选择必修 第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）课件（22页ppt）

(共22张PPT)
选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握直线与圆的三种位置关系． 1.直观想象素养和逻辑推理素养.
2.能够利用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系. 2.逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养.
温故知新
1.圆的标准方程
.
2.圆的一般方程
圆心在原点的圆的标准方程
.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0）
圆心(，)
半径r=
知新引入
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.
前面我们学习了直线的方程、圆的方程，用直线的方程研究了两条直线的位置关系.
本节课我们类比用直线的方程研究两直线位置关系的方法，运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系.
知新探究
我们知道，
直线和圆相交
直线和圆相切
直线和圆相离
2个公共点
1个公共点
没有公共点
dd=r
d>r
新知探究
根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
利用前面回顾的初中知识，类比用方程研究两条直线位置关系的方法.
1.交点个数；
2.方程组解的个数；
3.圆心到直线的距离与半径的关系
知新探究
【例1】已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解：
方法1：联立直线与圆的方程，得
，
∴直线l与圆C相交，有两个公共点.
把x1=2，x2=1分别代入方程①，得y1=0，y2=3.
消去y，得x2－3x＋2=0，解得x1=2，x2=1,
分析：思路1:将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
∴直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3).
因此|AB|==.
代数法
联立方程组
消元得一元二次方程
求根，判断直线与圆的位置关系
知新探究
【例1】已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解：
方法2：圆C的方程x2＋y2－2y－4=0可化为x2＋(y－1)2=5，
因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，圆心C (0，1)到直线l的距离
∴直线l与圆C相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理，得|AB|=.
d=,
分析：思路2:依据圆心到直线的距高与半径的关系，判断直线与圆的位置关系：若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
几何法
确定圆心和半径
计算圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小.
知新探究
判断直线与圆的位置关系方法1：
通过上述解法我们发现
直线l：Ax＋By＋C=0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2= r2的位置关系，可以联立它们的方程组解的个数，
进而得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系，若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
代数法
代数法的基本步骤：
联立方程组
消元(消x或y)
计算△(或直接求根)
判断符号(或根的个数)
得出结论
知新探究
判断直线与圆的位置关系方法2
根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
几何法
几何法的基本步骤：
求圆心坐标和半径r
计算弦心距d
比较d，r
得出结论．
适当的利用已知图形的性质，有助于简化计算.
与初中的方法比较，你认为用方程判定直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？
点睛：几何法更为简洁和常用.
初试身手
1.已知直线与圆直线与圆⑴相交；⑵相切；⑶相离.分别求实数的取值范围？
解：
方法1：直线可化为x=my-3,
将代入圆的方程，得 ,
⑵若相切，则直线与圆有1个交点，△=0，所以；
⑴若相交，则直线与圆有2个交点，△>0，所以；
⑶若相离，则直线与圆没有交点，△<0，所以.
整理，得 ,
△=,
初试身手
1.已知直线与圆直线与圆⑴相交；⑵相切；⑶相离.分别求实数的取值范围？
解：
方法2：圆的方程化为标准形式为，半径为.
圆心到直线的距离为，
⑵若相切，则，即，所以；
⑴若相交，则，即，所以；
⑶若相离，则，即，所以.
知新探究
【例2】过点P(2，1)作圆O：x2＋y2=1的切线l，求切线l的方程.
解：
方法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1=k(x－2)，即kx－y＋1－2k=0.
由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
，
分析：如图，容易知道，点P(2，1)位于圆O：x2＋y2=1外，经过圆外一点有两条直线与圆相切，我们设切线方程为y－1=k(x－2)，k为切线l的斜率，由直线与圆相切求出k的值.
解得k=0或,
因此，所求切线l的方程为y=1，或4x－3y－5=0.
知新探究
【例2】过点P(2，1)作圆O：x2＋y2=1的切线l，求切线l的方程.
解：
方法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1=k(x－2).
因为直切线l与圆C相切，所以方程组只有一组解.
消元，得
(k2＋1) x2 ＋(2k－4k2)x＋4k2－4k=0 ①
因此，所求切线l的方程为y=1，或4x－3y－5=0.
因为方程①只有一个解，所以
Δ=4k2 (1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)=0，
解得k=0或,
初试身手
方法1：设直线的方程为，即，
的圆心坐标为，半径为.
2.求与直线平行且与圆相切的直线的方程.
由，得，
所以直线的方程为.
解：
初试身手
方法2：设切线的方程为，
将，得
2.求与直线平行且与圆相切的直线的方程.
，
化简整理，得 2x2+2(m-5)x+m2-6m+5=0,
解：
∴Δ=,
解得，
所以直线的方程为.
初试身手
解：
∵圆C:x2+y2=25的圆心为(0,0),半径为5,
而直线l交圆C的弦长为4,
则直线l的方程2x-y-5=0或x-2y+5=0．
∴圆心为(0,0)到直线l的距离,
3.直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A,B两点,截得的弦长为4,求直线l的方程.
设直线l的方程为y-5=k(x-5)，即kx-y-5k+5=0,
则,
解得k=2或k=,
课堂小结
直线与圆的位置关系及判断：
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式
作业布置
作业： P93 练习 第3题
P98 习题2.5 第1，2,3题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin