人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题
一、单选题(每题3分，共30分)
1．如图，已知 ，则下列条件中不一定能使 的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在和中，已知，还需添加一个条件才能使，不能添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．图中，于E，于D，交点为C，你认为图中全等的三角形共有（　 　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
4．如图，已知，，若可得，则判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
5．如图，中，是的角平分线，，F是中点，连接，若，，，则为（ ）
A． B．12 C．15 D．30
6．如图，在中，，是的平分线，若，，则 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题(每题3分，共30分)
8．如图，，平分交于D，，，则点D到的距离为 cm．
9．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为 ．
10．如图，△ABC 的两条高AD，BE 相交于点F，若要用“ASA”证明△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．
11．如图，已知，，则五边形的面积为 .
12．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=75o，∠C=10o，则∠OAD= °．
13．如图，，，，，则的度数 ．
14．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝5，BC＝6，S△ABC＝9，则DE的长为 ．

15．如图，在△ABC中，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的周长是18，且OD=2，则△ABC的面积为 ．
16．已知如图，在中，BD为的平分线，于E，且，，则的面积为 ．
17．在中，是角平分线，于点E，的面积为60，，，则 ．

三、解答题(共60分)
18．如图，点在一条直线上，且，若，．求证：．

19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，求证：．
20．如图，，求证：.
21．如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC、AB上,且DE∥AB,EF∥AC．
(1)求证：BE=AF；
(2)若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)BE与AD有何位置关系？请说明理由．
23．如图，在中，平分，，，点E在的延长线上，且．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)求证：．
24．已知：在中，，，点是的中点，点是边上一点．
（）如图，若交延长线于点，交的延长线于点，求证：；
（）如图，若为线段上一点，且，的延长线交于，请判断线段与的关系，并证明你的猜想．
25．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
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参考答案：
1．C
【分析】根据题目中的已知条件 ， ，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【详解】已有条件 ，
A、再加上可利用 证明，故A不合题意；
B、再加上条件可利用证明，故此B不合题意；
C、再加上条件不能证明，故C项符合题意；
D、再加上条件可利用证明，故D不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
2．B
【分析】根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可.
【详解】解：∵，∴，又∵，
A、若，则可根据SAS判定，所以本选项不符合题意；
B、若，不能判定，所以本选项符合题意；
C、若，则可根据AAS判定，所以本选项不符合题意；
D、若，则可根据ASA判定，所以本选项不符合题意.
故选B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，属于基本题型，熟练掌握判定方法是关键.
3．A
【分析】根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证，做题时要由易到难，循序渐进．
【详解】解：①，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，；
②，
∵，，，
∴，
∴，，；
③，
∵，
∴，
∵，，，
∴；
④，
∵，，，
∴；
综上分析可知，图中全等的三角形共有4个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；全等三角形的判定方法一般有：、、、、．应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用，做题时要做到不重不漏．提出猜想，证明猜想是解决几何问题的基本方法．
4．B
【分析】由得，结合已知条件，满足两组对角相等且夹边相等．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，，
∴在和中满足两组对角相等且夹边相等，
∴，
故答案为：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定条件，熟练掌握ASA，AAS，SSS，SAS，HL等全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．A
【分析】过点D作于点G，根据角平分线的性质可得，从而得到，再由F是中点，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点G，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
∵F是中点，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
6．A
【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质得 ，DE＝DC再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，
在中，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确理解角平分线的性质是解本题的关键．
7．D
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【详解】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠APG=∠CAP，
∴∠APG=∠BAP，
∴GA=GP；
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴S△PAC：S△PAB=AC：AB，
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∴FP=FC，
故①②③④都正确．
故选D．
【点睛】本题考查角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题关键．
8．3
【分析】本题考查了角平分线的性质，过D作于E，根据角平分线的性质得出，求出即可,牢记角平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：过D作于E，
平分交于D，，
，
即D到的距离为
故答案为：3．
9．
【分析】过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明，，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于H，如图，
∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵和的面积分别为和，，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．CE=CD
【分析】添加CD=CE，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C=∠C，然后再添加CD=CE，可利用ASA判定△ADC≌△BEC．
【详解】添加CD=CE，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
在△ADC和△BEC中
，
∴△ADC≌△BEC（ASA），
故答案为CD=CE．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．4
【分析】延长DE到F，使EF=BC，连接AC、AD、AF，利用SAS可得△ABC≌△AEF，即可得到AC=AF，根据CD=BC+DE可得CD=DF，利用SSS可证明△ACD≌△AFD，根据S五边形ABCDE=S△ABC+S四边形AEDC=2S△AFD即可得答案.
【详解】如图，延长DE到F，使EF=BC，连接AC、AD、AF，
∵AB=AE，∠ABC=∠AEF=90°，EF=BC，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，S△ABC=S△AEF，
∵BC=EF，
∴BC+DE=EF+DE=DF，
∵BC+DE=CD，
∴CD=DF，
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴S五边形ABCDE=S△ABC+S四边形AEDC
= S△AEF+S四边形AEDC
=2S△AFD
=2××DF×AE=×2×2×2
=4
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.熟练掌握全等三角形的判定方法并正确作出辅助线是解题关键.
12．95
【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和算出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案是：95．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
13．
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE ∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180° 80° 30°＝70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°，
∴∠EAC＝∠DAE ∠DAC
＝70° 15°
＝55°．
故答案为55°．
【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．
【分析】作DF⊥AB，根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．

