -1 B -3或1 C 3 D -3 （答案：D）
8、集合A={xZ|Z}，用列举法表示集合A，则A= （成都市高2023级高一单元测试）（答案：A={-1，1，3，5}）
【典例2】解答下列问题：
1、集合A={xN|-5<2x-1<5}的子集个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 4 B 7 C 8 D 16
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③表示集合的基本方法；④确定已知集合子集个数的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用表示集合和确定已知集合子集个数的基本方法，结合问题条件确定出集合A子集的个数就可得出选项。
【详细解答】集合A={xN|-5<2x-1<5}={xN|-22、设集合A={n|n=6k+1，kZ}，B={n|n=3m+1，mZ}，则下列判断正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A A=B B AB=A C AB=A D BA
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③表示集合的基本方法；④表示子集的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用表示集合和表示子集的基本方法，结合问题条件确定出集合A与集合B之间的关系就可得出选项。
【详细解答】对任意的xA，都有xB，集合A是集合B的子集， AB=A ，C正确，选C。
3、设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},若AB，则a=（ ）（2023全国高考新高考II）
A 2 B 1 C D -1
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件求出a的值就可得出选项。
【详细解答】集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},AB，-a=1，或a-2=-a，或2a-2=-a，
当-a=1时，a=-1，a-2=-1-2=-3，2a-2=-2-2=-4，显然AB不成立；当-a=a-2时，a=1，a-2=-1-2=-1，2a-2=2-2=0，A={0，-a}={0，-1}，B={1，a-2，2a-2}={1，-1，0},AB成立，a=1；当-a=2a-2时，a=，a-2=-2=-，2a-2=-2=-，A={0，-a}={0，-}，B={1，a-2，2a-2}={1，-，-},AB不成立，综上所述a=1，B正确，选B。
4、已知集合A={0，z}，B={0，2，4}，若A B，则实数z的值为（ ）（成都市2020高
三三诊 ）
A 0或2 B 0或4 C 2或4 D 0或2或4
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件求出x的值就可得出选项。
【详细解答】集合A={0，z}，B={0，2，4}，若A B，x=2，或x=4，C正确，选C。
5、（多选）下列命题中正确的有（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 集合{a，b}的真子集是{a}，{b} B {x|x是菱形}{x|x是平行四边形}
C 设a，bR，A={1，a}，B={-1，b}，若A=B，则a-b=-2
D {x|+1=0，xR}
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③真子集定义与性质；④表示集合与集合之间关系的基本方法。
【解题思路】根据集合，子集和真子集的性质，运用表示集合和表示集合与集合之间关系的基本方法，结合问题条件对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， 集合{a，b}的真子集是，{a}，{b} ，A错误；对B，任意的菱形，都是平行四边形，{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}，B正确；对C，a，bR，A={1，a}，B={-1，b}，若A=B，a=-1，b=1，a-b=-1-1=-2，C正确；对D，集合与集合之间只有包含关系或相等关系，没有属于关系，D错误，综上所述，B，C正确，选B，C。
6、设a，bR，P={1，a}，Q={2a+3，b}，若P=Q，则a-b= （成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②集合相等定义与性质；③集合元素定义与性质；④表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合，集合元素和集合相等的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件求出a，b的值，从而求出a-b的值。
【详细解答】 a，bR，P={1，a}，Q={2a+3，b}，P=Q，b=1，2a+3=a，或b=a，2a+3=1，
解之得：a=-3，b=1，或a=-1，b=-1，a-b=-3-1=-4，或a-b=-1+1=0。
7、已知集合A={x|-3x+2=0，xR}，B={x|0【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③真子集定义与性质；④表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合，子集和真子集的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件就可确定出复合条件的集合C。
【详细解答】集合A={x|-3x+2=0，xR}={1，2}，，B={x|08、已知集合A有三个元素：a-3，2a-1，+1，集合B也有三个元素：0，1，x。
（1）若-3A，求a的值；
（2）若B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A=B。（成都市高2023级高一专题练习）
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②集合元素定义与性质；③元素与集合的关系及表示；④集合相等定义与性质。
【解题思路】（1）根据集合和集合元素的性质，运用元素与集合的关系及表示，结合问题条件就可求出a的值；（2）根据集合和集合元素的性质，运用元素与集合的关系及表示，结合问题条件就可求出x的值；（3）假设存在实数a，x，使A=B，根据集合和集合元素的性质，运用集合相等的性质，结合问题条件看是否能够求出a，x的值就可得出结论。
【详细解答】（1）集合A有三个元素：a-3，2a-1，+1，-3A，+1≥1，a-3=-3，或2a-1=-3，当a-3=-3时，解之得：a=0，2a-1=0-1=-1，+1=0+1=1，集合A={-3，-1，1}，当2a-1=-3时，解之得：a=-1，a-3=-1-3=--4，+1=1+1=2，集合A={-4，-3，2}，
综上所述，若-3A，则a的值为0或-1；（2）集合B,有三个元素：0，1，x，B，
=0，或=1，或=x，当=0时，解之得x=0，x=0，集合B={0，1}与题意不符；当=1时，解之得x=1，或x=-1，x=1，或x=-1，集合B={0，1}与题意不符，或集合B={0，1，-1}，即x=-1；当=x时，解之得x=0，或x=1，x=0，或x=1，集合B={0，1}与题意不符，综上所述，若B，则实数x的值为-1；（3）假设存在实数a，x，使A=B，集合A={a-3，2a-1，+1}，B={0，1，x}，+1≥1，a-3=0，或2a-1=0，
当a-3=0时，解之得：a=3，2a-1=6-1=5， +1=9+1=10，集合A={0，5，10}，显然A=B不能成立；当2a-1=0时，解之得：a=，a-2=-3=-， +1=+1=，集合A={，0，}，显然A=B不能成立，综上所述，不存在实数a，x，使A=B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是集合与集合之间的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集和集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质。
（2）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，则称集合A是集合B的子集，
子集用符合“”表示，读作包含于，或符号“”表示，读作包含；
（2）子集的性质有：①空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；③子集具有传递性；④含有n个元素的集合有个子集；
（3）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，且存在B，但A，则称集合A是集合B的真子集，真子集用符合“”表示，读作真包含于，或符号“”表示，读真包含；
（4）真子集的性质有：①空集是任何非空集合的真子集；②真子集具有传递性；③ 含有n个元素的集合的真子集个数为（-1）个；
（5）设A、B是两个集合，如果AB，且BA，则称集合A与集合B相等，表示为A=B。
[练习2]解答下列问题：
1、已知集合P={x|y=}，集合Q={y|y=}，则P与Q的关系是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A P=Q B PQ C PQ D PQ=
2、已知集合A={xR|-3x-18<0}，B={xR|-ax+-27<0}，则下列命题中正确的是（）
（成都市高2023级高一专题练习）（答案：C）
A 若A=B，则a=-3 B 若AB，则a=-3
C 若B=，则a≤-6或a≥6 D 若BA，则-63、已知集合B={（x，y）|4x+3y-12<0，x，y}，则集合B的子集个数为（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：D）
A 3 B 4 C 7 D 8
4、已知集合M={3,4}，N={x|（x-3）（x+a）=0,aR}，若M=N，则a=（ ）（成都市高2023级高一单元练习）（答案：D）
A 3 B 4 C -3 D -4
5、、已知集合M={x|x=+,kZ}，N={x|x=-,kZ}，则（ ）（成都市高2023级高一单元练习）（答案：C）
A M N= B MN C MN D MN=M
6、（多选）已知集合M={x|=1}，N={x|ax=1,aR}，若NM，则实数a的值可能为（ ）（成都市高2023级高一单元练习）（答案：A，C）
A -1 B 0 C 1 D 2
7、若A={1，2}，合B={x|xA}，则B= （成都市高2023级高一专题练习）（答案：B={1}或B+{2}或B={1，2}）
8、满足{1，3}A{0，1，3，5，7}条件的集合A的个数有 （福州高2022级高一专题练习）（答案：满足{1，3}A{0，1，3，5，7}条件的集合A的个数有11个）
【典例3】解答下列问题：
1、（理）集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}，则（AB）=（ ）
A {1， 4，9} B {3，4，9 } C {1，2，,3} D {2，3，5}
（文）集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}，则AB =（ ）（2024全国高考甲卷）
A {1，2， 3，4} B {1，2，3} C {3，4} D {1，2，9}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③补集定义与性质；④集合运算法则和基本方法。
【解题思路】（理）根据集合表示的基本方法，交集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出（AB）（文）根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】（理） 集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}={1，4，9，16，25，81}，AB={1，4，9}，（AB）= {2，3，5}，D正确，选D。（文） 集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}={1，4，9，16，25，81}，AB={1，4，9}，A正确，选A。
2、（理）已知集合A={xR|y=x+1，}，B={y|y=-1，xR}，则AB=（ ）
A {-1， 2} B {（-1，0），（2，3） } C [2，+） D [-1，+）
（文）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1,4}，集合N={2,5}，则N（M）=（ ）（2024全国高考乙卷）
A {2，3，5} B { 1，3，5} C {1，2，4，5} D {2，3，4，5}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③补集定义与性质；④集合运算法则和基本方法。
【解题思路】（理）根据集合表示的基本方法，交集和直线与抛物线相交的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。（文）根据集合表示的基本方法并集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出MN就可得出选项。
【详细解答】（理） 集合A={xR|y=x+1}，B={y|y=-1，xR}，AB={xR|直
线y=x+1与抛物线y=-1的交点}={（-1，0），（2，3） }，B正确，选B。（文）全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1,4}，M={2，3,5}，集合N={2,5}，N
M={2，3，5} ，A正确，选A。
3、已知集合A={x|-5<<5}，集合B={-3，-1，0，2，3}，则AB =（ ）（2024全国高考新高考I）
A {-1，0} B {2，3 } C {-3，-1，0} D {-1，0，2}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②求立方根的基本方法；③交集定义与性质；④集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示和求立方根的基本方法，运用交集的性质和集合运算法则与基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-5<<5}={x|-4、已知集合A={x|x(x-1)=0}，B={x|=1}，则AB=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {-1，0，1} B {1，0} C {-1，1} D {1}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②并集定义与性质；③集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|x(x-1)=0}={0，1}，B={x|=1}={-1，1}，AB={-1，0，1}，
A正确，选A。
5、已知集合A={x|x≤1或x>3}，B={-2，1，2，3}，则（A）B =（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A B {1，2} C {2，3} D {1，2，3}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②补集定义与性质；③交集定义与性质；④集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，补集和交集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出（A）B 就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|x≤1或x>3}，A={x|16、已知R是实数集，集合A={x|-30}，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {x|-4【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②韦恩氏图定义与性质；③并集定义与性质；④补集定义与性质；⑤集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，并集，补集和韦恩氏图的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出以AB为全集的集合A的补集 就可得出选项。
