第二章平面向量及其应用A卷基础夯实 （含解析）2024-2025学年高一数学北师大2019必修第二册单元达标测试卷

第二章 平面向量及其应用 A卷 基础夯实——2024-2025学年高一数学北师大2019必修第二册单元达标测试卷
一、选择题
1．已知向量，，，则( )
A.6 B. C. D.
2．如图，在中，E是AC的中点，F是线段BC上的一点，且，若，其中m，，则的值为( )
A.1 B. C. D.
3．在中，，，，则( )
A. B.1 C. D.2
4．在矩形ABCD中,,,圆M为矩形内恒与AB,BC相切的动圆,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5．在中，a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，M为边AC上一点，满足，若，，，则( )
A. B. C. D.
6．在中，，，，则等于( )
A. B. C. D.
7．对称美是数学美的重要组成部分,他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中,在数学史上,数学美是数学发展的动力.如图,在等边中,,以三条边为直径向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点,若,则的最大值为( )
A. B. C.1 D.
8．已知向量,满足,且,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．向量,满足:,,,则向量在向量上的投影向量的模的可能值是( )
A.1 B. C. D.2
10．设点D是所在平面内一点,则下列说法正确的有( )
A.若,则点D是边的中点
B.若,则点D是的重心
C.若,则点D在边的延长线上
D.若,且,则是面积的一半
11．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,则( )
A.若,则B.若,则
C.面积的最大值为D.周长的最大值为
三、填空题
12．已知以O为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则______.
13．设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为________.
14．已知,是两个不共线的单位向量,,,若与共线,则__________.
四、解答题
15．在中，已知，D为上一点，，，且.
(1)求的值；
(2)求的面积.
16．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中,,．
（1）求c的值．
（2）求的值．
17．已知向量，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小.
18．已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角A的大小;
（2）若,D为的中点,的面积为,求的长.
19．设，是不共线的两个向量.
（1）若，，，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值.
参考答案
1．答案：D
解析：，，即，解得，
故选：D.
2．答案：C
解析：在平行四边形中，，，
因为E是AC中点，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
.
故选C.
3．答案：B
解析：在中，，，，由余弦定理得，
即，整理得，
所以.
故选：B
4．答案：D
解析：建立以B为原点,为正交基底平面直角坐标系,设,,,,,
,,,,
所以,
又,所以其最小值在时取得,即为.
故选:D.
5．答案：A
解析：
6．答案：B
解析：设，，，
故选：B
7．答案：B
解析： 如图,过点M作,交直线,于点P,Q,
则,.
设,.则.
,.
由图可知,当与半圆相切时,k最大,易求得,
即k最大为.的最大值为.
故选：B.
8．答案：C
解析:因为,且,所以在上的投影向量,
,
故选:C.
9．答案：ACD
解析：由题意,向量,满足,且,
所以向量在向量上的投影向量的模为.
故选:ACD
10．答案：ABD
解析：对A,,即,
即,
即点D是边的中点,故A正确;
对B,设的中点为M,,
即点D是的重心,故B正确;
对C,,
即,
即,
即点D在边的延长线上,故C错误;
对D,,且,
故,且,
设,
则,且,
故M,B,C三点共线,且,
即是面积的一半,故D正确.
11．答案：BCD
解析：对于A,若,又,,由正弦定理得,故A错误;
对于B,由题意,由正弦定理得,故B正确;
对于C,由余弦定理得,,所以,当且仅当时取等号,
所以,
所以面积的最大值为,故C正确;
对于D,由,,及余弦定理得,
,所以,
当且仅当时取等号,
所以的周长,
所以周长的最大值为,故D正确.
故选：BCD
12．答案：2
解析：以O为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
设一小格为1单位，则，，，
则，
故答案为：2.
13．答案：-4
解析：因为，，，
所以，
由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得.
所以，
又因为与不共线，
所以，解得.
故答案为：-4
14．答案：或
解析：因为,是两个不共线的单位向量,,,若与是共线向量,
设,,则,
所以,解得.
故答案为:.
15．答案：(1)2
(2)
解析：(1)，，则，
在中，，所以.
在中，，，所以.
故.
(2)在中，由余弦定理可得，
即，
解得，，
则.
故的面积为.
16．答案：（1）3
（2）.
解析：（1）为锐角三角形,,
,
由余弦定理得：,解得：.
故c的值为3.
（2）由正弦定理得：,即：,解得：.
故的值为.
17．答案：（I）；
（II）.
解析：（I）因为，，所以，
由，可得，
即，解得，即，
所以；
（II）依题意，
可得，即，
所以，
因为，
所以与的夹角大小是．
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
由正弦定理可得,
可得,即,
所以.
因为,所以.
（2）因为,,的面积为,
所以,由（1）知,可得,
因为,可得：
,
解得,可得的长为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）±4.
解析：（1）由，，，
得，
，
因此，且有公共点
所以A，B，C三点共线，
（2）由于与共线，则存在实数，使得，
即，而，不共线，
因此，解得，或，，
所以实数k的值是.