第二章 平面向量及其应用 B卷能力提升（含解析）——2024-2025学年高一数学北师大2019必修第二册单元达标测试卷

第二章 平面向量及其应用 B卷 能力提升——2024-2025学年高一数学北师大2019必修第二册单元达标测试卷
一、选择题
1．已知向量,满足,且,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
2．下列关于平面向量的说法,其中正确的是( )
A.若,则 B.若且,则
C.若,则或 D.若与不共线,则与都是非零向量
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则角C的范围是( )
A. B. C. D.
4．若在已知,和的条件下,有两个解,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．如图,在四边形ABCD中,,,E为AC中点.,求的值( )
A.0 B.12 C.2 D.6
6．已知向量，满足，且，则( )
A.1 B.2 C. D.
7．已知向量,,若,则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
8．已知非零向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(k为非零实数)，则下列结论正确的是( )
A.当时，是直角三角形
B.当时，是锐角三角形
C.当时，是钝角三角形
D.当时，是钝角三角形
10．下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A., B.,
C., D.,
11．在中,若,则B( )
A.60° B.150° C.120° D.30°
三、填空题
12．已知P是正六边形边上任意一点，且，，则__________.
13．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则____________.
14．已知向量，满足，，，则_________.
四、解答题
15．已知中三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,且,.
（1）若,求的值;
（2）若时,求的周长.
16．已知为中边上的中线，，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值及的值.
17．已知中角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.
（1）求的值;
（2）若,,求的面积.
18．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
（1）求A;
（2）若角A的平分线与BC交于点D,且,,求的面积.
19．已知向量，夹角为，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
参考答案
1．答案：C
解析:因为,且,所以在上的投影向量,
,
故选:C.
2．答案：D
解析：对于A项,若与是一对相反向量,满足,但,故A项错误;
对于B项,若与一对相反向量,满足且,但,故B项错误;
对于C项,当时,满足,但是不满足或,故C项错误;
对于D项,运用反证法,假设与不都是非零向量,即与中至少有一个是零向量,
则与共线,与题设矛盾,故原命题正确,即D项正确.
故选：D.
3．答案：D
解析：，得，，可得，，又，可得角C是锐角，.
4．答案：C
解析：解析因为有两个解,所以,
所以,即.
故选：C.
5．答案：A
解析：,E为AC中点,,
,
,,
.
故选：A.
6．答案：B
解析：因为，所以，
故.
故选：B.
7．答案：C
解析：由,,,得,
解得．所以,,
所以,,
所以在上的投影向量为
故选：C．
8．答案：A
解析：，则，①
，则有，②
，得，则有，代入①式，
，解得，
由，得.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：对于选项A，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；
对于选项B，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
显然是等腰三角形，，
说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；
对于选项C，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；
对于选项D，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
此时，不等构成三角形，故命题错误.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：对于A,因为,所以与不是共线向量,可以作为基底,A正确.
对于B,因为,所以,不可以作为基底,B错误.
对于C,因为,所以与不是共线向量,可以作为基底,C正确.
对于D,因为（-2,所以与不是共线向量,可以作为基底,D正确.
11．答案：AC
解析：因为,,
所以(大边对大角),
由正弦定理可知,
,
又因为,
或．
故选：AC．
12．答案：/
解析：依题意，以正六边形的中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，分别交y轴于点，，
则，，，，，，
设，则，，
则，
根据正六边形的对称性，不妨只研究点P位于y轴的左半部分的情况，分以下四种情形：
①当点P在上时，则，，则，不满足；
②当点P在上时，则，，则，不满足；
③当点P在上时，易得直线的方程为，
则，，
因为，所以，解得或(舍去)，；
④当点P在上时，易得直线的方程为，
则，
因为，所以，不满足.
综上，当时，，，，
则，，
故.
故答案为：.
13．答案：11
解析：已知向量，的夹角的余弦值为，且，，
则，
.
故答案为：11.
14．答案：-1
解析：因为，所以，
即，解得.
故答案：-1
15．答案：（1）
（2）6
解析：（1）在中,由正弦定理得,
,
,,
（2）,
又因为,所以
由余弦定理得,
,即
,的周长为.
16．答案：（1）；
（2），.
解析：（1）设，，则，，.
因为，，所以，
所以，所以，
所以，且为中$AB$边上的中线，所以，则为正三角形，所以.
（2）依题意可得，设，，
因为，可得
由余弦定理得，则，
整理得，即.
由正弦定理得，，
即，，整理得，
则，则.
在，由余弦定理得，则，整理得，即.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
由正弦定理得,
所以,
由于,所以,则.
因为,所以,.
因为,所以.
（2）由余弦定理,及,,,得,
即.所以.所以的面积.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,,
整理可得,即,
因为,则,由余弦定理可得,
因为,故.
（2）由,即,
即,解得,
所以,的面积为.
19．答案：（1）3；（2）；
解析：（1）因为向量，的夹角为，且，，
所以．
所以．
（2）．