第二章 平面解析几何 章末质量检测(二)（含解析） -高中数学人教B版（2019）选择必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章 平面解析几何 章末质量检测(二)（含解析） -高中数学人教B版（2019）选择必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 206.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-22 14:03:48 | ||
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文档简介
章末质量检测(二) 平面解析几何
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( )
A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90°
C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180°
2．在x轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝－x＋2
3．已知椭圆＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1 ，则△ABF2的周长为( )
A．10 B. 20
C. 2 D．4
4．下列曲线中离心率为的是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．已知直线l1：2x＋y＋n＝0与l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝( )
A．－3或3 B．－2或4
C．－1或5 D．－2或2
6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A． B．－
C. 8 D. －8
7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4；则C的实轴长为( )
A． B．2
C．4 D．8
8．已知直线y＝kx＋m(m为常数)与圆x2＋y2＝4交于点M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝( )
A．±1 B．±
C．± D．±2
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知点M(1，2)关于直线l：y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，直线m过点M，则( )
A．kb＝－2 B．l在x轴上的截距是－8
C．点M到直线l的距离为1 D．当m∥l时，两直线间的距离为
10．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，两圆交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
11．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( )
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
12．已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________．
14．已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
15．已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为________．
16．双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知Rt△ABC的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边所在直线的方程．
18．(12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
19．(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的方程及其准线方程．
20．(12分)已知椭圆C：＋y2＝1，过点P(1，0)的直线l交椭圆C于M，N两点．
(1)证明：|MN|≥；
(2)已知两点A1(－2，0)，A2(2，0)．记直线A1M的斜率为k1，直线A2N的斜率为k2，求的值．
21.(12分)已知椭圆E：＝1(a>b>0)过点M，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点P(0，2)的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，求·的取值范围．
22．(12分)已知椭圆ω：＝1(a>b>0)过点A(－2，0)，且a＝2b.
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点C(1，0)的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点，求证：|OM|·|ON|为定值．
章末质量检测(二) 平面解析几何
1．解析：因为斜率为1的直线的倾斜角是45°，斜率为2的直线的倾斜角大于45°，倾斜角大于90°且小于180°时，直线的斜率是负值，所以斜率为2的直线的倾斜角α的范围是45°<α<90°，故选B.
答案：B
2．解析：由题可知直线的斜率k＝tan 60°＝，所以直线方程为y＝(x－2)，即y＝x－2.
答案：A
3．解析：由题意可得椭圆＋＝1的b＝5，c＝4，
a＝＝，
由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
即有△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4.故选D.
答案：D
4．解析：由e＝得＝，1＋＝，＝，选B.
答案：B
5．解析：由2m－4＝0，解得m＝2.满足l1∥l2.l2的方程为2x＋y－2＝0，有＝，则|n＋2|＝3，解得n＝1或－5，故m＋n＝±3.
答案：A
6．解析：∵方程y＝ax2表示的是抛物线，
∴a≠0，∴x2＝＝2··y，
∴抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－＝2，
解得a＝－，故选B.
答案：B
7．解析：设等轴双曲线C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
答案：C
8．解析：由题可得圆心为(0，0)，半径为2，
则圆心到直线的距离d＝，
则弦长为|MN|＝2，
则当k＝0时，弦长|MN|取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C.
答案：C
9．解析：因为点M(1，2)关于直线y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，线段MN的中点坐标为(0，4)，所以解得所以kb＝2，故A错；此时直线l方程为y＝x＋4，令y＝0，解得x＝－8，所以直线l在x轴上的截距是－8，故B正确；由点到直线的距离公式知，点M到直线l的距离为＝，故C错误；易知直线m的方程为x－2y＋3＝0，又直线l：x－2y＋8＝0，则两直线间的距离为＝，故D正确，故选BD.
答案：BD
10．解析：两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知：线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
答案：ABC
11．解析：由＋y2＝1可知，a2＝6，b2＝1，c2＝5，则焦距2c＝2，离心率e＝＝＝；设P(x，y)，圆心D(－1，0)，半径为r＝，则|PD|＝＝＝ > ，故圆D在C的内部；当PD取最小值 时，|PQ|的最小值为－ ＝，综上所述，选项B、C正确，故选BC.