【详细解答】R是实数集，集合A={x|-30}={x|x<1}，AB={x|x≤3}，={x|x≤-4}，D正确，选D。
7、已知全集U= {x|x≤4} ，集合A= {x|-2（A）B。
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③并集定义与性质；④补集定义与性质；⑤集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，交集，并集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件就可求出AB，（AB），（A）B。
【详细解答】全集U= {x|x≤4} ，集合A= {x|-23}，（AB）={x|x≤-3或3≤x≤4}，（A）B={x|-38、立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台-支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究，随机调查了1000名市民，结果显示，使用支付宝的有456人，使用微信支付的有783人，两种都使用的有298人。
（1）只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？
（2）两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③并集定义与性质；④补集定义与性质；⑤集合运算法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据集合表示的基本方法，交集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件就可求出只使用支付宝并使用微信的人数；（2）根据集合表示的基本方法，并集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件就可求出两种移动方式都不使用的人数。
【详细解答】（1）设全集U={x|x为被随机调查的市民}，集合A={x|x为调查的市民中使用
支付宝的市民}，B={x|x为调查的市民中使用微信的市民}，集合A中元素的个数为456，
集合AB中元素的个数为298，集合（AB）中元素的个数为456-298=158（人），即只使用支付宝不使用微信支付的有158人；（2）集合AB中元素的个数为456+783-298
=941（人），集合（AB）中元素的个数为1000-941=59（人），即两种移动支付方
式都不使用的有59人。
『思考问题3』
【典例3】是集合运算的问题，集合的运算主要包括：①集合的并集；②集合的交集；③集合的补集；
设A，B是两个集合，由集合A，B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号∪表示，读作并；
并集有如下性质：①任何集合与空集的并集等于这个集合本身；②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身；③两个集合的并集具有交换性；④若A B，则A∪B=B；
设A，B是两个集合，由A，B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号表示，读作交；
交集有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与自身的交集等于它本身；③两个集合的交集具有交换性；④若A B，则A∩B=A；
研究对象的所有元素构成的集合，称为全集，一般用符号U表示；
设U为全集，A为集合，由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合，称为集合A在全集U下的补集，用符号A表示，读作集合A在全集U下的补集；
补集有如下性质：①任何集合与补集的并集等于全集；②任何集合与补集的交集等于空集；③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集；④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集；
（9）在进行集合运算时，如果集合是用描述法表示的应该先把集合进行化简，再进行运算；（10）如果集合涉及到不等式的解集，在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行；（11）如果集合涉及到函数，在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行，这样可以使问题更直观更简便。
[练习3]解答下列问题：
1、已知A={xN||x|≤2}，B={xN|0≤x<7}，则AB中元素的个数为（ ）（广西高2022级高一专题练习）（答案：B）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、设全集U= {-2，-1，0，1，2} ，集合A={x|-x-2=0}，B={x|+x-2=0}，则（AB）
=（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：D）
A {-2，-1，1，2} B {-2，-1，0} C {0，1，2} D {0}
3、（多选）如图，已知全集U表示矩形，A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）（江苏徐州高2022级高一统考）（答案：A，C，D）
A （A）B B （AB） C （AB） D A
4、（多选）已知集合A= {x|x<2} ，B= {x|3-2x>0} ，则（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：A，C）
A AB ={x|x<} B AB = C AB = {x|x<2} D AB = R
5、设y=+ax+b，A= {x|y=x} ={a}，M={（a，b）}，求M。（成都市高2023级高一专题练习）（答案：M={，}）
6、已知U={xR|1（1）AB；
（2）（A）（B）。（成都市高2023级高一专题练习）
（答案：（1）AB={xR|2≤x≤7}；（2）（A）（B）={xR|x<3或x≥5}）
7、设全集为R，A= {x|3≤x<7} ，B= {x|2（1）求AB ；
（2）求（AB）。（成都市高2023级高一专题练习）
（答案：（1）AB={x|3≤x<7}；（2）（AB）={x|x≤2或x≥10}）
8、已知全集U=R，A= {x|2≤x<5} ，B= {x|3（1）（AB）；
（2）A（B）。（成都市高2023级高一专题练习）
（答案：（1）（AB）={x|x<2或x≥9}；（2）A（B）={x|2≤x≤3）
【典例4】解答下列问题：
1、定义集合运算：A.B={z|z=(y-1)，xA，yB}，设A={-1，1}，B={0，2}，则集合A.B中的所有元素之和为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②新定义理解；③集合元素定义与性质；④确定集合元素的基本方法。
【解题思路】根据新定义的理解和集合元素的性质，运用表示集合和确定集合元素的基本方法，结合问题条件确定出集合A.B中的所有元素，出而求出所有元素之和就可得出选项。
【详细解答】定义集合运算：A.B={z|z=(y-1)，xA，yB}，集合A={-1，1}，B={0，2}，A.B={-1，1}，-1+1=0，A.B中使用元素之和为0，A正确，选A。
2、定义集合M.N={x|xM且x-1N}，已知A={x|+3x-10<0}，B={x|-7=（ ）（河南新乡市高2023级高一专题练习）
A {x|-5【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②新定义理解；③集合元素定义与性质；④确定集合元素的基本方法。
【解题思路】根据新定义的理解和集合元素的性质，运用表示集合和确定集合元素的基本方法，结合问题条件求出集合A.B就可得出选项。
【详细解答】定义集合M.N={x|xM且x-1N}，A={x|+3x-10<0}={x|-5-5时，x-1>-5-1>-6B，当x<2时，x-1<2-1<1B，AB
={x|-53、设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P*Q={（a，b）|aP，bQ}，
则P*Q中元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 3个 B 4个 C 7个 D 12个
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②新定义理解；③集合元素定义与性质；④确定集合元素的基本方法。
【解题思路】根据新定义的理解和集合元素的性质，运用表示集合和确定集合元素的基本方法，结合问题条件确定出集合P*Q中的所有元素就可得出选项。
【详细解答】集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P*Q={（a，b）|aP，bQ}，
P*Q={（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（4，4），（4，5），（4，6），（4，7），（5，4），（5，5），（5，6），（5，7）}中的元素个数为12，D正确，选D。
4、对任意两个正整数m，n，定义运算“”：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn，如46=4+6=10，
37=3+7=10，34=34=12，根据上述定义，集合M={（a，b）|ab=12，a，b}的元素有 个。（江苏如东中学高2022级高一专题练习）
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②新定义理解；③集合元素定义与性质；④确定集合元素的基本方法。
【解题思路】根据新定义的理解和集合元素的性质，运用表示集合和确定集合元素的基本方法，结合问题条件确定出集合M中的所有元素就可得出选项。
【详细解答】对任意两个正整数m，n，定义运算“”：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn，12=1+11=3+9
=5+7=2+10=4+8=6+6=112=34，集合M={（a，b）|ab=12，a，b}={（1，11），（11，1），（3，9），（9，3），（5，7），（7，5），（2，10），（10，2），（8，4），（4，8），（6，6），（1，12），（12，1），（3，4），（4，3）}的元素有15个。
『思考问题4』
（1）【典例4】是集合新概念的问题，它属于信息迁移类问题，是化归思想的具体运用，也是近几年的高考热点问题；它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向，常见的类型有：①定义新概念；②定义新公式；③定义新运算；④定义新法则；
（2）解答这类问题的基本思路是：①理解问题中新概念，新公式，新运算，新法则；②利用学过的数学知识进行逻辑推理；③对选项进行筛选，验证，得出结论。
[练习4]解答下列问题：
1、设A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”。给定S=｛x∈N|y=lg(36-)｝,设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：C）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
2、在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论：（1）2011〔1〕；（2）-3〔3〕；（3）Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕；（4）“整数a，b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是（）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、已知集合A=｛（x，y）|+≤1，x，yZ｝，B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，yZ｝，
定义集合A B=｛（+，+）|（，）A，（， ）B｝，则AB中元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：C）
A 77 B 49 C 45 D 30
4、若对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 。（成都市高2023级高一专题练习）（答案：集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为7）
【典例5】解答下列问题：
1、如图，在正方体ABCD—中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论错误的是（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A ，F， C，G 四点共面 B 直线EF//平面BD
C 平面HCG//平面BD D 直线EF和HG所成角的正切值为
【解析】
【考点】①平面定义与性质；②直线平行平面判定定理及运用；③平面平行平面判定定理及运用；④异面直线所成角定义与性质。
【解题思路】根据平面和异面直线所成角的性质，运用直线平行平面和平面平行平面的判定定理，对各选项结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，如图，连接G，F，CG，CF， F，G分别是AD，的中点，容易证明F=CG，G=CF，四边形FCG是平行四边形，F//CG，，F， C，G 四点共面，A正确；对B，如图，分别取AB，的中点M，N，连接MF，FN，EN，EM，BD， ，M，F分别是AB，AD的中点，MF//BD，MF平面BD，BD平面BD，MF//平面BD，同理可证NF//平面BD，平面MFNE//平面BD，EF//平面BD，B正确；对C，如图，分别取BC，CD的中点J，K，连接JK，KH，HG，JG，容易证明平面JKHG//平面BD，平面JKHG平面HCG=HG，平面HCG与平面BD 相交，C错误；对D，如图，设正方体ABCD—的棱长为1，FM//BD// //GH，EFM是异面直线EF与HG所成的角，,在RtEMF中，FM=BD=，EM=1，tanEFM==，直线EF和HG所成角的正切值为，D正确，综上所述，C错误，选C。
2、命题p：x>1，+2x-3>0，命题q： xR，2-4x+3=0，则（ ）（河北高2023级高一专题练习）
A p真q真 B p假q假 C p假q真 D p真q假
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②全称命题定义与性质；③特称命题定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题，全称命题和特称命题的性质，运用判断命题真假的基本方法，对命题p和命题q的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对命题p， 当x>1时，+2x-3=（2+3）（-1）>0成立，命题p是真命题；对命题q， 2-4x+3=2（-2x+1）+1=2+1≥1在R上恒成立，命题q是假命题，D正确，选D。
3、下列命题中为真命题的是（ ）（山西晋中高2023级高一专题练习）
A 所有的矩形都是正方形 B 集合{（x，y）|y=}与集合{y|y=}表示同一集合C “=”是“a=b”的必要不充分条件 D xR，+2x+2≤0
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②表示集合的基本方法；③特称命题定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题和特称命题的性质，运用表示集合和判断命题真假的基本方法，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， 矩形中的长方形不是正方形，命题是假命题；对B， 集合{（x，y）|y=}表示的是曲线y=上的所有点构成的集合，集合{y|y=}表示是函数y=的值域，命题是假命题；对C， 由=不一定推出a=b，但由a=b就一定能够推出
