2024-2025学年广西壮族自治区南宁市南宁三中高三（上）适应性数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广西南宁三中高三（上）适应性数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.以下命题为假命题的是( )
A. 若样本数据，，，，，的方差为，则数据，，，，，的方差为
B. 一组数据，，，，的第百分位数是
C. 一般来说，若一组数据的频率分布直方图为单峰且不对称，且直方图在左边“拖尾”，则这组数据的平均数小于中位数
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，最终求得线性回归方程为，则模型中，的值对应分别是和
5.动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
6.设函数，曲线与恰有一个交点，则( )
A. B. C. D.
7.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，若恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数，下列说法正确的有( )
A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称
C. 在区间上单调递减 D. 的一个零点为
10.已知抛物线：的焦点为，上一点到和到轴的距离分别为和，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的准线方程为
C. 圆的标准方程为
D. 若过点，且与直线为坐标原点平行的直线与圆相交于，两点，则
11.已知函数，则( )
A. 的图像是中心对称图形 B. 的图像是轴对称图形
C. 是周期函数 D. 存在最大值与最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和，若，，则 ______．
13.已知，是方程的两个实数根， ______．
14.某盒中有个大小相同的球，分别标号为，，，，从盒中任取个球，记为取出的个球的标号之和被除的余数，则随机变量的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知，．
求；
若是边上一点，，且，求的面积．
16.本小题分
在平行四边形中，，，将沿翻折到的位置，使得．
证明；平面；
在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，曲线在轴的上方，求实数的取值范围．
18.本小题分
为防范火灾，对某仓库的灭火系统的套喷淋装置进行检查，发现各套装置能正常工作的概率为，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立的若有超过一半的喷淋装置正常工作，则该仓库的灭火系统能正常工作，否则就需要维修．
求该仓库灭火装置正常工作的个数的均值与方差；
系统需要维修的概率；
为提高灭火系统正常工作的概率，在仓库内增加两套功能完全一样的其他品牌的喷淋装置，每套新喷淋装置正常工作的概率为，且新增喷淋装置后有超过一半的系统能正常工作，则灭火系统可以正常工作问：满足什么条件时可以提高整个灭火系统的正常工作概率？
19.本小题分
已知双曲线的实轴长为，顶点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程；
若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为、、、，证明：；
求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由．
参考答案
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15.解：由，
由余弦定理可得：，
将代入得，，
化简得，即，
再由余弦定理可得：；
由可知，
则在中，由，
所以，
所以，
两边平方可得：
，
即，解得．
故的面积．
16.证明：翻折前，在中，，，
由正弦定理得，，
所以，即，
又，所以，
所以，即，
因为，，，所以，即，
又，、平面，
所以平面．
解：由知平面，
因为平面，所以平面平面，
在平行四边形中，，即，
又平面平面，平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设，其中，
则，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
由平面，知平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
所以，，
整理可得，
解得或舍，
故线段上存在点，使二面角的余弦值为，且．
17.解：Ⅰ当时，，，
所以，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ因为函数，
当时，由有，故曲线在轴的上方，
当时，，
由可得或 舍去，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当，即时，所以在上单调递增，
则，即曲线在轴的上方，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
由时，曲线在轴的上方，
所以，解得，
所以；
综上，实数的取值范围为．
18.解：记为系统中可以正常工作的喷淋装置的个数．
因为各套装置能正常工作的概率为，且每套喷淋装置能否正常工作是相互独立，
所以，
所以该仓库灭火装置正常工作的个数的均值为，
方差；
记事件为“该仓库灭火系统需要维修”，
则．
所以系统需要维修的概率为．
记事件为“该仓库灭火系统能正常工作”，
由题意可知
，
，
，
则
，
由可知灭火系统原来可以正常工作概率为，
若新增两个电子元件后整个系统的正常工作概率提高了，则成立，
即，即，
解得，而．
综上当时，可以提高整个系统的正常工作概率．
19.解：由题意，解得，
所以双曲线的标准方程为；
证明：由题意直线的斜率不为，设直线：，如图，
因为直线与的右支交于两点，所以，
联立，消去得，则，即，
所以，
联立，消去得，，
所以，
所以，
即线段，的中点重合，
所以；
由题意得方程的初始解为，
根据循环构造原理得：，
从而，
记，则，设，的夹角为，
则的面积
，
令，则，
则
，
所以的面积为定值．
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