答案：BC
12．解析：因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cos ∠PF1F2＝＝，所以c2－2ac＋3a2＝0，所以e2－2e＋3＝0，解得e＝，A正确；因为e2＝＝＝3，所以＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，B正确；因为e＝，所以2c＝2a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°.又|AF2|＝c＋a＝(＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，C错误；联立得方程组所以2(2－2y)2－y2＝2a2，所以7y2－16y＋8－2a2＝0，所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，则a＋1＝0，∴a＝－1.
答案：－1
14．解析：在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.
答案：(3，0)
15．解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，
则圆心为C(1，－2)，半径为1，则直线与圆相离，如图：S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|，S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|，又|PA|＝|PB|＝，
所以当|PC|取最小值时|PA|＝|PB|取最小值，
即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，
四边形PACB面积的最小值为2，
S△PAC＝S△PBC＝，
所以|PA|＝2，
所以|CP|＝3，
所以＝3，因为k>0，所以k＝3.
16．解析：
如图，设|PQ|＝4t(t>0)，
由3|PQ|＝4|PF1|可得|PF1|＝3t，
由双曲线定义，有|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝3t－2a，
|QF2|＝|PQ|－|PF2|＝t＋2a，
又|QF1|－|QF2|＝2a，所以|QF1|＝t＋4a，
因为PQ⊥PF1，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|2＋|PQ|2＝|QF1|2，
即(3t)2＋(3t－2a)2＝4c2①，
(3t)2＋(4t)2＝(t＋4a)2②，
由②解得t＝a，代入①得(3a)2＋(3a－2a)2＝4c2，
即10a2＝4c2，
所以e＝＝ ＝ .
答案：
17．解析：(1)解法一：依题意，Rt△ABC的直角顶点坐标为B(－1，－2)，
∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1.
又∵A(－3，0)，
∴kAB＝＝－，∴kBC＝－＝，
∴边BC所在的直线的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0.
∵直线BC的方程为x－y－3＝0，点C在x轴上，由y＝0，得x＝3，即C(3，0).
解法二：设点C(c，0)，由已知可得kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得c＝3，所以点C的坐标为(3，0).
(2)由B为直角顶点，知AC为直角三角形ABC的斜边．
∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y＝0.
18．解析：(1)将圆C的方程化为标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝，圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝＜1＜，因此直线l与圆C相交．
(2)设圆心C到直线l的距离为d，
则d＝ ＝.
又d＝，则＝，解得m＝±1，所以所求直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
19．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为y＝x－，与y2＝2px联立，得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p.
由题意知y1＋y2＝4，∴p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
20．解析：(1)①当直线l的斜率不存在时，M，N，或M，N.
此时|MN|＝.
② 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1).
由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
所以|MN|＝
＝·
＝.
设m＝1＋4k2，则m≥1.
所以|MN|＝＝>＝.
综上|MN|≥.
(2)当直线l的斜率不存在时，M，N，或M，N，
此时都有＝.
直线A1M的斜率为k1＝，直线A2N的斜率为k2＝.
方法一：＝
＝
＝
＝
＝＝.
方法二：＝
＝
＝
＝
＝＝.
又＝>0，
所以＝.
综上，＝.
21．解析：(1)由题意得，
∴a2＝4，b2＝1.
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，A(0，1)，B(0，－1)，则·＝－1.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得，
消去y，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ>0，可得4k2>3，
且x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－1＋，
则－1<·<，
综上，·∈.
22．解析：(1)因为椭圆ω过点A(－2，0)，
所以a＝2.
因为a＝2b，
所以b＝1.
所以椭圆ω的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.
不妨设此时P，Q，
所以直线AP的方程为y＝(x＋2)，即M.
直线AQ的方程为y＝－(x＋2)，即N.
所以|OM|·|ON|＝.当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
依题意，Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
又直线AP的方程为y＝(x＋2)，
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝，即M.