，“=”是“a=b”的必要不充分条件，命题是真命题；对D，+2x+2=+1
≥1在R上恒成立，命题是假命题，综上所述，C正确，选C。
4、设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素-1，0，1；②若aM，则M，则下列结论正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 集合M中至多有2个元素 B 集合M中至多有3个元素
C 集合M中有且仅有4个元素 D 集合M中至少有4个元素
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②集合元素定义与性质；③确定集合元素的基本方法；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题和集合元素的性质，运用判断命题真假和确定集合元素的基本方法，对各选项命题真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】设M=Z，M中不含元素-1，0，1，当2M时，=-3M，当-2M时，=-M，当3M时，=-2M，当4M时，=-M，当5M时，=-M，M={-3，-2，2，3}有且仅有4个元素，C正确，选C。
5、（多选）已知集合A={xR|-3x-18<0}，B={xR|+ax+-27<0}，则下列命题中正确的是（ ）（2023全国高一专题练习）
A 若A=B，则a=-3 B 若AB，则a=-3
C 若B=, 则a≤-6或a≥6 D 若BA时， 则-6【解析】
【考点】①命题定义与性质；②表示集合的基本方法；③子集定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题和子集的性质，运用表示集合和判断命题真假的基本方法，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当a=-3时，集合A={xR|-3x-18<0}={xR|-3ax+-27<0}={xR|-3x-18<0}={xR|-3=+6a+9≤0②，联立①②解之得：a=-3，选项B正确；对C， 若B=,=-4（-27）=-3+108≤0，解之得：a≤-6或a≥6 ，选项C正确；对D，若BA时，=-4（-27）=-3+108>0①，-a-≥-6②，-a+≤12③，联立①②③解之得：-66、（多选）下面命题正确的是（ ）（江苏镇江高2023级高一专题练习）
A “a>1”是“<1”的充分不必要条件
B 命题“若x<1，则<1”的否定是“存在x≥1，≥1”
C 设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“+≥4”的必要不充分条件
D 设a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；③判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题，充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断命题真假和充分条件，必要条件与充分必要条件的基本方法，对各选项命题真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，由a>1能够推出<1，但由<1不一定能够推出a>1，“a>1”是“<1”的充分不必要条件，A正确；对B， 命题“若x<1，则<1”的否定是“存在x<1，≥1”B错误；对C，由x≥2且y≥2能够推出+≥4，但由+≥4不一定能够推出x≥2且y≥2，“x≥2且y≥2a”是“+≥4”的充分不必要条件，C错误；
对D，由a0不一定能够推出ab0，但由ab0一定能够推出a0，“a0”是“ab0”的必要不充分条件，D正确，综上所述，A，D正确，选A，D。
『思考问题5』
（1）【典例5】是命题真假的判断问题，解答这类问题需要理解命题，真命题，假命题的定义，掌握命题真假判断的基本方法；
（2）命题真假判断的基本方法有：①直接判断法；②间接判断法；
（3）直接法判断命题的真假可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；其基本方法是：①弄清问题与哪一个定义，定理，公理，哲理相关；②运用相应的定义，定理，公理，哲理判断真假；③对假命题，只需找一个反例即可；
（4）间接法的基本方法是：①利用原命题与逆否命题真假的一致性间接判断原命题的真假；②利用充要条件与集合的关系判断命题的真假。
[练习5]解答下列问题：
1、下列命题中错误的是（ ）（成都市高2020级高三一诊）（答案：B）
A 在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握性越大 C 线性回归直线=x+恒过点（，） D 在回归分析中，残差平方越小，模型的拟合效果越好
2、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，M，N分别为B，CD的中点，
有下列结论：①三棱锥—MN在平面DC上的正投影为等腰三角形；②直线MN//平面D；③在棱BC上存在一点E，使得平面AEMNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥M—NFB的各点均在同一球面上，则该球的体积为。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2020级高三零诊）（答案：D）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线y=kx（k0）与椭圆C相交于A（，B两点，有下列结论：①四边形AB为平行四边形；②若AEx轴，垂足为E，则直线BE的斜率为k；③若|OA|=c（O为坐标原点），则四边形AB的面积为；④若|A|=2|A|，则椭圆的离心率可以是。
（理）其中错误结论的个数是（ ）（答案：A）
A 1 B 2 C 3 D 0
（文）其中正确的结论是（ ）（答案：B）
A ①④ B ①②④ C ①②③ D ②④
4、（多选）下列说法不正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：A，B）
A “x≥2”是“x>4”的充分不必要条件
B 命题p：“a，b为无理数”，命题q：“ab为有理数”，则p是q的充分条件
C “m2”是“|m|2”的充分必要条件
D 命题p：“四边形是正方形”，命题q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的充分必要条件
5、已知函数f(x)=sinx-sinx+k，x[0，]，有下列结论：①若函数f(x)有零点，则k的取
值范围是（-，]；②函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4；③若函数f(x)有四个零点，，，，则k（0，），且+++=2 ；④若函数f(x)有四个零点，，，（<<<），且，，，成等差数列，则为定值，且（，），其中所有正确结论的编号为 。（答案：所有正确结论的编号是②③④。）
【典例6】解答下列问题：
1、已知向量=（x+1，x），=（x，2），则（ ）（2024全国高考甲卷）
A “x=-3”是“”的必要条件 B “x=-3”是“//”的必要条件
C “x=0”是“”的充分条件 D “x=-1+”是“//”的充分条件
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量数量积的定义与性质；③充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；④向量坐标运算法则和基本方法；⑤向量数量积坐标运算的基本方法；⑥判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解答思路】根据向量坐标，向量数量积和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用向量坐标运算法则与基本方法，向量数量积坐标运算的基本方法和判断充分条件，必要条件与充分必要条件的基本方法，结合问题条件对各选项结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，向量=（x+1，x），=（x，2），，.=+x+2x=+3x
=x（x+3）=0，x=0，或x=-3，“x=-3”不一定是“”的必要条件 ，A错误；对B，向量=（x+1，x），=（x，2），//，=，x=1+，或x=1-，“x=-3”不是“//”的必要条件 ，B错误；对C，当x=0时，.=+x+2x=+3x
=0+0=0，“x=0”是“”的充分条件 ，C正确，选C。
2、已知p：0A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
集合与常用逻辑用语问题是考试的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷，都必有集合与常用逻辑用语的5分小题（或大题）的问题。从题型上看一般是选择题（或填空题或大题），难度系数为低档题（或中档题），百分之九十以上的考生都能得分。纵观近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试或高一单元测试与专题练习）试卷，归结起来集合与常用逻辑用语问题主要包括：①集合元素与集合的关系及表示的问题；②集合与集合之间的关系问题；③集合运算问题；④集合新概念的问题，⑤判断命题的真假；⑥充分条件，必要条件，充分必要条件的判断；⑦全称量词与存在量词及运用；⑧求参数的值（或取值范围）等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在具体解答集合与常用逻辑用语问题时，到底
应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的予以解答呢？下面通过对近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试或高一单元测试与专题练习）试卷中试题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、设全集U=R，集合A={x|2
2、（理）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足M={1，3}，则（ ）
A 2M B 3M C 4M D 5M
（文）集合M={2，4，6，8，10}，N={x|-1
3、若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（ ）（成都市高一单元练习）
A 3.14 B -5 C D
4、（多选）设集合A={-3，x+2，-4x}，且5A ，则x的值可以为（ ）（成都市高一单元练习）
A 3 B -1 C 5 D -3
（多选）由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数可能为（ ）（全国高一专题练习）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
（多选）集合{1，3，5，7，9}用描述法可不是为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {x|x是不大于9的非负奇数} B {x|x=2k+1，kN，且k≤4}
C {x|x≤9，x} D {x|0≤x≤9，xZ}
下列各种对象的全体可以构成集合的是 （填写序号）（成都市高2023级高一单元测试）
高一（1）班优秀的学生； ② 高一年级身高超过1.60m的男生
高一（2）班个子较高的女生 ④ 数学课本中的难题
8、已知集合S满足条件：若aS，则S（a0，a1）， 若3S，试把集合S中的所有元素都求出来。（成都市高2023级高一专题练习）
9、已知集合A={x|a-3x+2=0，aR}，问是否存在a，使：（1）集合A中只有一个元素；
（2）集合A中至多有一个元素；（3）集合A中至少有一个元素，若存在，分别求出来；若不存在，请说明理由。（成都市高2023级高一单元测试）
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合元素和元素与集合关系相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素的定义，掌握元素与集合之间的关系及其表示，注意集合中元素的性质；
（2）集合中的每一个个体，称为集合的元素；元素与集合的关系有两种：①元素是集合中的元素称为元素属于集合，用符号“”表示；②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合，用符号“”表示；
（3）确定集合中的元素或集合中元素的个数，都必须求出集合，在求复合某些条件的集合时，应该注意集合元素的性质；
（4）集合元素的性质有：①确定性，即一个集合的元素是确定的；②互异性，即一个集合中元素与元素之间不能完全相同；③无序性，即一个集合中元素与元素之间没有先后顺序。
（5）对含有参数的集合问题，应该对参数的可能取值进行分类讨论，注意参数分类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。
（6）解决集合问题中参数问题的基本方法是：①确定集合元素的属性，它表示的是一个怎样的集合（定性），②结合问题的条件进行分析，实施解答（定量）；
（7）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其问题中涉及到A∩B=时，一定要分A或B=和A或B两种情况来考虑。
[练习1]解答下列问题：
1、已知集合A={0，m，-3m+2}，且2A ，则实数m为（ ）（全国高一专题练习）
A 2 B 3 C 0或3 D 0，2，3
下列说法正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 某村子里的高个子组成一个集合 B 所有小的正数组成的集合
C 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D 1，0.5，，，，这些数组成的集合有五个元素
下列各组集合表示同一集合的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A M={（3，2）}，N={（2，3）} B M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C M={4，5}，N={5，4} D M={1，2}，N={（1，2）}
4、由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 2 B 3 C 4 D 5
5、集合A={xZ|Z}，用列举法表示集合A，则A= （成都市高2023级高一单元测试）
6、已知集合A={xZ|-2
7、下列有关集合的说法正确的是（ ）（成都市高一单元练习）
A {0}{0，1，2} B ={0} C 0 D {0}
已知集合A={12，+4a，a-2}，-3A ，则a=（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A -1 B -3或1 C 3 D -3
【典例2】解答下列问题：
集合A={xN|-5<2x-1<5}的子集个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 4 B 7 C 8 D 16
设集合A={n|n=6k+1，kZ}，B={n|n=3m+1，mZ}，则下列判断正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A A=B B AB=A C AB=A D BA
3、设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},若AB，则a=（ ）（2023全国高考新高考II）
A 2 B 1 C D -1
4、已知集合A={0，z}，B={0，2，4}，若A B，则实数z的值为（ ）（成都市2020高三三诊 ）
A 0或2 B 0或4 C 2或4 D 0或2或4
5、（多选）下列命题中正确的有（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 集合{a，b}的真子集是{a}，{b} B {x|x是菱形}{x|x是平行四边形}
