(共18张PPT)
1. 如图，已知AC＝AD，再添加一个条件仍不能判定△ABC≌△ABD的
是( B )
A. BC＝BD
B. ∠ABC＝∠ABD
C. ∠C＝∠D＝90°
D. ∠BAC＝∠BAD
B
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2. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E. 若PE＝
10，则点P到AB的距离是( C )
A. 15 B. 12 C. 10 D. 5
3. 如图，若AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠A＝65°，∠C＝
85°，则∠E的度数是( A )
A. 30° B. 40°
C. 65° D. 85°
C
A
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4. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点.若AB＝12cm，CF＝7cm，则
BD的长为( B )
A. 4.5cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm
B
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5. 如图，点C，F在AD上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF. 求证：
AB∥DE.
证明：∵AF＝DC，
∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠A＝∠D，∴AB∥DE.
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证明：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
在△ACB和△CDE中，
∴△ACB≌△CDE(ASA)，∴AC＝CD.
6. 如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，∠ACB
＝∠CDE，BC＝ED. 求证：AC＝CD.
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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB.
(1)若∠B＝30°，求∠CAD的度数；
(1)解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝ ∠CAB＝ ×60°＝30°.
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(2)延长AC至点E，使CE＝AC，求证：DA＝DE.
(2)证明：在△ACD和△ECD中
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴DA＝DE.
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8. 如图，在△BAC和△CDB中，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D＝
90°，AC＝DB.
(1)求证：△BAC≌△CDB.
(1)证明：∵∠A＝∠D＝90°，
在Rt△BAC和Rt△CDB中，
∴Rt△BAC≌Rt△CDB(HL)；
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(2)若∠ACB＝35°，求∠AOB的度数.
(2)解：由(1)得Rt△BAC≌Rt△CDB，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴∠AOB＝∠DBC＋∠ACB＝35°＋35°＝70°.
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9. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，
PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N. 求证：PM＝PN.
证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD为∠ADC的平分线.
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
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10. 如图，已知点D，E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝
AC，AD＝AE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(1)证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE－∠DAE＝∠CAD－∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
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(2)延长BD，CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求
∠BFC的度数.
(2)解：如图，延长BF交AC于点G，
∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝20°，
∵∠BGC＝∠ABD＋∠BAC，
∴∠BFC＝∠BGC＋∠ACE＝∠ABD＋∠BAC＋∠ACE
＝20°＋86°＋20°＝126°.
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11. 如图，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，AG⊥BD，
AF⊥CE，垂足分别为G，F，且AG＝AF. 求证：∠B＝∠C.
证明：∵AG⊥BD，AF⊥CE，
∴∠AGB＝∠AFC＝90°，
在Rt△AGB和Rt△AFC中，
∴Rt△AGB≌Rt△AFC(HL)，
∴∠B＝∠C.
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12. 课间，小明拿着老师的等腰直角三角板(其中，∠ACB＝90°，AC
＝BC)玩，不小心掉到两墙之间，如图.
求证：(1)△ADC≌△CEB；
证明：(1)∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°
∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠ECB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，由题意，得：AC＝CB，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS).
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证明：(2)由(1)得△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CD＋CE＝BE＋AD.
求证： (2)DE＝BE＋AD.
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13. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点
E，过点A作AF∥BC交CE的延长线交于点F，连接DF交AB于点G.
(1)求证：AF＝DC；
证明：(1)∵AF∥DC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF＝DC.
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证明：(2)由(1)得AF＝DC，又BD＝CD，∴AF＝BD.
∵AF∥DC，
∴∠AFG＝∠BDG，∠FAG＝∠DBG，
在△AFG和△BDG中，
∴△AFG≌△BDG(AAS)，
∴AG＝BG.
(2)若BD＝CD，求证：AG＝BG.
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课前预习
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课堂学练
12.2 三角形全等的判定(3)
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分层检测
1. 三角形全等的判定(3)： 分别相等的两个三角形
全等(ASA).