同理，得N.
所以|OM|·|ON|＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
综上，|OM|·|ON|为定值，定值为.
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1．解析：由斜截式可得直线方程为y＝－x－1，化为一般式即为x＋y＋1＝0.故选D.
答案：D
2．解析：由直线互相垂直可得－·＝－1，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.
答案：A
3．解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴
答案：D
4．解析：∵＝＋＝c＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
答案：A
5．解析：∵双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，
∴1<<2，解得－12答案：B
6．解析：根据椭圆的定义得：|MF2|＝8，
由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，
根据中位线定理得：|ON|＝4，故选B.
答案：B
7．解析：因为0答案：A
8．解析：设点A关于直线x＋y＝4的对称点A′(a，b)，设军营所在区域的圆心为C，根据题意，|A′C|－为最短距离，先求出A′的坐标，AA′的中点为，直线AA′的斜率为1，故直线AA′为y＝x－3，由联立得a＝4，b＝1，
所以|A′C|＝＝，
故|A′C|－＝－.
答案：B
9．解析：由题意得＝，解得a＝－3或a＝3.
答案：AC
10．解析：圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2，0)，半径R＝2.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝R＝2，∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC＝2，即≤2，解得k2≤8，可得－2≤k≤2，∴实数k的取值可以是1，2.
答案：AB
11．解析：∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠BAD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6，又点F到准线的距离为|BF|·sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
答案：ACD
12．解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，
直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为＝＝∈(4，5)，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，
最大值为＋4<10，A选项正确；
如图所示，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，C、D选项正确．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
14．解析：由两直线平行的条件得a(a－3)＝－2，解得a＝1或2，经检验，a＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1.
答案：1
15．解析：由(c－a)·(2b)＝－2，
即2b·c－2a·b＝－2，
即b·c－a·b＝－1，
所以1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.
答案：2
16．解析：作AD⊥BC于点D，
∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线．
易得AB＝2，AC＝2，BC＝4，AD＝，连接PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD＝.
答案：
17．解析：(1)将点(1，2)的坐标代入抛物线C的方程，
得22＝2p，即p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
准线方程为x＝－1.
(2)方法一：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
联立化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
则|MN|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.
易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，所以|QF|＝.
因为|MN|＝2|QF|，所以＝2.
得k2＝1，即k＝±1.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
方法二：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
联立，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.
易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，因为|MN|＝2|QF|，所以＝2.
所以＝2，即|x1－x2|＝4.
即＝4，故＝4.
得k2＝1，即k＝±1.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
18．解析：
(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2).
所以cos〈AB1，BC1〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ∈，故θ＝.
19．解析：(1)设AC，BD交点为E，连接ME.
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.
因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点．
(2)取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP 平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.
因为OE 平面ABCD，所以OP⊥OE.
因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD.
如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，)，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，＝(4，－4，0)，＝(2，0，－).
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即.
令x＝1，则y＝1，z＝.于是n＝(1，1，).
平面PAD的法向量为p＝(0，1，0)，所以cos〈n，p〉＝＝.
由题知二面角B PD A为锐角，所以它的大小为.
(3)由题意知M，C(2，4，0)，＝.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
20．解析：(1)由题意得 b＝1，e＝＝，
因为a2＝b2＋c2所以c＝，a＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若四边形PAMN是平行四边形，
则PA∥MN，且|PA|＝|MN|.
所以直线PA的方程为y＝k(x－2)，
所以P(3，k)，|PA|＝.
设M(x1，y1)，N(x2，y2).
由得(4k2＋1)x2＋8kx＋8＝0，
由Δ>0，得k2>.
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝ .
因为|PA|＝|MN|，所以 ＝.
整理得16k4－56k2＋33＝0，
解得k＝±，或k＝±.
经检验均符合Δ>0，但k＝－时不满足PAMN是平行四边形，舍去．
所以k＝或k＝±.
21．解析：(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，
平面PAD⊥平面ABCD，
AB⊥AD，AB 平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
∵PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
又PD⊥PA，PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB.
(2)取AD中点为O，连接CO，PO.
