2024-2025学年天津市天津一中高三（上）统练数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年天津一中高三（上）统练
数学试卷（一）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则有( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.若在处取得极大值，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
6.如图是某校随机抽取名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，下列说法正确的是( )
A. 平均数为
B. 众数为或
C. 中位数为
D. 该校数学月考成绩以上的学生约占
7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，为正实数，则代数式的最小值为( )
A. B. C. D.
9.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，求实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若复数满足，则的虚部为______．
11.已知在的展开式中第项为常数项，展开式中含有顶的系数为______．
12.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是 ．
13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是______．
14.若对满足条件的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围为______．
15.已知函数，关于的不等式只有个整数解，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，．
求角的大小；
若在线段上，且，，求的面积．
17.本小题分
设函数，．
Ⅰ求的最小正周期和对称中心；
Ⅱ若函数，求函数在区间上的最值．
18.本小题分
已知四棱锥中，平面，，，，为线段的中点．
Ⅰ求证：直线平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，．
若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
设，为正实数，且，求证：．
参考答案
1.
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15.
16.解：由题意，，，
由正弦定理可得：，
可得：，
可得：，
又因为为锐角三角形，故．
设，，，则，
由余弦定理有，．
两式相加有．
在中，，
可得：，
故，
可得：或舍，
故．
17.解：Ⅰ由已知，有

最小正周期为，
由，得，．
对称中心为；
Ⅱ由，得，
当时，，可得在区间上单调递增，
当时，，可得在区间上单调递减．
．
又，．
18.解：Ⅰ证明：取中点，连接，，又为线段的中点，
，又，，又，
又，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面；
Ⅱ以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，；
Ⅲ设平面的一个法向量为，
，，
则，令，则，，
，，
平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：
由题意知，
，经检验，符合题意．
从而切线斜率 ，切点为，
切线方程为．
，
因为在上为单调增函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，得，
设，，
则，当且仅当时取等号，此时取得最小值，
所以，即，
的取值范围是；
要证：，只需证，
即证，只需证，
设，由知在上是单调函数，又，
所以，即证成立，
所以，
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