2. 三角形全等的判定(4)：两角和其中一个角的 分别相等的两个
三角形全等(AAS).
两角和它们的夹边
对边
知识点1：“角边角”定理
1. 【例】如图，AB平分∠CAD，∠CBA＝∠DBA. 求证：
△ABC≌△ABD.
证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(ASA).
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证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(ASA).
2. 如图，AD⊥BC于点D，AD平分∠BAC.
求证：△ABD≌△ACD.
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3. 【例】如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，
AC∥DF，BC＝EF.
求证：AB＝DE.
证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA).∴AB＝DE.
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4. 如图，E，F为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝CF. 求证：
AD＝CB.
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(ASA).∴AD＝CB.
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知识点2：“角角边”定理
5. 【例】如图，点E，F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝
∠C. 求证：AB＝CD.
证明：∵BE＝DF，
∴BE＋EF＝DF＋EF，
即BF＝DE，
∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
∴AB＝CD.
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6. 如图，点C，D在线段AE上，AD＝CE，∠B＝∠F， AB∥EF.
求证：(1)△ABC≌△EFD.
证明：(1)∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E，
∵AD＝CE，
∴AD－CD＝CE－CD，
∴AC＝ED.
在△ABC和△EFD中，
∴△ABC≌△EFD(AAS).
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证明：(2)由(1)得△ABC≌△EFD，
∴∠ACB＝∠EDF，
∵∠ACB＋∠BCD＝180°，∠EDF＋∠FDC＝180°，
∴∠BCD＝∠FDC，∴BC∥DF.
求证： (2)BC∥DF.
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A基础
7. 如图，AB＝AD，∠1＝∠2，∠B＝∠D. 求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(ASA).
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8. 如图，B，C，E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠B＝
∠D.
求证：AB＝CD.
证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(AAS)，
∴AB＝CD.
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证明：∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠BAC＝∠EDF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴BC＝EF.
B提升
9. 如图，BC∥EF，AC∥DF， AC＝DF. 求证：BC＝EF.
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证明：∵AF＝CE，
∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵DF∥BE，∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AB＝CD.
10. 如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，DF∥BE，AF
＝CE. 求证：AB＝CD.
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C培优
11. 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，交CD于
点E，过E作EF∥BC，交AB于点F. 求证：△ACE≌△AEF.
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证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
又∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠B，∴∠ACE＝∠AFE，
∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠FAE，
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE(AAS).
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证明：(1)∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°.
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
在△BCE和△CAD中，
∴△BCE≌△CAD(AAS)；
12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，
BE⊥CE，垂足分别为点D，E.
求证：(1)△BCE≌△CAD；
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(2)AD＝BE＋DE.
证明：(2)由(1)得△BCE≌△CAD，
∴BE＝CD，CE＝AD，
∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE.
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感谢聆听(共18张PPT)
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课前预习
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课堂学练
12.1 全等三角形
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分层检测
1. 全等三角形：能够 的两个三角形.
2. 全等的表示方法：如右图，△ABC和△DEF全等，记
作 .
3. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，全等三角形的对
应角 .
完全重合
△ABC≌△DEF
相等
相等
知识点1：全等三角形的相关概念
1. 【例】如图，△ABC绕点A旋转与△ADE完全重合，则：
(1)△ABC≌ ；
(2)点B的对应点是 ；
(3)AC的对应边是 ；
(4)∠C的对应角是 .
△ADE
点D
AE
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2. 如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC完全重合，则：
(1)△ABC≌ ；
(2)点B的对应点是 ；
(3)AB的对应边是 ；
(4)∠ACB的对应角是 .
△ADC
点D
AD
∠ACD
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知识点2：全等三角形的性质
3. 【例】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，△ABC≌△DEF.
求证：(1)AB∥DE；
证明：(1)∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE.
(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，
∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.