∵CD＝AC＝，
∴CO⊥AD.
∵PA＝PD，
∴PO⊥AD.又PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，如图建系
易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0)，
则＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1)，＝(－2，－1，0).
设n为平面PDC的法向量，令n＝(x0，y0，1)，
n＝，则PB与平面PCD夹角θ有
sin θ＝|cos〈n，〉|＝
＝＝.
(3)假设存在M点使得BM∥平面PCD，
设＝λ，M(0，y′，z′)，
由(2)知A(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(0，－1，1)，B(1，1，0)，＝(0，y′－1，z′)，
由＝λ M(0，1－λ，λ)，
∴＝(－1，－λ，λ)
∵BM∥平面PCD，n为平面PCD的法向量，
∴·n＝0，
即－＋λ＋λ＝0，
∴λ＝.
∴综上，存在M点使得BM∥平面PCD，此时＝.
22．解析：(1)依题意，e＝＝，c＝2
得a＝，b2＝a2－c2＝2.
得＋＝1.
(2)设点C(－m，0), 则点P.
联立方程，
可得，4x2＋6mx＋3m2－6＝0.
依题意，Δ＝36m2－16(3m2－6)>0，得－2又因为m≠0，所以－2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，B1(x2，－y2)，
得x1＋x2＝－.
设向量＝，＝
则有·＝－y1y2
＝－(x1＋m)(x2＋m)
＝－(x1＋x2)－m2
＝－＝0.
所以PA⊥PB1.
所以∠APB1＝90°.
设AB的中点为M(x0，y0), 则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
kPM＝＝－1，由题意可知kAB＝1，故PM⊥AB，所以|PA|＝|PB|.
因为点B关于x轴的对称点为B1，所以|PB|＝|PB1|.
所以|PA|＝|PB1|.
所以△APB1为等腰直角三角形．
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( )
A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90°
C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180°
2．在x轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝－x＋2
3．已知椭圆＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1 ，则△ABF2的周长为( )
A．10 B. 20
C. 2 D．4
4．下列曲线中离心率为的是( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．已知直线l1：2x＋y＋n＝0与l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝( )
A．－3或3 B．－2或4
C．－1或5 D．－2或2
6．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A． B．－
C. 8 D. －8
7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4；则C的实轴长为( )
A． B．2
C．4 D．8
8．已知直线y＝kx＋m(m为常数)与圆x2＋y2＝4交于点M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝( )
A．±1 B．±
C．± D．±2
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知点M(1，2)关于直线l：y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，直线m过点M，则( )
A．kb＝－2 B．l在x轴上的截距是－8
C．点M到直线l的距离为1 D．当m∥l时，两直线间的距离为
10．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，两圆交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b
11．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则( )
A．C的焦距为 B．C的离心率为
C．圆D在C的内部 D．|PQ|的最小值为
12．已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则( )
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为y＝±x
C．∠PAF2＝45°
D．直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________．
14．已知双曲线C：＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
15．已知P是直线kx＋4y－10＝0(k>0)上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为________．
16．双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|＝4|PF1|，则C的离心率等于________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知Rt△ABC的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求斜边所在直线的方程．
18．(12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
19．(12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，求该抛物线的方程及其准线方程．
20．(12分)已知椭圆C：＋y2＝1，过点P(1，0)的直线l交椭圆C于M，N两点．
(1)证明：|MN|≥；
(2)已知两点A1(－2，0)，A2(2，0)．记直线A1M的斜率为k1，直线A2N的斜率为k2，求的值．
21.(12分)已知椭圆E：＝1(a>b>0)过点M，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点P(0，2)的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，求·的取值范围．
22．(12分)已知椭圆ω：＝1(a>b>0)过点A(－2，0)，且a＝2b.
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点C(1，0)的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点，求证：|OM|·|ON|为定值．
章末质量检测(二) 平面解析几何
1．解析：因为斜率为1的直线的倾斜角是45°，斜率为2的直线的倾斜角大于45°，倾斜角大于90°且小于180°时，直线的斜率是负值，所以斜率为2的直线的倾斜角α的范围是45°<α<90°，故选B.