C 设a，bR，A={1，a}，B={-1，b}，若A=B，则a-b=-2
D {x|+1=0，xR}
6、 设a，bR，P={1，a}，Q={2a+3，b}，若P=Q，则a-b= （成都市高2023级高一单元测试）
7、已知集合A={x|-3x+2=0，xR}，B={x|0
若-3A，求a的值；
若B，求实数x的值；
是否存在实数a，x，使A=B。（成都市高2023级高一专题练习）
『思考问题2』
（1）【典例2】是集合与集合之间的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集和集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质。
（2）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，则称集合A是集合B的子集，
子集用符合“”表示，读作包含于，或符号“”表示，读作包含；
（2）子集的性质有：①空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；③子集具有传递性；④含有n个元素的集合有个子集；
（3）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，且存在B，但A，则称集合A是集合B的真子集，真子集用符合“”表示，读作真包含于，或符号“”表示，读真包含；
（4）真子集的性质有：①空集是任何非空集合的真子集；②真子集具有传递性；③ 含有n个元素的集合的真子集个数为（-1）个；
（5）设A、B是两个集合，如果AB，且BA，则称集合A与集合B相等，表示为A=B。
[练习2]解答下列问题：
已知集合P={x|y=}，集合Q={y|y=}，则P与Q的关系是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A P=Q B PQ C PQ D PQ=
已知集合A={xR|-3x-18<0}，B={xR|-ax+-27<0}，则下列命题中正确的是（）
（成都市高2023级高一专题练习）
A 若A=B，则a=-3 B 若AB，则a=-3
C 若B=，则a≤-6或a≥6 D 若BA，则-6
A 3 B 4 C 7 D 8
4、已知集合M={3,4}，N={x|（x-3）（x+a）=0,aR}，若M=N，则a=（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A 3 B 4 C -3 D -4
5、、已知集合M={x|x=+,kZ}，N={x|x=-,kZ}，则（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A M N= B MN C MN D MN=M
6、（多选）已知集合M={x|=1}，N={x|ax=1,aR}，若NM，则实数a的值可能为（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A -1 B 0 C 1 D 2
7、若A={1，2}，合B={x|xA}，则B= （成都市高2023级高一专题练习）
8、满足{1，3}A{0，1，3，5，7}条件的集合A的个数有 （福州高2022级高一专题练习）
【典例3】解答下列问题：
（理）集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}，则（AB）=（ ）
A {1， 4，9} B {3，4，9 } C {1，2，,3} D {2，3，5}
（文）集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}，则AB =（ ）（2024全国高考甲卷）
A {1，2， 3，4} B {1，2，3} C {3，4} D {1，2，9}
（理）已知集合A={xR|y=x+1，}，B={y|y=-1，xR}，则AB=（ ）
A {-1， 2} B {（-1，0），（2，3） } C [2，+） D [-1，+）
（文）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1,4}，集合N={2,5}，则N（M）=（ ）（2024全国高考乙卷）
A {2，3，5} B { 1，3，5} C {1，2，4，5} D {2，3，4，5}
3、已知集合A={x|-5<<5}，集合B={-3，-1，0，2，3}，则AB =（ ）（2024全国高考新高考I）
A {-1，0} B {2，3 } C {-3，-1，0} D {-1，0，2}
4、已知集合A={x|x(x-1)=0}，B={x|=1}，则AB=（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {-1，0，1} B {1，0} C {-1，1} D {1}
已知集合A={x|x≤1或x>3}，B={-2，1，2，3}，则（A）B =（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A B {1，2} C {2，3} D {1，2，3}
6、已知R是实数集，集合A={x|-3
A {x|-4
立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台-支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究，随机调查了1000名市民，结果显示，使用支付宝的有456人，使用微信支付的有783人，两种都使用的有298人。
只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？
两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）
『思考问题3』
【典例3】是集合运算的问题，集合的运算主要包括：①集合的并集；②集合的交集；③集合的补集；
设A，B是两个集合，由集合A，B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号∪表示，读作并；
并集有如下性质：①任何集合与空集的并集等于这个集合本身；②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身；③两个集合的并集具有交换性；④若A B，则A∪B=B；
设A，B是两个集合，由A，B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号表示，读作交；
交集有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与自身的交集等于它本身；③两个集合的交集具有交换性；④若A B，则A∩B=A；
研究对象的所有元素构成的集合，称为全集，一般用符号U表示；
设U为全集，A为集合，由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合，称为集合A在全集U下的补集，用符号A表示，读作集合A在全集U下的补集；
补集有如下性质：①任何集合与补集的并集等于全集；②任何集合与补集的交集等于空集；③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集；④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集；
（9）在进行集合运算时，如果集合是用描述法表示的应该先把集合进行化简，再进行运算；（10）如果集合涉及到不等式的解集，在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行；（11）如果集合涉及到函数，在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行，这样可以使问题更直观更简便。
[练习3]解答下列问题：
1、已知A={xN||x|≤2}，B={xN|0≤x<7}，则AB中元素的个数为（ ）（广西高2022级高一专题练习）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、设全集U= {-2，-1，0，1，2} ，集合A={x|-x-2=0}，B={x|+x-2=0}，则（AB）
=（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A {-2，-1，1，2} B {-2，-1，0} C {0，1，2} D {0}
3、（多选）如图，已知全集U表示矩形，A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）（江苏徐州高2022级高一统考）
A （A）B B （AB） C （AB） D A
4、（多选）已知集合A= {x|x<2} ，B= {x|3-2x>0} ，则（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A AB ={x|x<} B AB = C AB = {x|x<2} D AB = R
5、设y=+ax+b，A= {x|y=x} ={a}，M={（a，b）}，求M。（成都市高2023级高一专题练习）
6、已知U={xR|1
（2）（A）（B）。（成都市高2023级高一专题练习）
7、设全集为R，A= {x|3≤x<7} ，B= {x|2
求（AB）。（成都市高2023级高一专题练习）
8、已知全集U=R，A= {x|2≤x<5} ，B= {x|3
（2）A（B）。（成都市高2023级高一专题练习）
【典例4】解答下列问题：
1、定义集合运算：A.B={z|z=(y-1)，xA，yB}，设A={-1，1}，B={0，2}，则集合A.B中的所有元素之和为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、定义集合M.N={x|xM且x-1N}，已知A={x|+3x-10<0}，B={x|-7
A {x|-5
A 3个 B 4个 C 7个 D 12个
4、对任意两个正整数m，n，定义运算“”：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn，如46=4+6=10，
37=3+7=10，34=34=12，根据上述定义，集合M={（a，b）|ab=12，a，b}的元素有 个。（江苏如东中学高2022级高一专题练习）
『思考问题4』
（1）【典例4】是集合新概念的问题，它属于信息迁移类问题，是化归思想的具体运用，也是近几年的高考热点问题；它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向，常见的类型有：①定义新概念；②定义新公式；③定义新运算；④定义新法则；
（2）解答这类问题的基本思路是：①理解问题中新概念，新公式，新运算，新法则；②利用学过的数学知识进行逻辑推理；③对选项进行筛选，验证，得出结论。
[练习4]解答下列问题：
1、设A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”。给定S=｛x∈N|y=lg(36-)｝,设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）（成都市高2023级高一专题练习）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
2、在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论：（1）2011〔1〕；（2）-3〔3〕；（3）Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕；（4）“整数a，b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是（）（成都市高2023级高一专题练习）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、已知集合A=｛（x，y）|+≤1，x，yZ｝，B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，yZ｝，
定义集合A B=｛（+，+）|（，）A，（， ）B｝，则AB中元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 77 B 49 C 45 D 30
4、若对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 。（成都市高2023级高一专题练习）
【典例5】解答下列问题：
1、如图，在正方体ABCD—中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论错误的是（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A ，F， C，G 四点共面 B 直线EF//平面BD
C 平面HCG//平面BD D 直线EF和HG所成角的正切值为
2、命题p：x>1，+2x-3>0，命题q： xR，2-4x+3=0，则（ ）（河北高2023级高一专题练习）
A p真q真 B p假q假 C p假q真 D p真q假
下列命题中为真命题的是（ ）（山西晋中高2023级高一专题练习）
A 所有的矩形都是正方形 B 集合{（x，y）|y=}与集合{y|y=}表示同一集合C “=”是“a=b”的必要不充分条件 D xR，+2x+2≤0
4、设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素-1，0，1；②若aM，则M，则下列结论正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 集合M中至多有2个元素 B 集合M中至多有3个元素
C 集合M中有且仅有4个元素 D 集合M中至少有4个元素
5、（多选）已知集合A={xR|-3x-18<0}，B={xR|+ax+-27<0}，则下列命题中正确的是（ ）（2023全国高一专题练习）
A 若A=B，则a=-3 B 若AB，则a=-3
C 若B=, 则a≤-6或a≥6 D 若BA时， 则-6
A “a>1”是“<1”的充分不必要条件
B 命题“若x<1，则<1”的否定是“存在x≥1，≥1”
C 设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“+≥4”的必要不充分条件
D 设a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件
『思考问题5』
（1）【典例5】是命题真假的判断问题，解答这类问题需要理解命题，真命题，假命题的定义，掌握命题真假判断的基本方法；
（2）命题真假判断的基本方法有：①直接判断法；②间接判断法；
（3）直接法判断命题的真假可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；其基本方法是：①弄清问题与哪一个定义，定理，公理，哲理相关；②运用相应的定义，定理，公理，哲理判断真假；③对假命题，只需找一个反例即可；
（4）间接法的基本方法是：①利用原命题与逆否命题真假的一致性间接判断原命题的真假；②利用充要条件与集合的关系判断命题的真假。
[练习5]解答下列问题：
1、下列命题中错误的是（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握性越大 C 线性回归直线=x+恒过点（，） D 在回归分析中，残差平方越小，模型的拟合效果越好
2、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，M，N分别为B，CD的中点，有下列结论：①三棱锥—MN在平面DC上的正投影为等腰三角形；②直线MN//平面D；③在棱BC上存在一点E，使得平面AEMNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥M—NFB的各点均在同一球面上，则该球的体积为。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线y=kx（k0）与椭圆C相交于A（，B两点，有下列结论：①四边形AB为平行四边形；②若AEx轴，垂足为E，则直线BE的斜率为k；③若|OA|=c（O为坐标原点），则四边形AB的面积为；④若|A|=2|A|，则椭圆的离心率可以是。
（理）其中错误结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 0
（文）其中正确的结论是（ ）