(2)BE＝CF.
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4. 如图，A，B，C，D四点在同一直线上，且△ABF≌△DCE.
求证：(1)AF∥DE；
证明：(1)∵△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D，∴AF∥DE.
(2)∵△ABF≌△DCE，
∴AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
(2)AC＝BD.
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5. 【例】 如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC.
求证： (1)∠ACB＝∠DCE；
证明：(1)∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE.
(2)由(1)得∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，
即∠1＝∠2.
(2)∠1＝∠2.
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6. 如图，△ABC≌△ADE，求证：(1)∠BAC＝∠DAE；
证明：(1)∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE.
(2)∠BAD＝∠CAE.
(2)由(1)得∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
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A基础
7. 如图，已知△ABC≌△EFG，则∠α等于( A )
A. 72° B. 60° C. 58° D. 50°
A
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8. 如图，△OCA≌△OBD，AO＝3，CO＝2，则AB的长为( D )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
D
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B提升
9. 如图，已知△ABC≌△FED.
求证：(1)AC∥DF；
证明：(1)∵△ABC≌△FED，
∴∠A＝∠F. ∴AC∥DF.
(2)∵△ABC≌△FED，∴AB＝EF.
∴AB－EB＝EF－EB. 即AE＝FB.
(2)AE＝FB.
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10. 如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，
AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°.
(1)求AE的长度；
解：(1)∵△ABC≌△DEB，∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB－BE＝6－3＝3.
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(2)求∠AED的度数.
解：(2)∵△ABC≌△DEB，
∴∠A＝∠D＝25°，∠DBE＝∠C＝55°，
∴∠AED＝∠DBE＋∠D＝55°＋25°＝80°.
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C培优
11. 如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点M，交DE于
点F. 若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的
度数.
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解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，
∴∠DAE＝180°－∠D－∠AED＝180°－25°－105°＝50°，
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝25°，∠BAC＝∠DAE＝50°，
又∵∠DAC＝10°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝50°＋10°＝60°，
∴∠AMF＝∠BAD＋∠B＝60°＋25°＝85°，
∴∠DFB＝∠AMF－∠D＝85°－25°＝60°.
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12. 如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且
△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm.
(1)求DE的长；
(1)解：∵△ABD≌△EBC，
∴BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm，
∴DE＝BD－BE＝3－2＝1cm.
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(2)求证：CE⊥AD.
(2)证明：延长CE交AD于点F，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC＝ ×180°＝90°，∠D＝∠C，
在Rt△ABD中，∠A＋∠D＝90°，
∴∠A＋∠C＝90°，∴∠AFC＝90°，
即CE⊥AD.
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感谢聆听(共17张PPT)
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课前预习
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课堂学练
12.2 三角形全等的判定(2)
3
分层检测
三角形全等的判定(2)： 分别相等的两个三角形全
等(SAS).
几何语言：
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
两边和它们的夹角
知识点：“边角边”定理
1. 【例】如图，OA＝OD，OB＝OC.
求证：△OAB≌△ODC.
证明：在△OAB和△ODC中，
∴△OAB≌△ODC(SAS).
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2. 如图，AD，BC相交于点O，OA＝OC，OB＝OD. 求证：
△OAB≌△OCD.
证明：在△OAB和△OCD中，
∴△OAB≌△OCD(SAS).
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3. 【例】如图，AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AE. 求证：BD＝CE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE.
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4. 如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2.
求证：AE＝CF.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠FBE＝∠2＋∠FBE，
即∠ABE＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴AE＝CF.
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5. 【例】如图，AC∥DF，AC＝DF，AB＝DE.
求证：BC∥EF.
证明：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠FDE，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ABC＝∠E，
∴BC∥EF.
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6. 如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥CB，AD＝CB，
AF＝CE.
求证：DF∥BE.
证明：∵AD∥CB，
∴∠A＝∠C，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS).
