6.6 简单几何体的再认识（含解析） 高一数学北师大版（2019）必修第二册同步课时训练

6.6 简单几何体的再认识 高一数学北师大版（2019）必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有( )
A.立方尺 B.立方尺 C.立方尺 D.立方尺
2．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为6，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
3．三棱锥中,是边长为3的正三角形,,．则三棱锥的体积最大为( )
A. B. C. D.
4．一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( )
A. B. C. D.
5．如图,网格纸中小正方形的边长为1,粗实线绘制的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
6．若球M与球N的表面积之差为,且球M与球N的半径之差为1,则这两个球的半径之和为( )
A.6 B. C.7 D.8
7．在正四棱台中,,,则该四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8．如图,这是一件西周晚期的青铜器,其盛酒的部分可近似视为一个圆台(设上、下底面的半径分别为a厘米,b厘米,高为c厘米),则该青铜器的容积约为( )(取)
A.立方厘米 B.立方厘米
C.立方厘米 D.立方厘米
二、多项选择题
9．如图，四边形ABCD为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
10．如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则( )
A.该圆台的体积为
B.直线SA与直线所成角最大值为
C.该圆台有内切球，且半径为
D.直线所成角正切值的最大值为
11．已知正方体的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱上运动，N在底面ABCD内(N可以在正方形ABCD边上运动，线段MN中点的轨迹为，与平面ABCD、平面和平面围成的区域内有一个小球，球心为O，则( )
A.球O半径的最大值为
B.被正方体侧面截得曲线的总长为
C.的面积为
D.与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为
12．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，点P与点B，D，E在同一平面内，则点到点P的距离可能为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题
13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____________.
14．如果两个球的表面积之比为,那么这两个球的体积之比为_______________.
15．已知一个正四棱锥的底面边长为1,高为,则该正四棱锥的表面积为__________.
16．已知三棱锥的体积为6,M是空间中一点,,则三棱锥的体积是___________.
四、解答题
17．已知正四棱台两底面边长分别为3和9.
（1）若侧棱所在直线与上、下底面的中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高h.
18．如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E、F、G、H分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形.
（1）当二面角从0°增加到90°的过程中，求线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；
（2）设，，且是以为底的等腰三角形，当为何值时，多面体的体积恰好为.
19．如图,直三棱柱内接于一个圆柱,,为底面圆的直条,圆柱的体积是,底面直径与圆柱的高相等.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)求三棱柱的体积.
20．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V（单位：cm）表示为x（单位：cm）的函数.
21．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是acm，求球的体积.
22．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺母共重5.8kg.如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，这堆螺母大约有多少个 (可用计算工具，取3.14)
参考答案
1．答案：D
解析：如图所示，
设圆台上底半径为，下底半径为，则，，
解得：，，
即：下底半径为5尺，上底半径为尺，
设，分别为上下底面面积，
所以圆台的体积为：立方尺.
故选：D.
2．答案：C
解析：该圆台的体积为.
3．答案：C
解析：因为,所以P在过C点且与BC垂直的平面上,
过A作l得垂线段交l于点,则,且,
因为,所以P点在以为底面圆心的圆周上,
如图,且,
由图可知P到底面ABC的最大高度为,
所以三棱锥体积最大值为：.
故选：C.
4．答案：A
解析：设正方体的棱长为a,球的半径为R,
由得,故
故答案为：A.
5．答案：D
解析：由三视图可知,该几何体由一个棱长为2的正方体和一个底面半径为,高为2的圆柱拼接而成,故该几何体的表面积为.
6．答案：C
解析：设球M与球N的半径分别为,,则,,即,所以.
7．答案：D
解析：过,作出截面如图所示,过点作,垂足为E,
因为正四棱台中,,,
所以,,,即梯形为等腰梯形,
所以,,
所以,该四棱台的体积为
故选：D.
8．答案：D
解析：该青铜器的容积约为立方厘米.
9．答案：CD
解析：如图，设，因为平面ABCD，，
则，，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，易得，又平面，平面ABCD，.又，，平面，平面BDEF，又，过F作于G，易得四边形BDGF为矩形，，，，，，，.，，则，则，，，故A，B错误，C，D正确.故选CD.