A ①④ B ①②④ C ①②③ D ②④
4、（多选）下列说法不正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A “x≥2”是“x>4”的充分不必要条件
B 命题p：“a，b为无理数”，命题q：“ab为有理数”，则p是q的充分条件
C “m2”是“|m|2”的充分必要条件
D 命题p：“四边形是正方形”，命题q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的充分必要条件
5、已知函数f(x)=sinx-sinx+k，x[0，]，有下列结论：①若函数f(x)有零点，则k的取值范围是（-，]；②函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4；③若函数f(x)有四个零点，，，，则k（0，），且+++=2 ；④若函数f(x)有四个零点，，，（<<<），且，，，成等差数列，则为定值，且（，），其中所有正确结论的编号为 。
【典例6】解答下列问题：
已知向量=（x+1，x），=（x，2），则（ ）（2024全国高考甲卷）
A “x=-3”是“”的必要条件 B “x=-3”是“//”的必要条件
C “x=0”是“”的充分条件 D “x=-1+”是“//”的充分条件
已知p：0
3、“=4”是“a=2”的（ ）（陕西延安高2022级高一期末考试）
A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件
4、已知a，bR，下列选项中，使ab>0成立的应该充分不必要条件是（ ）（山西吕梁市高2022级高一专题练习）
A a>0或b>0 B a>10且b>2 C a，b同号且不为0 D a+b>0或ab>0
5、已知命题p：4x-m<0，命题q：1≤3-x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {m|m≥8} B {m|m>8} C {m|m>-4} D {m|m≥-4}
6、“0
7、（多选）-2x-3≤0成立的充分不必要条件可以是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0≤x≤4 B 0≤x≤3 C -1≤x≤2 D -1≤x≤3
8、（多选）下列结论正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A“>1”是“x>1”的充分不必要条件
B 设M N，则“xM”是“xN”的必要不充分条件
C “a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
D “a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分必要条件
『思考问题6』
（1）【典例6】是充分条件，必要条件，充分必要条件的判断问题，解答这类问题应该理解充分条件，必要条件，充分必要条件的定义，掌握充分条件，必要条件，充分必要条件的判断的基本方法；
（2）充分条件，必要条件，充分必要条件判断的基本方法有：①定义法，②集合关系法，③等价法；
（3）定义法是直接运用充分条件，必要条件，充分必要条件定义进行判断；
（4）集合法只适用于与集合相关的问题，其基本步骤是：①确定问题中涉及的两个集合；②判断两个集合的关系；③得出结果；
（5）等价法是利用pq与qp，qp与pq，pq与qp的等价关系判断命题真假的方法，对于条件或结论是否定形式的命题，一般都可以运用这种方法。
[练习6]解答下列问题：
1、“R，sin（-）=cos，kZ”是“k=1”的（ ）（山西高2022级高一专题练习）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
2、已知命题p：0
3、“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（ ）（福州高2022级高一专题练习）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
4、<4的一个必要不充分条件是（ ）（福州高2022级高一专题练习）
A x<- 2 B -2
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
6、已知命题p：“0
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
7、“实数a>1，b>1”是“a+b>2”的（ ）（福州高2022级高一专题练习）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
8、（多选）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A“a=b”是“ac=bc”的充分必要条件B“a+5是无理数”是“a是无理数”的充分必要条件
C “a>b”是“>”的充分条件 D “a<5”是“a<3”的必要条件
【典例7】解答下列问题：
1、已知命题p： xR，|x+1|>1；命题q： x>0，=x，则（ ）（2024全国高考新高考II）
A p和q都是真命题 B p 和q都是真命题
C p和q 都是真命题 D p 和q 都是真命题
2、已知命题p： xR，+x-1>0 ，命题q： xR，>，则真命题是（ ）（陕西榆林市高2022级高一专题练习）
A pq B p（q ） C （ p）q D （ p） （q ）
3、已知命题p： xR，|x+1|>1；命题q： x>0，=x，则（ ）（2024全国高考新高考II）
A p和q都是真命题 B p 和q都是真命题
C p和q 都是真命题 D p 和q 都是真命题
4、已知命题p：空间两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间双沟平面，，，若⊥，⊥，=l，则l⊥，则下列命题为真命题的是（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A pq B pq C pq D pq
『思考问题7』
（1）【典例7】是复合命题真假判断的问题，解答这类问题需要理解逻辑连接词“且”，“或”，“非”的意义，注意复合命题的几种结构形式①p∧q；②p∨q；③p；掌握复合命题真假判断的基本方法；
（2）复合命题真假判断的基本方法是：①确定问题中的简单命题；②确定复合命题的结构形式；③判断简单命题的真假；④结合相应的真值表得出结果。
[练习7]解答下列问题：
已知命题p：“x>2”是“-3x+2≥0”的充分不必要条件，命题q： xR，+2x+1>0 ，则下列命题是真命题的是（ ）（宁夏吴忠市高2022级高一专题练习）
A pq B pq C （ p）q D （ p） （q ）
2、已知命题p：xR，sinx<1，命题q：xR，1，则下列命题中是真命题的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A pq B pq C pq D (p q)
3、命题p：函数f(x)= （a>0且a 1）的图像恒过点（0，1）；命题q：当t（-2，2）时，函数g(x)= -3tx+1在区间（-3，3）上存在最小值，则下列命题为真命题的是（ ）（2021
成都市高三三诊）
A pq B p ( q) C ( p) q D ( p) ( q)
4、设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；：过空间中任意三点有且仅有一个平面；：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；：若直线l平面，直线m平面，则ml。则下述命题中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标II）
① ② ③ ④
【典例8】解答下列问题：
1、命题“N，N”的否定为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A nN，N B nN，N
C N，N D N，N
2、命题“x>0，+2x+3>0”的否定是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A x>0，+2x+3<0 B x>0，+2x+3≤0
C x<0，+2x+3<0 D x>0，+2x+3≤0
若命题p： xR，+2x+1≤0，则（ ）（贵阳市高2022级高一专题练习）
A 命题p为真命题，且p：xR，+2x+1>0，
B 命题p为真命题，且p：xR，+2x+1>0，
C 命题p为假命题，且p：xR，+2x+1>0，
D 命题p为假命题，且p：xR，+2x+1>0，
4、已知命题p：“aN，bN，a>b”，则命题p的否定为（ ）（湖北宜昌高2022级高一单元测试）
A aN，bN，a≤b B aN，bN，a≤b
C aN，bN，a≤b D aN，bN，a≤b
5、（多选）下列存在量词命题中真命题是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A xR，x≤0 B 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
C x{x|x是无理数} ，是无理数 D Z，1<5<3
6、（多选）命题“1≤x≤3，-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A a≥9 B a≥11 C a≥10 D a≤9
7、选择适当的符号“”，“”表示下列命题：有一个实数x，使-2x-3=0 （福州高2022级高一专题练习）
8、命题“对任意xR，都有+2x-4≤0”的否定为 （成都市高2023级高一专题练习）
『思考问题8』
（1）【典例8】是与全称量词，存在量词相关的问题，这类问题主要包括：①全称命题，特称命题真假的判断；②全称命题，特称命题的否定；
（2）全称命题，特称命题真假判断的基本方法与简单命题真假的判断类似可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；
（3）解答含有一个量词的命题否定的问题的基本方法是；①全称命题的否命题是特称命题，它的结构形式由求出命题变成特称命题；②特称命题的否命题是由全称命题，它的结构形式由特称命题变成全称命题。
[练习8]解答下列问题：
命题p：“x≥0，-sinx≥0”的否定为（ ）（河南高2022级高一专题练习）
A x≥0，-sinx<0 B x<0，-sinx<0
C ≥0，-sin<0 D <0，-sin<0
2、命题“x>0，+x+1>0”的否定为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A x>0，+x+1≤0 B x≤0，+x+1≤0
C >0，++1≤0 D ≤0，++1≤0
3、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数” 的否定是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B 任意一个无理数，它的平方是有理数
C 存在一个无理数，它的平方是有理数 D 存在一个无理数，它的平方不是有理数
4、命题“x≥0，-x≥0”的否定是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A x≥0，-x<0 B x<0，-x<0
C ≥0，-<0 D <0，-<0
5、命题“x<0，-3x+1≥0”的否定是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A ≥0，-3+1<0 B ≥0，-3+1<0
C x<0，-3x+1<0 D x≥0，-3x+1<0
6、经命题“+≥2xy”改写成全称量词命题为（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 对任意x，y R，都有+≥2xy成立 B 存在x，y R，使+≥2xy成立
C 对任意x>0，y>0，都有+≥2xy成立 D 存在x<0，y<0，使+≤2xy成立
7、（多选）下列命题正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 存在x<0，-2x-3=0 B 对于一切实数x<0，都有|x|>x
C xR ，=x D n，2+5n+2能被2整除是假命题
8、命题“ xZ，≤1”的否定为 （成都市高2023级高一专题练习）
【典例9】解答下列问题：
已知集合A={x|-4=0}，B={x|ax-2=0}，若AB=B，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）（湖北高2023级高一专题练习）
A {-1} B {1} C {-1，1} D {-1，0，1}
（多选）设A={xN|N}，B={x|mx-4=0}，若AB=A，则m的值可以为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0 B C 1 D 2
已知集合A={x|2a+(2a-8)x+1=0}有且仅有两个子集，则a的取值集合为 （成都市高2023级高一单元测试）
若“ xR，a≥-+1”是真命题，则实数a的最小值为 （江西新会市高2023级高一专题练习）
设集合A={，2x-1，-4}，B={x-5，1-x，9}，若AB={9}，求实数x的值。（成都市高2023级高一专题练习）
6、已知集合A={x|+2x-3≤0}，集合B={x|a-1≤x≤a+1}。
（1）当a=1时，求AB；
（2）若BA，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一单元测试）
7、设U=R，已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}。
（1）当4B时，求实数m的取值范围；
（2）设p：xA，q：xB，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。（成都市高2023级高一单元测试）
8、已知p：{x|x+2≥0，且x-10≤0}，q：{x|1-m≤x≤1+m，m>0}。
（1）若m=1，则p是q的什么条件？
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
9、已知集合A={x|-2x-3≤0}，B={x|-2mx+-4≤0，xR，mR，}.
（1）若AB=[0，3]，求实数m的值；
（2）若AB，求实数m的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
10、已知命题p：和是方程-mx+2=0的两个实根，不等式-5a-3≥|-|对任意实数a[-1，1]恒成立；命题q：不等式a+2x-1>0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
『思考问题9』
（1）【典例9】是求参数的值或取值范围的问题，解答这类问题需要清楚问题与哪一个知识点相关，再结合相关知识点解答问题；
（2）求问题中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据命题所满足的条件得到含参方程（或方程组）或数的不等式（或不等式组）；②求解方程（或方程组）或不等式（或不等式组）求出参数的值（或取值范围）；③得出所求参数的值（或取值范围）。
[练习9]解答下列问题：
已知集合A={1，m}，B={0，m+1，m-1}，若AB，则实数m的值为（ ）（辽宁高2023级高一期末考试）
A -1 B 0 C 1 D 2
2、已知集合A={x|>1，xR}，B={x|x>a，xR},若BA，则实数a的取值范围为（ ）（江西景德镇市高2023级高一专题练习）
A a< -1 B a≤-1 C a> 1 D a≥1
3、若3={m-1，3m，-1}，则实数m= （2023全国高一专题练习）
4、若“ x≥0，+x-a≤0”是真命题，则实数a的取值范围是 （北京昌平区高一期末考试）
5、已知集合A={x|x≤-3或x≥-1}，B={x|2m
7、已知全集为R，集合A={x|2≤x≤6}，B={x|3x-7≥8-2x}。
（1）求AB；
（2）若C={x|a-4≤x≤a+4}，且（AB）C，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一单元测试）
8、已知集合A={x|x-5<+2x
（2）当B为非空集合时，若xB是xA的充分不必要条件，求实数m的取值范围。（成都市高2023级高一单元测试）
9、已知集合A={xR|（-5x+8)=1}，B={xR|2+2x-8=1}，C={xR|-ax+
-19>0}.
