2024-2025学年湖南省邵阳市邵东县创新高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年邵阳市邵东县创新高级中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 命题和命题都是真命题 B. 命题的否定和命题都是真命题
C. 命题的否定和命题都是真命题 D. 命题的否定和命题的否定都是真命题
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.苏格兰数学家纳皮尔发明的对数及对数表如表，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间即就是任何一个正实数可以表示成，则，这样我们可以知道的位数已知正整数是位数，则的值为( )
A. B. C. D.
7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购得的黄金( )
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长．
A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 不确定
8.已知定义在上的函数满足，当时，若对任意，都有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 有一个零点
B. 的极小值为
C. 的对称中心为
D. 直线是曲线的切线
10.已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是( )
A. ，则，
B. 若，则关于的不等式的解集为
C. 若为常数，且，则的最小值为
D. 若，的解集一定不为
11.已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，则下列选项正确的是( )
A. 函数的图象关于对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的定义域是，则函数的定义域为______．
13.设函数是的导函数某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足已知三次函数，若，则 ______．
14.设函数当时，的值域为 ；若的最小值为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，，，分别为内角，，的对边，且．
求角的大小；
设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最大值；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
求抛物线的标准方程；
抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，求点的横坐标的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调增区间；
若，，使，求实数的取值范围．
19.本小题分
如果数列满足：且，则称为阶“归化”数列．
若某阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；
若某阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式；
若为阶“归化”数列，求证．
参考答案
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15.解：在中，由正弦定理及得：，
由余弦定理得，
又，所以．
是的角平分线，，
由可得，
因为，，即有，，
故．
16.解：函数的定义域为，且，
令，解得：，
令，解得：．
所以的单调增区间为，单调减区间为，
则．
不等式在上恒成立，即在上恒成立，
令，
则，
令，解得：，
令，解得：．
所以的单调增区间为，单调减区间为，
则，
所以，
所以不等式在上恒成立，则实数的取值范围为．
17.解：因为在抛物线：上，
所以，解得：，又，
所以，即，解得：，
所以抛物线的标准方程为；
易知抛物线的准线为，则可得，
如图，设，，直线：，
因为，即，
则，
联立方程，消去得：，则，即，
所以，，，
即可得，
联立两式并整理可得，
又，
由可得递增，
即有，即
又中点坐标为，
可得直线的垂直平分线的方程为，
令，可得
即的取值范围为．
18.解：当时，，
当时，单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为和；
，，使，
所以，
即，
当时，，对称轴，
当即时，，，
所以，
所以或，
因为，所以，
当即时，，，
所以，，
因为，所以，
当时，，对称轴，
所以，，
所以，，
所以，
当时，，
因为，
因为，
所以不可能是函数的最大值，
所以，
所以，
所以，
综上所述：的取值范围是．
19.解：设，，成公差为的等差数列，显然，
则由得，
所以，
所以，
所以，，
由得，解得，
所以数列为所求阶“归化”数列．
设等差数列，，，，的公差为，
因为，所以，所以，即．
当时，此时，
与归化数列的条件相矛盾．
当时，由，
故，又，
联立解得，
所以．
当时，由，，同理解得，
所以．
综上，当时，；
当时，．
由已知可得：必有，也必有，，
设，，，为中所有大于的数，，，，为中所有小于的数，
由已知得，
所以．
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