第六章 立体几何初步 B卷能力提升（含解析）——2024-2025学年高一数学北师大2019必修第二册单元达标测试卷

第六章 立体几何初步 B卷 能力提升——2024-2025学年高一数学北师大2019必修第二册单元达标测试卷
一、选择题
1．正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则该四棱台的体积为( )
A. B. C. D.56
2．已知圆台的上底半径为3，下底半径为6，母线长为6，则以下结论错误的是( )
A.圆台侧面积为 B.圆台外接球的半径为6
C.圆台的体积为 D.圆台侧面上的点到下底圆心的最短距离为
3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
4．如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱,6个顶点
C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形
5．已知圆台的母线长为4,下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍,轴截面周长为16,则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
6．一圆台上、下底面的直径分别为4，12，高为10，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
7．已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
8．下列关于棱锥 棱台的说法正确的是( )
A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台
C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
二、多项选择题
9．如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题中正确的是( )
A. 两条异面直线和所成的角为
B. 直线与平面所成角等于
C.点C到面的距离为
D. 四面体的体积是
10．如图，四棱锥的底面是平行四边形，E，F分别是棱，的中点，下列说法正确的有( )
A.多面体是三棱柱
B.直线与互为异面直线
C.平面与平面的交线平行于
D.四棱锥和四棱锥的体积之比为
11．下列说法中不正确的是( )
A.正四棱柱一定是正方体
B.圆柱的母线和它的轴不一定平行
C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
三、填空题
12．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____________.
13．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为________.
14．已知圆台上底面半径为2，下底面半径为5，圆台的体积为，则圆台的侧面积为__________.
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，平面平面，，O为BD的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
16．正四棱台的高是17cm,两底面的边长分别是4cm和16cm,求这个棱台侧棱的长和斜高.
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,,,,,M,N分别为BC,PC的中点,,.
（1）证明:;
（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.
18．正方体中，M，N，Q，P分别是AB，BC，，的中点．
（1）证明：M，N，Q，P四点共面．
（2）证明：PQ，MN，DC三线共点．
参考答案
1．答案：A
解析：连接AC，，作平面ABCD，由正四棱台性质可知点E在AC上，
因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，
所以，
易知四边形为等腰梯形，所以，
所以，
因为上下底面面积分别为：，
所以四棱台的体积为.
故选：A
2．答案：C
解析：设圆台的上底半径为，下底半径为，母线长为l，高为h，
依题意得，，.
对于A，圆台的侧面积为，故A正确；
对于B，圆台的高，
记球心为O，设，球的半径为r，如图所示，
则，
即，，
所以，
解得，
所以球O的半径，故B正确；
对于C，上底面积，
下底面积，
所以圆台的体积为：
，故C错误；
对于D，由B知，下底圆心即为外接球球心，则圆台侧面上的点到下底圆心的最短距离为，故D正确；
故选：C.
3．答案：C
解析：对于选项A，若，，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若，，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；
对于C，若，，根据线面垂直的性质可得;故C正确；
对于D，若，，则或者；故D错误；故选C.
4．答案：D
解析：根据几何体直观图,得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体,
且有棱MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12条;
顶点是M,A,B,C,D和N共6个;
且有面MAB,面MBC,面MCD,面MDA,面NAB,面NBC,面NCD和面NDA共个,且每个面都是三角形.
所以选项A,B,C正确,选项D错误.
故选D.
5．答案：C
解析：设上底面圆的半径为r,则下底面圆的半径是,故轴截面周长为,解得,所以上、下底面圆的面积分别为,,圆台侧面积,
所以圆台的表面积为.
故选C项.
6．答案：D
解析：
如图，将圆台补形为圆锥，可得圆锥的底面半径为．
因为圆台的高为，
根据圆锥的性质可得,
所以圆锥的高，可得圆锥的母线长，
.
则该圆台的侧面积为．
故选：D
7．答案：C
解析：由题意可知该球为圆柱的外切球,所以球心为圆柱的中心,设球半径为r,
则,故该球的表面积为.
故选：C.
8．答案：D
解析：有一个面是多边形,其余各面是三角形,若其余各面没有一个共同的顶点,则不是棱锥,故A错误;
两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台,还要满足各侧棱的延长线交于一点,故B错误,D正确;
用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台,故C错误.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：建立如图所示空间直角坐标系,
对A：、、、,
则、,故,
故,即异面直线和所成的角为,故A错误;
对B：,由z轴平面,故平面法向量可为,
则,故直线与平面所成的角为,故B正确;
对C：,,,
设平面的法向量为,则有,
令,则,故,故C正确;
对D：易得四面体为正四面体,
则,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：BCD
解析：对于A，多面体中，由直线，得平面与平面不平行，
显然多面体中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误；
对于B，由E，F分别是棱，的中点，得，平面，平面，平面，，因此直线与互为异面直线，B正确；
对于C，由，平面，平面，则平面，令平面平面，而平面，则，C正确；
对于D，连接，，令四棱雉的体积为V，由E，F分别是棱，的中点，
得，，
因此四棱拸的体积，D正确.
故选：BCD
11．答案：ABD
解析：对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，
对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；
对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；
对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D错误.
故选：ABD.
12．答案：28
解析：方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.
方法二：由方法一可知，棱台的体积为.故答案为28.
13．答案：3
解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，高为h，则，，，所以，所以
14．答案：
15、
（1）答案：证明见解析
解析：因为，O为BD的中点，
所以，
又平面平面BCD，且平面平面，平面ABD，所以平面BCD，
又平面BCD，所以.
（2）答案：
解析：因为是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，
所以，
所以是直角三角形，且，，所以.
如图，过点E作，交BD于F，过点F作，垂足为G，连接EG.
因为平面BCD，
所以平面BCD.
又平面BCD，所以.
又，且，平面EFG，
所以平面EFG，
则为二面角的平面角，
所以，则.
因为，所以，，所以.
因为，，所以，
则，所以.
所以，所以，
所以.
16．答案：棱台的侧棱长为19cm,斜高为
解析：如图所示,设棱台的两底面的中心分别是和O,和BC的中点分别是和E,连接,,,OB,,OE,则四边形和都是直角梯形.
,,
,,,.
,
.
,.
即棱台的侧棱长为19cm,斜高为.
17．答案：证明见解析;
（2）
解析：（1）由题意知,,,
易得.
又,且,平面PDM,
所以平面PDM.
因为,所以平面PDM.
又平面PDM,所以.
（2）由（1）知平面PDM,所以为直线AN与平面PDM所成角的余角.
连接AM,因为,,
所以平面ABCD,所以.
因为,,,
所以由余弦定理得,
又,所以,
所以,
连接BN,结合余弦定理得.
连接AC,则由余弦定理得,
在中,结合余弦定理得,所以.
所以在中,.
设直线AN与平面PDM所成的角为,
则.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
解析：（1）连接，
Q，N分别为，BC的中点，且，
M，P分别为AB，的中点，且.
四边形为平行四边形，且
且M，N，P，Q，四点共面.
（2）由（1）知且
PQ，MN必交于一点.
，平面，平面.
，平面ABCD，平面ABCD.
又平面平面.
，即PQ，MN，DC三线共点.