（1）求AB；
（2）若AC，BC=，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
10、命题p：实数a满足+a-6≥0，命题q：函数y=的定义域为R，若命题pq为真， pq 为假，求实数a的取值范围。（成都市高2023级高一专题练习）
集合与常用逻辑用语问题的类型及解法
集合与常用逻辑用语问题是考试的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试）试卷，都必有集合与常用逻辑用语的5分小题（或大题）的问题。从题型上看一般是选择题（或填空题或大题），难度系数为低档题（或中档题），百分之九十以上的考生都能得分。纵观近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试或高一单元测试与专题练习）试卷，归结起来集合与常用逻辑用语问题主要包括：①集合元素与集合的关系及表示的问题；②集合与集合之间的关系问题；③集合运算问题；④集合新概念的问题，⑤判断命题的真假；⑥充分条件，必要条件，充分必要条件的判断；⑦全称量词与存在量词及运用；⑧求参数的值（或取值范围）等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻，那么在具体解答集合与常用逻辑用语问题时，到底
应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的予以解答呢？下面通过对近几年高考（或高三诊断考试或高一期末调研考试或高一单元测试与专题练习）试卷中试题的详细解析来回答这个问题：
【典例1】解答下列问题：
1、设全集U=R，集合A={x|2
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②补集定义与性质；③补集运算的基本方法；④元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和补集的性质，运用补集运算的基本方法求出A ，
利用元素与集合的关系及表示，对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】 全集U=R，集合A={x|2
2、（理）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足M={1，3}，则（ ）
A 2M B 3M C 4M D 5M
（文）集合M={2，4，6，8，10}，N={x|-1
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②全集定义与性质；③补集定义与性质；④交集定义与性质；⑤求已知集合在全集下补集的基本方法；⑥求两个已知集合交集的基本方法。
【解题思路】（理）根据集合表示的基本方法，全集和补集的性质，运用求已知集合在全集下补集的基本方法，结合问题条件确定出集合M，可得出选项。（文）根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用求两个已知集合交集的基本方法，结合问题条件求出MN就可得出选项。
【详细解答】（理）全集U={1，2，3，4，5}， M={1，3}，集合M={2，4，5}，
A正确，选A。（文） M={2，4,6，8，10}， N={x|-1
A 3.14 B -5 C D
【解析】
【考点】①集合元素定义与性质的基；②有理数定义与性质；③无理数定义与性质；④实数定义与性质；⑤元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据集合元素，有理数，无理数和实数的性质，运用元素与集合的关系，结合问题条件确定出x的值就可得出选项。
【详细解答】a是R中的元素，但不是Q中的元素，a是无理数，D正确，选D。
4、（多选）设集合A={-3，x+2，-4x}，且5A ，则x的值可以为（ ）（成都市高一单元练习）
A 3 B -1 C 5 D -3
【解析】
【考点】①表示集合的基本方法；②集合元素定义与性质；③元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据表示集合的基本方法和集合元素的性质，运用元素与集合的关系，结合问题条件求出x的值就可得出选项。
【详细解答】集合A={-3，x+2，-4x}，且5A ， x+2=5或，-4x=5，当x+2=5时，解之得x=3，-4x=9-12=-3，x3；当-4x=5时，解之得x=-1或x=5，x+2
=-1+2=1，或x+2=5+2=7，x=-1或x=5， B，C正确，选B，C。
5、（多选）由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数可能为（ ）（全国高2023级高一专题练习）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
【解析】
【考点】①集合元素定义与性质的基；②二次根式定义与性质；③三次根式定义与性质；④元素与集合的关系及表示。
【解题思路】根据集合元素，二次根式和三次根式的性质，运用元素与集合的关系，结合问题条件确定出由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数可得出选项。
【详细解答】=|x|，-=-x，当x=0时，|x|=-x=0，当x<0时，|x|=-x，当x≤0时，出由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数为1；当x>0时，|x|=x-x，由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数为2，综上所述，由实数-x，|x|，，-组成的集合中，元素的个数可能为1或2，A，B正确，选A，B。
6、（多选）集合{1，3，5，7，9}用描述法表示可以为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A {x|x是不大于9的非负奇数} B {x|x=2k+1，kN，且k≤4}
C {x|x≤9，x} D {x|0≤x≤9，xZ}
【解析】
【考点】①集合定义与性质的基；②集合元素定义与性质；③列举法表示集合的基本方法；④描述法表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合元素和集合的性质，运用列举法和描述法表示集合的基本方法，结合问题条件把集合{1，3，5，7，9}用描述法表示出来可得出选项。
【详细解答】集合{1，3，5，7，9}中元素的共同特征是：①都是奇数，②都是正数，③都比10小，把集合{1，3，5，7，9}用描述法表示出来可以是 {x|x是不大于9的非负奇数}，{x|x=2k+1，kN，且k≤4} ，A，B正确，选A，B。
7、下列各种对象的全体可以构成集合的是 （填写序号）（成都市高2023级高一单元测试）
① 高一（1）班优秀的学生； ② 高一年级身高超过1.60m的男生
③ 高一（2）班个子较高的女生 ④ 数学课本中的难题
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②集合元素定义与性质。
【解题思路】根据集合和集合元素的性质，结合问题条件，对个选项的所有对象是否能够组成集合进行判断就可得出选项。
【详细解答】 对①，高一（1）班的学生中，优秀学生的标准不确定，不能构成集合；对②，高一年级中，身高超过1.60m的男生是确定的，能构成集合；对③，高一（2）班的学生中，身高较高的女生的标准不确定，不能构成集合；对 ④ ，数学课本中的习题难题女生的标准不确定，不能构成集合，综上所述，下列各种对象的全体可以构成集合的是②。
8、已知集合S满足条件：若aS，则S（a0，a1）， 若3S，试把集合S中的所有元素都求出来。（成都市高2023级高一专题练习）
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②集合元素定义与性质。
【解题思路】根据集合和集合元素的性质，结合问题条件，就可求出集合S中的所有元素。
【详细解答】 集合S满足条件：若aS，则S（a0，a1）， 3S，=-2S，集合S={-2，3}。
9、已知集合A={x|a-3x+2=0，aR}，问是否存在a，使：（1）集合A中只有一个元素；
（2）集合A中至多有一个元素；（3）集合A中至少有一个元素，若存在，分别求出来；若不存在，请说明理由。（成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①集合定义与性质的基；②集合元素定义与性质；③表示集合的基本方法；④参数分类讨论的一诊和基本方法。
【解题思路】根据集合元素和集合的性质，运用表示集合的基本方法与参数分类讨论的一诊和基本方法，结合问题条件就可分别符合条件的实数a的值。
【详细解答】（1）当a=0时，集合A={x|a-3x+2=0，aR}={}只有一个元素；当a0时，集合A={x|a-3x+2=0，aR}只有一个元素，得到=9-8a=0，解之得：a=，综上所述，当a=0或a=时，集合A中只有一个元素；（2）由（1）知，当a=0或a=时，集合A中只有一个元素，若集合A中没有元素，得到=9-8a<0，解之得：a>，综上所述，当a=0或a≥时，集合A中至多有一个元素；（2）由（1）知，当a=0或a=时，集合A中只有一个元素，若集合A中有两个元素，得到=9-8a>0，解之得：a<，综上所述，当a≤时，集合A中至少有一个元素。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与集合元素和元素与集合关系相关的问题，解答这类问题需要理解集合元素的定义，掌握元素与集合之间的关系及其表示，注意集合中元素的性质；
（2）集合中的每一个个体，称为集合的元素；元素与集合的关系有两种：①元素是集合中的元素称为元素属于集合，用符号“”表示；②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合，用符号“”表示；
（3）确定集合中的元素或集合中元素的个数，都必须求出集合，在求复合某些条件的集合时，应该注意集合元素的性质；
（4）集合元素的性质有：①确定性，即一个集合的元素是确定的；②互异性，即一个集合中元素与元素之间不能完全相同；③无序性，即一个集合中元素与元素之间没有先后顺序。
（5）对含有参数的集合问题，应该对参数的可能取值进行分类讨论，注意参数分类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。
（6）解决集合问题中参数问题的基本方法是：①确定集合元素的属性，它表示的是一个怎样的集合（定性），②结合问题的条件进行分析，实施解答（定量）；
（7）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能性，尤其问题中涉及到A∩B=时，一定要分A或B=和A或B两种情况来考虑。
[练习1]解答下列问题：
1、已知集合A={0，m，-3m+2}，且2A ，则实数m为（ ）（全国高一专题练习）
A 2 B 3 C 0或3 D 0，2，3 （答案：B）
2、下列说法正确的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A 某村子里的高个子组成一个集合 B 所有小的正数组成的集合
C 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D 1，0.5，，，，这些数组成的集合有五个元素
3、下列各组集合表示同一集合的是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A M={（3，2）}，N={（2，3）} B M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C M={4，5}，N={5，4} D M={1，2}，N={（1，2）}
4、由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：A）
A 2 B 3 C 4 D 5
5、已知集合A={xZ|-2
6、下列有关集合的说法正确的是（ ）（成都市高一单元练习）（答案：D）
A {0}{0，1，2} B ={0} C 0 D {0}
7、已知集合A={12，+4a，a-2}，-3A ，则a=（ ）（成都市高2023级高一单元练习）
A -1 B -3或1 C 3 D -3 （答案：D）
8、集合A={xZ|Z}，用列举法表示集合A，则A= （成都市高2023级高一单元测试）（答案：A={-1，1，3，5}）
【典例2】解答下列问题：
1、集合A={xN|-5<2x-1<5}的子集个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 4 B 7 C 8 D 16
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③表示集合的基本方法；④确定已知集合子集个数的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用表示集合和确定已知集合子集个数的基本方法，结合问题条件确定出集合A子集的个数就可得出选项。
【详细解答】集合A={xN|-5<2x-1<5}={xN|-2
A A=B B AB=A C AB=A D BA
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③表示集合的基本方法；④表示子集的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用表示集合和表示子集的基本方法，结合问题条件确定出集合A与集合B之间的关系就可得出选项。
【详细解答】对任意的xA，都有xB，集合A是集合B的子集， AB=A ，C正确，选C。
3、设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},若AB，则a=（ ）（2023全国高考新高考II）
A 2 B 1 C D -1
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件求出a的值就可得出选项。
【详细解答】集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2},AB，-a=1，或a-2=-a，或2a-2=-a，
当-a=1时，a=-1，a-2=-1-2=-3，2a-2=-2-2=-4，显然AB不成立；当-a=a-2时，a=1，a-2=-1-2=-1，2a-2=2-2=0，A={0，-a}={0，-1}，B={1，a-2，2a-2}={1，-1，0},AB成立，a=1；当-a=2a-2时，a=，a-2=-2=-，2a-2=-2=-，A={0，-a}={0，-}，B={1，a-2，2a-2}={1，-，-},AB不成立，综上所述a=1，B正确，选B。
4、已知集合A={0，z}，B={0，2，4}，若A B，则实数z的值为（ ）（成都市2020高
三三诊 ）
A 0或2 B 0或4 C 2或4 D 0或2或4
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件求出x的值就可得出选项。
【详细解答】集合A={0，z}，B={0，2，4}，若A B，x=2，或x=4，C正确，选C。
5、（多选）下列命题中正确的有（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 集合{a，b}的真子集是{a}，{b} B {x|x是菱形}{x|x是平行四边形}
C 设a，bR，A={1，a}，B={-1，b}，若A=B，则a-b=-2
D {x|+1=0，xR}
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③真子集定义与性质；④表示集合与集合之间关系的基本方法。
【解题思路】根据集合，子集和真子集的性质，运用表示集合和表示集合与集合之间关系的基本方法，结合问题条件对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， 集合{a，b}的真子集是，{a}，{b} ，A错误；对B，任意的菱形，都是平行四边形，{x|x是菱形}{x|x是平行四边形}，B正确；对C，a，bR，A={1，a}，B={-1，b}，若A=B，a=-1，b=1，a-b=-1-1=-2，C正确；对D，集合与集合之间只有包含关系或相等关系，没有属于关系，D错误，综上所述，B，C正确，选B，C。
6、设a，bR，P={1，a}，Q={2a+3，b}，若P=Q，则a-b= （成都市高2023级高一单元测试）
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②集合相等定义与性质；③集合元素定义与性质；④表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合，集合元素和集合相等的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件求出a，b的值，从而求出a-b的值。
【详细解答】 a，bR，P={1，a}，Q={2a+3，b}，P=Q，b=1，2a+3=a，或b=a，2a+3=1，