∴∠1＝∠2，∴DF∥BE.
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A基础
7. 如图，AC平分∠BAD，AB＝AD.
求证：△ABC≌△ADC.
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SAS).
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8. 如图，AB＝AC，AD＝AE.
求证：△ABE≌△ACD.
证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS).
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B提升
9. 如图，点A，D，C在同一条直线上，AB∥CE，AC＝CE，AB＝
CD.
求证：BC＝DE.
证明：∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ECD.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(SAS).∴BC＝DE.
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证明：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°，
∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC＝DF.
10. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AB
＝DE，BE＝CF.
求证：AC＝DF.
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证明：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°.
在△ADC和△BDF中，
∴△ADC≌△BDF(SAS)
C培优
11. 如图，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，BE交AD于点F，AD＝
BD，CD＝FD. 求证：(1)△ADC≌△BDF；
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证明：(2)∵由(1)得△ADC≌△BDF，
∴∠FBD＝∠CAD，
∵AD⊥BC，∴∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠FBD＋∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC.
求证：(2)BE⊥AC.
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12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AC＝AD，
AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G.
求证：(1)∠ACF＝∠ADF；
证明：(1)∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF.
在△ACF和△ADF中，
∴△ACF≌△ADF(SAS).
∴∠ACF＝∠ADF.
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证明：(2)∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACF＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
由(1)得∠ACF＝∠ADF，∴∠ADF＝∠B，
∴DG∥BC.
求证： (2)DG∥BC.
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感谢聆听(共18张PPT)
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课前预习
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课堂学练
12.2 三角形全等的判定(4)
3
分层检测
三角形全等的判定(5)： 分别相等的两个直角三角
形全等(HL).
几何语言：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).
斜边和一条直角边
知识点：“斜边、直角边”定理
1. 【例】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.
求证：BC＝AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC＝AD.
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2. 如图，点M是BC的中点，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E，
F，ME＝MF.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵点M是BC的中点，
∴MB＝MC，
又∵ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠BEM＝∠CFM＝90°
在Rt△BEM和Rt△CFM中，
∴Rt△BEM≌Rt△CFM(HL).
∴∠B＝∠C.
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3. 【例】如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC＝
CE，BC＝DE.
求证：(1)∠ACB＝∠CED；
证明：(1)∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL).
∴∠ACB＝∠CED.
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证明：(2)由(1)得∠ACB＝∠CED，
∵∠CED＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°，
∵∠ACB＋∠ECD＋∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°，∴AC⊥CE.
求证：(2)AC⊥CE.
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4. 如图，EA＝AB，AD＝BC， BC⊥AC于点C， DE⊥AC于点D.
求证：(1)∠AED＝∠BAC；
证明：(1)∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠BCA＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BCA中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCA(HL)，
∴∠AED＝∠BAC；
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证明：(2)由(1)得∠BAC＝∠AED，
∵∠AED＋∠EAD＝90°，
∴∠BAC＋∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝90°，即AE⊥AB.
求证：(2)AE⊥AB.
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A基础
5. 如图，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，则
△APB≌△APC的理由是( C )
A. SAS B. ASA C. HL D. AAS
C
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6. 如图，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝AD.
求证：AC平分∠BAD.
证明：∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴AC平分∠BAD.
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7. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，AC
＝DF，BF＝CE.
求证：AB＝DE.
证明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°，
∵BF＝CE，
∴BF＋CF＝CE＋CF，
即BC＝EF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，∴AB＝DE.
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B提升
8. 如图， AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，AB＝DC，AE＝DF. 求
证：BF＝CE.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，∴BE＝CF，
∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE.
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9. 如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝CB，AF＝CE. 求证：
AD∥BC.
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠DAE＝∠BCF，∴AD∥BC.
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C培优
10. 如图，点E在AF上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点D，AB＝
CD，AF＝CE.
