2024-2025学年湖南省长沙市明德中学高三（上）段考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市明德中学高三（上）段考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知函数和函数的图象相交于，，三点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足，当时，，则( )
A. 为奇函数 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：近似服从正态分布已知时，有，，下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高约为
B. 该地水稻株高的方差约为
C. 该地株高超过的水稻约占
D. 该地株高低于的水稻约占
9.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
10.把一个三阶魔方看成是棱长为的正方体，若顶层旋转为锐角，记表面积增加量为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图像关于直线对称
C. 的最大值为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知函数是偶函数，则 ______．
12.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为______．
13.在概率论中，全概率公式指的是：设为样本空间，若事件，，，两两互斥，，则对任意的事件，有若甲盒中有个白球、个红球、个黑球，乙盒中有个白球、个红球、个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且．
求角；
求的取值范围．
15.本小题分
已知椭圆：的右顶点为，离心率为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于另一点，若，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，，侧面底面，，分别为，的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若恒成立，求的最小值；
求证：；
已知恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
已知数列，，，和数列，，，，，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
若函数有三个零点，其中．
证明：数列，，，为“对数凹性”数列；
若数列的各项均为正数，，记的前项和为，，对任意三个不相等正整数，，，存在常数，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．
参考答案
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14.解：由余弦定理知，，
所以，
因为，
所以，
整理得，
所以，即，
因为，所以，即．
由知，
所以，
由正弦定理知，，
而
，
因为，所以，，
所以，
所以，
即的取值范围为．
15.解：由题意可得，．
因为，所以，，
故椭圆的方程为；
由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立，得，
易知，设，
则，
所以，，
因为，
所以，
即，解得，
所以直线的方程为，即．
16.Ⅰ证明：取的中点，连接，．
，，
，．
又平面平面，
且是平面与平面的交线，
平面．
如图所示建立空间直角坐标系．
由已知得，，，，，
，
，
．
Ⅱ解：，
设平面的法向量为，
，
，
令，则，．
故为平面的一个法向量．
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
Ⅲ解：由Ⅱ可知为平面的一个法向量，
而，为平面的一个法向量．
设二面角的大小为，易知二面角是锐角，
二面角的余弦值等于．
17.解：因为函数，，所以不等式等价于，
令，且，则，其中，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即的最小值为．
证明：当时，由得，即，其中．
令，则，
所以，
即．
因为恒成立，即恒成立，
所以，
由知恒成立，
所以，
所以，即的取值范围是．
18.解：对于数列，，，而言，，数列，，，不是“对数凹性”数列，
对于数列，，，，，，，，
数列，，，，为“对数凹性”数列．
证明：有两个不等的实根，，
，
由，
令，有三个不等的实根，，
数列，，，为“对数凹性”数列．
证明：将，互换得，，，
令，，
，数列是等差数列，
令，
，
，
时，
，
而也满足上式，，
为单调递增的等差数列，
，
是“对数凹性”数列．
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