解之得：a=-3，b=1，或a=-1，b=-1，a-b=-3-1=-4，或a-b=-1+1=0。
7、已知集合A={x|-3x+2=0，xR}，B={x|0
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③真子集定义与性质；④表示集合的基本方法。
【解题思路】根据集合，子集和真子集的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件就可确定出复合条件的集合C。
【详细解答】集合A={x|-3x+2=0，xR}={1，2}，，B={x|0
（1）若-3A，求a的值；
（2）若B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A=B。（成都市高2023级高一专题练习）
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②集合元素定义与性质；③元素与集合的关系及表示；④集合相等定义与性质。
【解题思路】（1）根据集合和集合元素的性质，运用元素与集合的关系及表示，结合问题条件就可求出a的值；（2）根据集合和集合元素的性质，运用元素与集合的关系及表示，结合问题条件就可求出x的值；（3）假设存在实数a，x，使A=B，根据集合和集合元素的性质，运用集合相等的性质，结合问题条件看是否能够求出a，x的值就可得出结论。
【详细解答】（1）集合A有三个元素：a-3，2a-1，+1，-3A，+1≥1，a-3=-3，或2a-1=-3，当a-3=-3时，解之得：a=0，2a-1=0-1=-1，+1=0+1=1，集合A={-3，-1，1}，当2a-1=-3时，解之得：a=-1，a-3=-1-3=--4，+1=1+1=2，集合A={-4，-3，2}，
综上所述，若-3A，则a的值为0或-1；（2）集合B,有三个元素：0，1，x，B，
=0，或=1，或=x，当=0时，解之得x=0，x=0，集合B={0，1}与题意不符；当=1时，解之得x=1，或x=-1，x=1，或x=-1，集合B={0，1}与题意不符，或集合B={0，1，-1}，即x=-1；当=x时，解之得x=0，或x=1，x=0，或x=1，集合B={0，1}与题意不符，综上所述，若B，则实数x的值为-1；（3）假设存在实数a，x，使A=B，集合A={a-3，2a-1，+1}，B={0，1，x}，+1≥1，a-3=0，或2a-1=0，
当a-3=0时，解之得：a=3，2a-1=6-1=5， +1=9+1=10，集合A={0，5，10}，显然A=B不能成立；当2a-1=0时，解之得：a=，a-2=-3=-， +1=+1=，集合A={，0，}，显然A=B不能成立，综上所述，不存在实数a，x，使A=B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是集合与集合之间的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集和集合相等的定义，掌握子集，真子集和集合相等的性质。
（2）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，则称集合A是集合B的子集，
子集用符合“”表示，读作包含于，或符号“”表示，读作包含；
（2）子集的性质有：①空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；③子集具有传递性；④含有n个元素的集合有个子集；
（3）设A、B是两个集合，如果对任意的xA，都有xB，且存在B，但A，则称集合A是集合B的真子集，真子集用符合“”表示，读作真包含于，或符号“”表示，读真包含；
（4）真子集的性质有：①空集是任何非空集合的真子集；②真子集具有传递性；③ 含有n个元素的集合的真子集个数为（-1）个；
（5）设A、B是两个集合，如果AB，且BA，则称集合A与集合B相等，表示为A=B。
[练习2]解答下列问题：
1、已知集合P={x|y=}，集合Q={y|y=}，则P与Q的关系是（ ）（成都市高2023级高一单元测试）（答案：C）
A P=Q B PQ C PQ D PQ=
2、已知集合A={xR|-3x-18<0}，B={xR|-ax+-27<0}，则下列命题中正确的是（）
（成都市高2023级高一专题练习）（答案：C）
A 若A=B，则a=-3 B 若AB，则a=-3
C 若B=，则a≤-6或a≥6 D 若BA，则-6
A 3 B 4 C 7 D 8
4、已知集合M={3,4}，N={x|（x-3）（x+a）=0,aR}，若M=N，则a=（ ）（成都市高2023级高一单元练习）（答案：D）
A 3 B 4 C -3 D -4
5、、已知集合M={x|x=+,kZ}，N={x|x=-,kZ}，则（ ）（成都市高2023级高一单元练习）（答案：C）
A M N= B MN C MN D MN=M
6、（多选）已知集合M={x|=1}，N={x|ax=1,aR}，若NM，则实数a的值可能为（ ）（成都市高2023级高一单元练习）（答案：A，C）
A -1 B 0 C 1 D 2
7、若A={1，2}，合B={x|xA}，则B= （成都市高2023级高一专题练习）（答案：B={1}或B+{2}或B={1，2}）
8、满足{1，3}A{0，1，3，5，7}条件的集合A的个数有 （福州高2022级高一专题练习）（答案：满足{1，3}A{0，1，3，5，7}条件的集合A的个数有11个）
【典例3】解答下列问题：
1、（理）集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}，则（AB）=（ ）
A {1， 4，9} B {3，4，9 } C {1，2，,3} D {2，3，5}
（文）集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}，则AB =（ ）（2024全国高考甲卷）
A {1，2， 3，4} B {1，2，3} C {3，4} D {1，2，9}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③补集定义与性质；④集合运算法则和基本方法。
【解题思路】（理）根据集合表示的基本方法，交集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出（AB）（文）根据集合表示的基本方法和交集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】（理） 集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}={1，4，9，16，25，81}，AB={1，4，9}，（AB）= {2，3，5}，D正确，选D。（文） 集合A={1，2，3，4，5，9}，集合B={x|A}={1，4，9，16，25，81}，AB={1，4，9}，A正确，选A。
2、（理）已知集合A={xR|y=x+1，}，B={y|y=-1，xR}，则AB=（ ）
A {-1， 2} B {（-1，0），（2，3） } C [2，+） D [-1，+）
（文）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1,4}，集合N={2,5}，则N（M）=（ ）（2024全国高考乙卷）
A {2，3，5} B { 1，3，5} C {1，2，4，5} D {2，3，4，5}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③补集定义与性质；④集合运算法则和基本方法。
【解题思路】（理）根据集合表示的基本方法，交集和直线与抛物线相交的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。（文）根据集合表示的基本方法并集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出MN就可得出选项。
【详细解答】（理） 集合A={xR|y=x+1}，B={y|y=-1，xR}，AB={xR|直
线y=x+1与抛物线y=-1的交点}={（-1，0），（2，3） }，B正确，选B。（文）全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1,4}，M={2，3,5}，集合N={2,5}，N
M={2，3，5} ，A正确，选A。
3、已知集合A={x|-5<<5}，集合B={-3，-1，0，2，3}，则AB =（ ）（2024全国高考新高考I）
A {-1，0} B {2，3 } C {-3，-1，0} D {-1，0，2}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②求立方根的基本方法；③交集定义与性质；④集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示和求立方根的基本方法，运用交集的性质和集合运算法则与基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|-5<<5}={x|-
A {-1，0，1} B {1，0} C {-1，1} D {1}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②并集定义与性质；③集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法和并集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出AB就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|x(x-1)=0}={0，1}，B={x|=1}={-1，1}，AB={-1，0，1}，
A正确，选A。
5、已知集合A={x|x≤1或x>3}，B={-2，1，2，3}，则（A）B =（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A B {1，2} C {2，3} D {1，2，3}
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②补集定义与性质；③交集定义与性质；④集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，补集和交集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出（A）B 就可得出选项。
【详细解答】集合A={x|x≤1或x>3}，A={x|1
A {x|-4
【考点】①集合表示的基本方法；②韦恩氏图定义与性质；③并集定义与性质；④补集定义与性质；⑤集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，并集，补集和韦恩氏图的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件求出以AB为全集的集合A的补集 就可得出选项。
【详细解答】R是实数集，集合A={x|-3
7、已知全集U= {x|x≤4} ，集合A= {x|-2
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③并集定义与性质；④补集定义与性质；⑤集合运算法则和基本方法。
【解题思路】根据集合表示的基本方法，交集，并集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件就可求出AB，（AB），（A）B。
【详细解答】全集U= {x|x≤4} ，集合A= {x|-2
（1）只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？
（2）两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程）
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③并集定义与性质；④补集定义与性质；⑤集合运算法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据集合表示的基本方法，交集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件就可求出只使用支付宝并使用微信的人数；（2）根据集合表示的基本方法，并集和补集的性质，运用集合运算法则和基本方法，结合问题条件就可求出两种移动方式都不使用的人数。
【详细解答】（1）设全集U={x|x为被随机调查的市民}，集合A={x|x为调查的市民中使用
支付宝的市民}，B={x|x为调查的市民中使用微信的市民}，集合A中元素的个数为456，
集合AB中元素的个数为298，集合（AB）中元素的个数为456-298=158（人），即只使用支付宝不使用微信支付的有158人；（2）集合AB中元素的个数为456+783-298
=941（人），集合（AB）中元素的个数为1000-941=59（人），即两种移动支付方
式都不使用的有59人。
『思考问题3』
【典例3】是集合运算的问题，集合的运算主要包括：①集合的并集；②集合的交集；③集合的补集；
设A，B是两个集合，由集合A，B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号∪表示，读作并；
并集有如下性质：①任何集合与空集的并集等于这个集合本身；②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身；③两个集合的并集具有交换性；④若A B，则A∪B=B；
设A，B是两个集合，由A，B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号表示，读作交；
交集有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与自身的交集等于它本身；③两个集合的交集具有交换性；④若A B，则A∩B=A；
研究对象的所有元素构成的集合，称为全集，一般用符号U表示；
设U为全集，A为集合，由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合，称为集合A在全集U下的补集，用符号A表示，读作集合A在全集U下的补集；
补集有如下性质：①任何集合与补集的并集等于全集；②任何集合与补集的交集等于空集；③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集；④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集；
（9）在进行集合运算时，如果集合是用描述法表示的应该先把集合进行化简，再进行运算；（10）如果集合涉及到不等式的解集，在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行；（11）如果集合涉及到函数，在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行，这样可以使问题更直观更简便。
[练习3]解答下列问题：
1、已知A={xN||x|≤2}，B={xN|0≤x<7}，则AB中元素的个数为（ ）（广西高2022级高一专题练习）（答案：B）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、设全集U= {-2，-1，0，1，2} ，集合A={x|-x-2=0}，B={x|+x-2=0}，则（AB）
=（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：D）
A {-2，-1，1，2} B {-2，-1，0} C {0，1，2} D {0}
3、（多选）如图，已知全集U表示矩形，A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）（江苏徐州高2022级高一统考）（答案：A，C，D）
A （A）B B （AB） C （AB） D A
4、（多选）已知集合A= {x|x<2} ，B= {x|3-2x>0} ，则（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：A，C）
A AB ={x|x<} B AB = C AB = {x|x<2} D AB = R
5、设y=+ax+b，A= {x|y=x} ={a}，M={（a，b）}，求M。（成都市高2023级高一专题练习）（答案：M={，}）
6、已知U={xR|1
（2）（A）（B）。（成都市高2023级高一专题练习）
（答案：（1）AB={xR|2≤x≤7}；（2）（A）（B）={xR|x<3或x≥5}）
7、设全集为R，A= {x|3≤x<7} ，B= {x|2
（2）求（AB）。（成都市高2023级高一专题练习）
（答案：（1）AB={x|3≤x<7}；（2）（AB）={x|x≤2或x≥10}）
8、已知全集U=R，A= {x|2≤x<5} ，B= {x|3
（2）A（B）。（成都市高2023级高一专题练习）
（答案：（1）（AB）={x|x<2或x≥9}；（2）A（B）={x|2≤x≤3）
【典例4】解答下列问题：