10．答案：ACD
解析：对于A选项，，则A选项正确.
对于B选项，如图（1），
过S作SD垂直于下底面于点D，则，
所以直线SA与直线所成角即为直线SA与直线SD所成角，
即为所求，而，
由圆的性质得，，
所以，因为，
则B选项错误.
对于C选项，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，
图（2）
梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质可得腰长为，所以圆台存在内切球，且内切球的半径为，则C选项正确；对于D选项，如图（3），
图（3）
平面即平面，过点A做交BC于点H，因为SD垂直于下底面，
而AH含于下底面，所以，又，所以平面，
所以直线与平面所成角即为，且.
设，则，
所以，
其中，所以，当时，，
当时，.
根据复合函数的单调性，可知函数，
在上单调递增，所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：连接DN，当M不在底面ABCD内时为直角三角形，所以MN中点到D的距离为1，所以MN中点的轨迹是以D为球心，1为半径的球面在正方体内部的部分，设球O半径最大值为r，当球O半径最大时，球O与平面ABCD、平面、平面和轨迹都相切，因为球D半径为1，两球的球心距离为，，所以，，所以A正确；
因为被正方体一个侧面截得曲线的长度是1为半径的圆的，所以被正方体侧面截得曲线的总长为，B正确；因为是半径为1的球面的，所以的面积为，C错误；
因为与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为球体积的，所以体积等于，D正确；故选：ABD.
12．答案：CD
解析：连接，因为E为的中点，则E也为的中点.
由题意，，且，故四边形为平行四边形，故，故.
又，，
故.
设点到平面BDE的距离为d，则，解得.
又点P与点B，D，E在同一平面内，则点到点P的距离大于等于.
选项中CD满足.
故选：CD.
13．答案：28
解析：方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.
方法二：由方法一可知，棱台的体积为.故答案为28.
14．答案：
解析：根据球的表面积公式,可求得两个球的半径之比为,
利用球的体积公式可得出两个球的体积比为
故答案为：.
15．答案：4
解析：如图,四棱锥为正四棱锥,高,底面边长,
过点O作于G,则G是中点,连接,于是斜高,
所以正四棱锥的表面积.
故答案为：4.
16．答案：4
解析：
17、
（1）答案：
解析：如图所示的正四棱台，设，O分别为上、下底面的中心，连接，，，过点作于点E，过点E作于点F，连接，则为正四棱台的斜高.
由题意知，四边形为矩形，
，.
又，
，
.
（2）答案：
解析：由题意，知棱台的两底面面积之和为.
设棱台的斜高为，则，
，.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1），
在平面上的投影满足，即A在平面上的投影在线段的中垂线上.
如图所示，将补成边长为2的正三角形，
当二面角为0°时，即点A在平面上，此时A为M，
当二面角为90°时，此时为中点N，
故在平面上的投影所扫过的平面区域为，
而，
故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为.
（2），，且为等腰三角形，
.
取中点O，连接，，，
由题意得：，，，
满足，根据勾股定理可知，
又，，平面，
平面.
，
而多面体的体积恰好为，
即多面体的体积恰为四面体体积的一半.
设点F到平面的距离为，点C到平面的距离为，
因为四边形为平行四边形，
所以，，
又平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以，
则，
所以，
则，
则，
又，
所以，
，
.
设点A到平面的距离为，
，
.
，
，
整理得，
解得：或.
又因为，所以.
19．答案：(1)
(2)2
解析：(1)设底面圆的直径为2r,
由题可知,圆柱的体积,解得,
因此圆柱的侧面积为;
(2)因为是等腰直角三角形,底面圆的半径为1,因此边长,
所以三棱柱的体积.
20．答案：
解析：由题意，得，，且四边形ABCD为正方形，
，
.
.
21．答案：
解析：正方体的棱长为acm，正方体的体对角线长为，
球的半径，.
22．答案：这堆螺帽大约有248个
解析：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即
.
所以螺帽的个数为（个）.
答：这堆螺帽大约有248个.