答案：B
2．解析：由题可知直线的斜率k＝tan 60°＝，所以直线方程为y＝(x－2)，即y＝x－2.
答案：A
3．解析：由题意可得椭圆＋＝1的b＝5，c＝4，
a＝＝，
由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
即有△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4.故选D.
答案：D
4．解析：由e＝得＝，1＋＝，＝，选B.
答案：B
5．解析：由2m－4＝0，解得m＝2.满足l1∥l2.l2的方程为2x＋y－2＝0，有＝，则|n＋2|＝3，解得n＝1或－5，故m＋n＝±3.
答案：A
6．解析：∵方程y＝ax2表示的是抛物线，
∴a≠0，∴x2＝＝2··y，
∴抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－＝2，
解得a＝－，故选B.
答案：B
7．解析：设等轴双曲线C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
答案：C
8．解析：由题可得圆心为(0，0)，半径为2，
则圆心到直线的距离d＝，
则弦长为|MN|＝2，
则当k＝0时，弦长|MN|取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C.
答案：C
9．解析：因为点M(1，2)关于直线y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，线段MN的中点坐标为(0，4)，所以解得所以kb＝2，故A错；此时直线l方程为y＝x＋4，令y＝0，解得x＝－8，所以直线l在x轴上的截距是－8，故B正确；由点到直线的距离公式知，点M到直线l的距离为＝，故C错误；易知直线m的方程为x－2y＋3＝0，又直线l：x－2y＋8＝0，则两直线间的距离为＝，故D正确，故选BD.
答案：BD
10．解析：两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知：线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
答案：ABC
11．解析：由＋y2＝1可知，a2＝6，b2＝1，c2＝5，则焦距2c＝2，离心率e＝＝＝；设P(x，y)，圆心D(－1，0)，半径为r＝，则|PD|＝＝＝ > ，故圆D在C的内部；当PD取最小值 时，|PQ|的最小值为－ ＝，综上所述，选项B、C正确，故选BC.
答案：BC
12．解析：因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cos ∠PF1F2＝＝，所以c2－2ac＋3a2＝0，所以e2－2e＋3＝0，解得e＝，A正确；因为e2＝＝＝3，所以＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，B正确；因为e＝，所以2c＝2a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°.又|AF2|＝c＋a＝(＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，C错误；联立得方程组所以2(2－2y)2－y2＝2a2，所以7y2－16y＋8－2a2＝0，所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，则a＋1＝0，∴a＝－1.
答案：－1
14．解析：在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点坐标为(3，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.
答案：(3，0)
15．解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，
则圆心为C(1，－2)，半径为1，则直线与圆相离，如图：S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|，S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|，又|PA|＝|PB|＝，
所以当|PC|取最小值时|PA|＝|PB|取最小值，
即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，
四边形PACB面积的最小值为2，
S△PAC＝S△PBC＝，
所以|PA|＝2，
所以|CP|＝3，
所以＝3，因为k>0，所以k＝3.
16．解析：
如图，设|PQ|＝4t(t>0)，
由3|PQ|＝4|PF1|可得|PF1|＝3t，
由双曲线定义，有|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝3t－2a，
|QF2|＝|PQ|－|PF2|＝t＋2a，
又|QF1|－|QF2|＝2a，所以|QF1|＝t＋4a，
因为PQ⊥PF1，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|2＋|PQ|2＝|QF1|2，
即(3t)2＋(3t－2a)2＝4c2①，
(3t)2＋(4t)2＝(t＋4a)2②，
由②解得t＝a，代入①得(3a)2＋(3a－2a)2＝4c2，
即10a2＝4c2，
所以e＝＝ ＝ .
答案：
17．解析：(1)解法一：依题意，Rt△ABC的直角顶点坐标为B(－1，－2)，
∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1.
又∵A(－3，0)，
∴kAB＝＝－，∴kBC＝－＝，
∴边BC所在的直线的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0.
∵直线BC的方程为x－y－3＝0，点C在x轴上，由y＝0，得x＝3，即C(3，0).
