2024-2025学年山西省吕梁市孝义中学高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省吕梁市孝义中学高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”成立的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件
3.若直线过点，则的最小值等于( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. B. C. D.
7.函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.经过点作曲线的切线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式中，推理正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.若，则( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. 的值域为 D. 的值域为
11.若曲线为自然对数的底数有两条过坐标原点的切线，则值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______
13.的单调增区间是______．
14.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为若，则曲线在处的曲率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简下列各式：
；
．
16.本小题分
已知函数．
若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率为，求，的值；
若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围．
17.本小题分
设函数，其中．
讨论的单调性；
若的图像与轴没有公共点，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若，求在处的切线方程；
若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性与极值；
若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.，
14.
15.解：原式；
原式
．
16.解：由，得
．
由题意得，
解得：，或；
曲线存在两条垂直于轴的切线，
关于的方程有两个不相等的实数根，
，即，
．
的取值范围是．
17.解：函数定义域为，
，
因为，，
所以，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增．
综上所述，在上单调递减，在上单调递增．
由可知，，
又，且的图像与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
18.解：当时，，则，
，，故在处的切线方程为，
即．
，由题意可得，则，解得．
经检验，当时，为函数的极大值，符合题意，
此时，函数定义域为，，
令，解得，，
，随的变化趋势如下表：
极大值 极小值
故函数单调递增区间为，，单调递减区间为，
极大值为，极小值为，
又因为时，；时，，
所以函数的最大值为，最小值为．
19.解：，对函数求导可得．
当时，恒成立，
在上单调递增，无极大值也无极小值；
当，时，，时，，
在上单调递减，在单调递增．
函数有极小值为，无极大值．
若对任意，恒成立，
则利用分离参数法可得恒成立，即．
设，则对函数求导可得，
令，
解得，当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，，
，当时满足对任意，恒成立，
实数的取值范围为．
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