【详解】∵BD平分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=9，AB=5，BC=6，
∴×6×DE+×5×DF=9，
∴DE=DF=.
【点睛】本题考查的是角平分线，熟练掌握角平分线定理是解题的关键.
15．18
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE，OF，根据三角形的面积公式计算．
【详解】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=2，
同理，OF=OD=2，
∵△ABC的周长是18，
∴AB+BC+AC=18，
∴△ABC的面积=△OBC的面积+△OAB的面积+△OAC的面积
=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF
=×（AB+BC+AC）×2
=18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．16
【分析】作于H点，利用角平分线的性质可以得到，然后利用三角形的面积计算公式计算三角形的面积即可．
【详解】如图：作于H点，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，
∴
∵AB＝8cm，
∴S△ABD＝AB DH＝×4×8＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是正确地作出AB边上的高，并利用角平分线的性质得到两垂线段相等．
17．8
【分析】过点D作于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过点D作于F，

∵是角平分线，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解题的关键．
18．证明见解析.
【分析】由∠1=∠2，根据补角的性质可求出，根据AB=CD可得，根据推出，根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】∵，．
又∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在 和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能证明是解此题的关键．
19．见解析
【分析】根据等角的余角相等可得，进而根据ASA证明两三角形全等即可得证．
【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴，
，
∴，
又∵AD=CD，
∴（ASA）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．见解析.
【分析】先证明CB=FE，再加上条件AB=DE，AC=DF，可利用SSS判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，再根据同位角相等，两直线平行可得结论．
【详解】证明：
∵，
∴
∴，
∵在△ABC和△DEF中，
∴，
∴ , ，
∴.
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS．证明三角形全等必须有边相等的条件．
21．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
【详解】(1)证明：∵DE∥AB,EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
(2)过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=3，
∴BE= =2，
∴DE=BE=2 ，
∴四边形ADEF的面积为：DE DG=6.
【点睛】此题考查角平分线的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解题关键在于作辅助线
22．见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD＝CE，CA＝CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝BE即可；
【详解】（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝90°，
∴CD＝CE.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：BE⊥AD；理由如下：设CD与BE相交于点F.
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC
又∵∠EFC=∠BFD，
∴∠DBE＝∠DCE＝90°，
∴BE⊥AD．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、对顶角相等，三角形的内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
23．(1)；
(2)；
(3)见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，再根据三角形的外角的性质即可得出答案；
（2）由（1）知，，再根据三角形内角和定理即可得出答案；
（3）根据角平分线的定义得出，再根据证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
又，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴；
（3）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握上述知识是解题的关键．
24．（）；（）且．
【详解】试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得到：AD=CD，再证明△MAD≌△ECD，即可得到结论．
（2）证明△ACE≌△CBG，得到CE=BG，∠ACE=∠CBG，再证明BG⊥CE即可．
试题解析：（）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠DAC=45°，∴AD=CD．
又∵AH⊥CE，∴∠HAE+∠AEH=90°，
又∵∠CED+∠ECD=90°，∠AEH=∠CED（对顶角相等），∴∠HAE=∠ECD，
在△MAD和△ECD中．∵∠MAD=∠ECD，AD=CD，∠ADM=∠CDE=90°，
∴△MAD≌△ECD（ASA ），∴DE=DM．
（2）BG=CE且BG⊥CE．证明如下：
∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠CAD=∠BCD=45°．
在△ACE和△CBG中，∵AC=BC，∠CAE=∠BCG=45°，AE=CG，∴△ACE≌△CBG（SAS ），∴CE=BG，∠ACE=∠CBG．
又∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECB=90°，∴∠CBG+∠ECB=90°，∴在△BCF中，∠FCB+∠CBF=90°，∴∠CFB=90°，∴BF⊥CE即BG⊥CE，
综上所述，BG=CE且BG⊥CE．
点睛：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握定理是基础，灵活运用解题是关键．
25．(1)①见解析，②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案；
②由（1）得到，，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案．
【详解】（1）①证明：，，
，
，
，，
，
在和中
，
．
②证明：由（1）知：，
，，
，
．
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
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