解法二：设点C(c，0)，由已知可得kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得c＝3，所以点C的坐标为(3，0).
(2)由B为直角顶点，知AC为直角三角形ABC的斜边．
∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y＝0.
18．解析：(1)将圆C的方程化为标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝，圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝＜1＜，因此直线l与圆C相交．
(2)设圆心C到直线l的距离为d，
则d＝ ＝.
又d＝，则＝，解得m＝±1，所以所求直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
19．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为y＝x－，与y2＝2px联立，得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p.
由题意知y1＋y2＝4，∴p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
20．解析：(1)①当直线l的斜率不存在时，M，N，或M，N.
此时|MN|＝.
② 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1).
由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
所以|MN|＝
＝·
＝.
设m＝1＋4k2，则m≥1.
所以|MN|＝＝>＝.
综上|MN|≥.
(2)当直线l的斜率不存在时，M，N，或M，N，
此时都有＝.
直线A1M的斜率为k1＝，直线A2N的斜率为k2＝.
方法一：＝
＝
＝
＝
＝＝.
方法二：＝
＝
＝
＝
＝＝.
又＝>0，
所以＝.
综上，＝.
21．解析：(1)由题意得，
∴a2＝4，b2＝1.
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，A(0，1)，B(0，－1)，则·＝－1.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得，
消去y，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ>0，可得4k2>3，
且x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－1＋，
则－1<·<，
综上，·∈.
22．解析：(1)因为椭圆ω过点A(－2，0)，
所以a＝2.
因为a＝2b，
所以b＝1.
所以椭圆ω的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.
不妨设此时P，Q，
所以直线AP的方程为y＝(x＋2)，即M.
直线AQ的方程为y＝－(x＋2)，即N.
所以|OM|·|ON|＝.当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
依题意，Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
又直线AP的方程为y＝(x＋2)，
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝，即M.
同理，得N.
所以|OM|·|ON|＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
综上，|OM|·|ON|为定值，定值为.
模块质量检测
1．解析：由斜截式可得直线方程为y＝－x－1，化为一般式即为x＋y＋1＝0.故选D.
答案：D
2．解析：由直线互相垂直可得－·＝－1，∴a＝10，所以第一条直线方程为5x＋2y－1＝0，又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a＋b＋c＝－4.
答案：A
3．解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴
答案：D
4．解析：∵＝＋＝c＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
答案：A
5．解析：∵双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，
∴1<<2，解得－12
6．解析：根据椭圆的定义得：|MF2|＝8，
由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，
根据中位线定理得：|ON|＝4，故选B.
答案：B
7．解析：因为0
8．解析：设点A关于直线x＋y＝4的对称点A′(a，b)，设军营所在区域的圆心为C，根据题意，|A′C|－为最短距离，先求出A′的坐标，AA′的中点为，直线AA′的斜率为1，故直线AA′为y＝x－3，由联立得a＝4，b＝1，
所以|A′C|＝＝，
故|A′C|－＝－.
答案：B
9．解析：由题意得＝，解得a＝－3或a＝3.
答案：AC
10．解析：圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2，0)，半径R＝2.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC＝R＝2，∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC＝2，即≤2，解得k2≤8，可得－2≤k≤2，∴实数k的取值可以是1，2.
答案：AB
11．解析：∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠BAD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°，∵△ABF的面积为|BF|2＝9，∴|BF|＝6，又点F到准线的距离为|BF|·sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.
答案：ACD
12．解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，
直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为＝＝∈(4，5)，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，
最大值为＋4<10，A选项正确；
如图所示，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，C、D选项正确．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
14．解析：由两直线平行的条件得a(a－3)＝－2，解得a＝1或2，经检验，a＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1.
答案：1
15．解析：由(c－a)·(2b)＝－2，
即2b·c－2a·b＝－2，
即b·c－a·b＝－1，
所以1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.
答案：2
16．解析：作AD⊥BC于点D，
∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线．
易得AB＝2，AC＝2，BC＝4，AD＝，连接PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD＝.