1、定义集合运算：A.B={z|z=(y-1)，xA，yB}，设A={-1，1}，B={0，2}，则集合A.B中的所有元素之和为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②新定义理解；③集合元素定义与性质；④确定集合元素的基本方法。
【解题思路】根据新定义的理解和集合元素的性质，运用表示集合和确定集合元素的基本方法，结合问题条件确定出集合A.B中的所有元素，出而求出所有元素之和就可得出选项。
【详细解答】定义集合运算：A.B={z|z=(y-1)，xA，yB}，集合A={-1，1}，B={0，2}，A.B={-1，1}，-1+1=0，A.B中使用元素之和为0，A正确，选A。
2、定义集合M.N={x|xM且x-1N}，已知A={x|+3x-10<0}，B={x|-7
A {x|-5
【考点】①集合表示的基本方法；②新定义理解；③集合元素定义与性质；④确定集合元素的基本方法。
【解题思路】根据新定义的理解和集合元素的性质，运用表示集合和确定集合元素的基本方法，结合问题条件求出集合A.B就可得出选项。
【详细解答】定义集合M.N={x|xM且x-1N}，A={x|+3x-10<0}={x|-5
={x|-5
则P*Q中元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一单元测试）
A 3个 B 4个 C 7个 D 12个
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②新定义理解；③集合元素定义与性质；④确定集合元素的基本方法。
【解题思路】根据新定义的理解和集合元素的性质，运用表示集合和确定集合元素的基本方法，结合问题条件确定出集合P*Q中的所有元素就可得出选项。
【详细解答】集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P*Q={（a，b）|aP，bQ}，
P*Q={（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（4，4），（4，5），（4，6），（4，7），（5，4），（5，5），（5，6），（5，7）}中的元素个数为12，D正确，选D。
4、对任意两个正整数m，n，定义运算“”：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn，如46=4+6=10，
37=3+7=10，34=34=12，根据上述定义，集合M={（a，b）|ab=12，a，b}的元素有 个。（江苏如东中学高2022级高一专题练习）
【解析】
【考点】①集合表示的基本方法；②新定义理解；③集合元素定义与性质；④确定集合元素的基本方法。
【解题思路】根据新定义的理解和集合元素的性质，运用表示集合和确定集合元素的基本方法，结合问题条件确定出集合M中的所有元素就可得出选项。
【详细解答】对任意两个正整数m，n，定义运算“”：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn，12=1+11=3+9
=5+7=2+10=4+8=6+6=112=34，集合M={（a，b）|ab=12，a，b}={（1，11），（11，1），（3，9），（9，3），（5，7），（7，5），（2，10），（10，2），（8，4），（4，8），（6，6），（1，12），（12，1），（3，4），（4，3）}的元素有15个。
『思考问题4』
（1）【典例4】是集合新概念的问题，它属于信息迁移类问题，是化归思想的具体运用，也是近几年的高考热点问题；它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向，常见的类型有：①定义新概念；②定义新公式；③定义新运算；④定义新法则；
（2）解答这类问题的基本思路是：①理解问题中新概念，新公式，新运算，新法则；②利用学过的数学知识进行逻辑推理；③对选项进行筛选，验证，得出结论。
[练习4]解答下列问题：
1、设A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”。给定S=｛x∈N|y=lg(36-)｝,设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：C）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
2、在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论：（1）2011〔1〕；（2）-3〔3〕；（3）Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕；（4）“整数a，b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是（）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、已知集合A=｛（x，y）|+≤1，x，yZ｝，B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，yZ｝，
定义集合A B=｛（+，+）|（，）A，（， ）B｝，则AB中元素的个数为（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：C）
A 77 B 49 C 45 D 30
4、若对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 。（成都市高2023级高一专题练习）（答案：集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为7）
【典例5】解答下列问题：
1、如图，在正方体ABCD—中，已知E，F，G，H分别是，AD，，的中点，则下列结论错误的是（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A ，F， C，G 四点共面 B 直线EF//平面BD
C 平面HCG//平面BD D 直线EF和HG所成角的正切值为
【解析】
【考点】①平面定义与性质；②直线平行平面判定定理及运用；③平面平行平面判定定理及运用；④异面直线所成角定义与性质。
【解题思路】根据平面和异面直线所成角的性质，运用直线平行平面和平面平行平面的判定定理，对各选项结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，如图，连接G，F，CG，CF， F，G分别是AD，的中点，容易证明F=CG，G=CF，四边形FCG是平行四边形，F//CG，，F， C，G 四点共面，A正确；对B，如图，分别取AB，的中点M，N，连接MF，FN，EN，EM，BD， ，M，F分别是AB，AD的中点，MF//BD，MF平面BD，BD平面BD，MF//平面BD，同理可证NF//平面BD，平面MFNE//平面BD，EF//平面BD，B正确；对C，如图，分别取BC，CD的中点J，K，连接JK，KH，HG，JG，容易证明平面JKHG//平面BD，平面JKHG平面HCG=HG，平面HCG与平面BD 相交，C错误；对D，如图，设正方体ABCD—的棱长为1，FM//BD// //GH，EFM是异面直线EF与HG所成的角，,在RtEMF中，FM=BD=，EM=1，tanEFM==，直线EF和HG所成角的正切值为，D正确，综上所述，C错误，选C。
2、命题p：x>1，+2x-3>0，命题q： xR，2-4x+3=0，则（ ）（河北高2023级高一专题练习）
A p真q真 B p假q假 C p假q真 D p真q假
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②全称命题定义与性质；③特称命题定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题，全称命题和特称命题的性质，运用判断命题真假的基本方法，对命题p和命题q的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对命题p， 当x>1时，+2x-3=（2+3）（-1）>0成立，命题p是真命题；对命题q， 2-4x+3=2（-2x+1）+1=2+1≥1在R上恒成立，命题q是假命题，D正确，选D。
3、下列命题中为真命题的是（ ）（山西晋中高2023级高一专题练习）
A 所有的矩形都是正方形 B 集合{（x，y）|y=}与集合{y|y=}表示同一集合C “=”是“a=b”的必要不充分条件 D xR，+2x+2≤0
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②表示集合的基本方法；③特称命题定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题和特称命题的性质，运用表示集合和判断命题真假的基本方法，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， 矩形中的长方形不是正方形，命题是假命题；对B， 集合{（x，y）|y=}表示的是曲线y=上的所有点构成的集合，集合{y|y=}表示是函数y=的值域，命题是假命题；对C， 由=不一定推出a=b，但由a=b就一定能够推出
，“=”是“a=b”的必要不充分条件，命题是真命题；对D，+2x+2=+1
≥1在R上恒成立，命题是假命题，综上所述，C正确，选C。
4、设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素-1，0，1；②若aM，则M，则下列结论正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）
A 集合M中至多有2个元素 B 集合M中至多有3个元素
C 集合M中有且仅有4个元素 D 集合M中至少有4个元素
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②集合元素定义与性质；③确定集合元素的基本方法；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题和集合元素的性质，运用判断命题真假和确定集合元素的基本方法，对各选项命题真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】设M=Z，M中不含元素-1，0，1，当2M时，=-3M，当-2M时，=-M，当3M时，=-2M，当4M时，=-M，当5M时，=-M，M={-3，-2，2，3}有且仅有4个元素，C正确，选C。
5、（多选）已知集合A={xR|-3x-18<0}，B={xR|+ax+-27<0}，则下列命题中正确的是（ ）（2023全国高一专题练习）
A 若A=B，则a=-3 B 若AB，则a=-3
C 若B=, 则a≤-6或a≥6 D 若BA时， 则-6
【考点】①命题定义与性质；②表示集合的基本方法；③子集定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题和子集的性质，运用表示集合和判断命题真假的基本方法，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当a=-3时，集合A={xR|-3x-18<0}={xR|-3
A “a>1”是“<1”的充分不必要条件
B 命题“若x<1，则<1”的否定是“存在x≥1，≥1”
C 设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“+≥4”的必要不充分条件
D 设a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；③判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题，充分条件，必要条件和充分必要条件的性质，运用判断命题真假和充分条件，必要条件与充分必要条件的基本方法，对各选项命题真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，由a>1能够推出<1，但由<1不一定能够推出a>1，“a>1”是“<1”的充分不必要条件，A正确；对B， 命题“若x<1，则<1”的否定是“存在x<1，≥1”B错误；对C，由x≥2且y≥2能够推出+≥4，但由+≥4不一定能够推出x≥2且y≥2，“x≥2且y≥2a”是“+≥4”的充分不必要条件，C错误；
对D，由a0不一定能够推出ab0，但由ab0一定能够推出a0，“a0”是“ab0”的必要不充分条件，D正确，综上所述，A，D正确，选A，D。
『思考问题5』
（1）【典例5】是命题真假的判断问题，解答这类问题需要理解命题，真命题，假命题的定义，掌握命题真假判断的基本方法；
（2）命题真假判断的基本方法有：①直接判断法；②间接判断法；
（3）直接法判断命题的真假可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；其基本方法是：①弄清问题与哪一个定义，定理，公理，哲理相关；②运用相应的定义，定理，公理，哲理判断真假；③对假命题，只需找一个反例即可；
（4）间接法的基本方法是：①利用原命题与逆否命题真假的一致性间接判断原命题的真假；②利用充要条件与集合的关系判断命题的真假。
[练习5]解答下列问题：
1、下列命题中错误的是（ ）（成都市高2020级高三一诊）（答案：B）
A 在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握性越大 C 线性回归直线=x+恒过点（，） D 在回归分析中，残差平方越小，模型的拟合效果越好
2、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，M，N分别为B，CD的中点，
有下列结论：①三棱锥—MN在平面DC上的正投影为等腰三角形；②直线MN//平面D；③在棱BC上存在一点E，使得平面AEMNB；④若F为棱AB的中点，且三棱锥M—NFB的各点均在同一球面上，则该球的体积为。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2020级高三零诊）（答案：D）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左，右焦点分别是（-c，0），（c，0），直线y=kx（k0）与椭圆C相交于A（，B两点，有下列结论：①四边形AB为平行四边形；②若AEx轴，垂足为E，则直线BE的斜率为k；③若|OA|=c（O为坐标原点），则四边形AB的面积为；④若|A|=2|A|，则椭圆的离心率可以是。
（理）其中错误结论的个数是（ ）（答案：A）
A 1 B 2 C 3 D 0
（文）其中正确的结论是（ ）（答案：B）
A ①④ B ①②④ C ①②③ D ②④
4、（多选）下列说法不正确的是（ ）（成都市高2023级高一专题练习）（答案：A，B）
A “x≥2”是“x>4”的充分不必要条件
B 命题p：“a，b为无理数”，命题q：“ab为有理数”，则p是q的充分条件
C “m2”是“|m|2”的充分必要条件
D 命题p：“四边形是正方形”，命题q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的充分必要条件
5、已知函数f(x)=sinx-sinx+k，x[0，]，有下列结论：①若函数f(x)有零点，则k的取
值范围是（-，]；②函数f(x)的零点个数可能为0，2，3，4；③若函数f(x)有四个零点，，，，则k（0，），且+++=2 ；④若函数f(x)有四个零点，，，（<<<），且，，，成等差数列，则为定值，且（，），其中所有正确结论的编号为 。（答案：所有正确结论的编号是②③④。）
【典例6】解答下列问题：
1、已知向量=（x+1，x），=（x，2），则（ ）（2024全国高考甲卷）
A “x=-3”是“”的必要条件 B “x=-3”是“//”的必要条件
C “x=0”是“”的充分条件 D “x=-1+”是“//”的充分条件
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量数量积的定义与性质；③充分条件，必要条件和充分必要条件定义与性质；④向量坐标运算法则和基本方法；⑤向量数量积坐标运算的基本方法；⑥判断充分条件，必要条件和充分必要条件的基本方法。
【解答思路】根据向量坐标，向量数量积和充分条件，必要条件与充分必要条件的性质，运用向量坐标运算法则与基本方法，向量数量积坐标运算的基本方法和判断充分条件，必要条件与充分必要条件的基本方法，结合问题条件对各选项结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，向量=（x+1，x），=（x，2），，.=+x+2x=+3x
=x（x+3）=0，x=0，或x=-3，“x=-3”不一定是“”的必要条件 ，A错误；对B，向量=（x+1，x），=（x，2），//，=，x=1+，或x=1-，“x=-3”不是“//”的必要条件 ，B错误；对C，当x=0时，.=+x+2x=+3x
=0+0=0，“x=0”是“”的充分条件 ，C正确，选C。
2、已知p：0
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