2024-2025学年湖北省十堰市竹溪第二高级中学高三（上）摸底数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省十堰市竹溪第二高级中学高三（上）摸底
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.设函数在区间单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设椭圆：，：的离心率分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知是偶函数，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数恒过定点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为( )
A. ， B.
C. D.
9.有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则( )
A. ，，，的平均数等于，，，的平均数
B. ，，，的中位数等于，，，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，，，的标准差
D. ，，，的极差大于，，，的极差
二、多选题：本题共2小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知函数，则( )
A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为
C. 函数在上单调递增 D.
11.已知函数的定义域为，，则( )
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
12.函数的定义域为______．
13.已知函数，则的解集是______
14.已知，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
全集，若集合，．
求；；
若集合，，求的取值范围．
16.本小题分
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．
已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
17.本小题分
已知在中，，．
求；
设，求边上的高．
18.本小题分
如图，在正四棱柱中，，点，，，分别在棱，，，上，，，．
证明：；
点在棱上，当二面角为时，求
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
参考答案
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15.解：集合，
，
则，．
，
则，
集合，
故，
故的取值范围．
16.解：由已知可得，的所有可能取值为，，，
则，
，
所以的分布列为：


由可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为，，，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．
17.解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又，，
解得，
又，，
；
由可知，，
，
，
，，
设边上的高为，
则，
，
解得，
即边上的高为．
18.解：证明：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
所以，，
所以，
所以，
又，不在同一条直线上，
所以．
设平面的法向量，则，
设，
又，，，
设平面的法向量，则，
令，得，，
所以，
所以，
化简可得，，解得或，
所以或，
所以．
19.解：因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕．
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