答案：
17．解析：(1)将点(1，2)的坐标代入抛物线C的方程，
得22＝2p，即p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
准线方程为x＝－1.
(2)方法一：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
联立化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝.
则|MN|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.
易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，所以|QF|＝.
因为|MN|＝2|QF|，所以＝2.
得k2＝1，即k＝±1.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
方法二：依题意，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0).
联立，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
易知Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.
易知Q(－1，－2k)，F(1，0)，因为|MN|＝2|QF|，所以＝2.
所以＝2，即|x1－x2|＝4.
即＝4，故＝4.
得k2＝1，即k＝±1.
所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
18．解析：
(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，
则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，
因此＝(0，－2，2)，＝(2，0，2).
所以cos〈AB1，BC1〉＝＝＝，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则cos θ＝，由于θ∈，故θ＝.
19．解析：(1)设AC，BD交点为E，连接ME.
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.
因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点．
(2)取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP 平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.
因为OE 平面ABCD，所以OP⊥OE.
因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD.
如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，)，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，＝(4，－4，0)，＝(2，0，－).
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即.
令x＝1，则y＝1，z＝.于是n＝(1，1，).
平面PAD的法向量为p＝(0，1，0)，所以cos〈n，p〉＝＝.
由题知二面角B PD A为锐角，所以它的大小为.
(3)由题意知M，C(2，4，0)，＝.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
20．解析：(1)由题意得 b＝1，e＝＝，
因为a2＝b2＋c2所以c＝，a＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若四边形PAMN是平行四边形，
则PA∥MN，且|PA|＝|MN|.
所以直线PA的方程为y＝k(x－2)，
所以P(3，k)，|PA|＝.
设M(x1，y1)，N(x2，y2).
由得(4k2＋1)x2＋8kx＋8＝0，
由Δ>0，得k2>.
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝ .
因为|PA|＝|MN|，所以 ＝.
整理得16k4－56k2＋33＝0，
解得k＝±，或k＝±.
经检验均符合Δ>0，但k＝－时不满足PAMN是平行四边形，舍去．
所以k＝或k＝±.
21．解析：(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，
平面PAD⊥平面ABCD，
AB⊥AD，AB 平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD.
∵PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
又PD⊥PA，PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB.
(2)取AD中点为O，连接CO，PO.
∵CD＝AC＝，
∴CO⊥AD.
∵PA＝PD，
∴PO⊥AD.又PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，如图建系
易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0)，
则＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1)，＝(－2，－1，0).
设n为平面PDC的法向量，令n＝(x0，y0，1)，
n＝，则PB与平面PCD夹角θ有
sin θ＝|cos〈n，〉|＝
＝＝.
(3)假设存在M点使得BM∥平面PCD，
设＝λ，M(0，y′，z′)，
由(2)知A(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(0，－1，1)，B(1，1，0)，＝(0，y′－1，z′)，
由＝λ M(0，1－λ，λ)，
∴＝(－1，－λ，λ)
∵BM∥平面PCD，n为平面PCD的法向量，
∴·n＝0，
即－＋λ＋λ＝0，
∴λ＝.
∴综上，存在M点使得BM∥平面PCD，此时＝.
22．解析：(1)依题意，e＝＝，c＝2
得a＝，b2＝a2－c2＝2.
得＋＝1.
(2)设点C(－m，0), 则点P.
联立方程，
可得，4x2＋6mx＋3m2－6＝0.
依题意，Δ＝36m2－16(3m2－6)>0，得－2
得x1＋x2＝－.
设向量＝，＝
则有·＝－y1y2
＝－(x1＋m)(x2＋m)
＝－(x1＋x2)－m2
＝－＝0.
所以PA⊥PB1.
所以∠APB1＝90°.
设AB的中点为M(x0，y0), 则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
kPM＝＝－1，由题意可知kAB＝1，故PM⊥AB，所以|PA|＝|PB|.
因为点B关于x轴的对称点为B1，所以|PB|＝|PB1|.
所以|PA|＝|PB1|.
所以△APB1为等腰直角三角形．