求证：(1)∠A＝∠C；
证明：(1)∵AB⊥BD，DE⊥CF，
∴∠ABF＝∠CDE＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴∠A＝∠C.
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证明：(2)由(1)得∠A＝∠C.
∵∠A＋∠F＝90°，
∴∠C＋∠F＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∴CE⊥AF.
求证：(2)CE⊥AF.
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11. 如图，∠B＝∠C＝90°，AB＝AC，AN＝AM.
求证：(1)BN＝CM；
证明：(1)在Rt△ABN和Rt△ACM中，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM(HL)，
∴BN＝CM.
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证明：(2)由(1)得△ABN≌△ACM，
∴∠BAN＝∠CAM，
∴∠BAN－∠MAN＝∠CAM－∠MAN，
即∠1＝∠2，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，∴AD＝AE.
求证： (2)AD＝AE.
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感谢聆听(共15张PPT)
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课前预习
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课堂学练
12.2 三角形全等的判定(1)
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分层检测
三角形全等的判定(1)： 的两个三角形全等(SSS).
几何语言：
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
三边分别相等
知识点：“边边边”定理
1. 【例】在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC
中点D的支架.
求证：△ABD≌△ACD.
证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
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2. 如图，AB＝AC，BD＝CD. 求证：△ABD≌△ACD.
证明：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
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3. 【例】如图，点E，F在CD上，且AC＝BD，AE＝BF，CF＝DE.
求证：(1)△AEC≌△BFD；
证明：(1)∵CF＝DE，
∴CF＋EF＝DE＋EF，
即CE＝DF.
在△AEC和△BFD中，
∴△AEC≌△BFD(SSS).
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证明：(2)由(1)得△AEC≌△BFD，
∴∠C＝∠D，
∴AC∥BD.
求证：(2)AC∥BD.
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4. 如图，点B，E在CF上，且AC＝DF，AB＝DE，CE＝FB. 求证：
AC∥DF.
证明：∵CE＝FB，
∴CE－BE＝FB－BE，
即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠C＝∠F，∴AC∥DF.
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A基础
5. 如图，点C是AE的中点，AB＝CD，BC＝DE. 求证：
△ABC≌△CDE.
证明：∵C是AE的中点，
∴AC＝CE，
在△ABC与△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(SSS).
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6. 如图，AC＝BD，BC＝AD. 求证：∠C＝∠D.
证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(SSS)，
∴∠C＝∠D.
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B提升
7. 如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE. 求证：∠BAC＝∠EAD.
证明：∵BD＝CE，
∴BD－CD＝CE－CD，
∴即BC＝ED，
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SSS).
∴∠BAC＝∠EAD.
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8. 如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，
CE＝DF.
求证：DF∥EC.
证明：∵AD＝BC，
∴AD＋CD＝BC＋CD，
∴AC＝BD，
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF(SSS)，
∴∠ACE＝∠BDF，
∴DF∥EC.
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C培优
9. 如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(1)证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SSS)；
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(2)若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.
(2)解：由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1＋∠ABD＝25°＋30°＝55°.
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10. 如图，AB＝CD，BC＝DA.
求证：∠E＝∠DCE.
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，∴∠E＝∠DCE.
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感谢聆听(共19张PPT)
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课前预习
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课堂学练
12.3 角的平分线的性质(2)
3
分层检测
角平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在
.
几何语言：
∵ ，∴OP平分∠AOB.
角的平分线
上
PA⊥OA PB⊥OB PA＝PB.
知识点1：角平分线的判定
1. 【例】如图，PA⊥ON，PB⊥OM，垂足分别为A，B. 若PA＝
PB，∠MON＝50°，则∠POB＝( B )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
B
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2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，CD＝DE，
∠CBD＝26°，则∠A的度数为( D )
A. 40° B. 34° C. 36° D. 38°
D
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证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
3. 【例】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，
DF⊥AC于点F，且∠B＝∠C.
求证：AD平分∠BAC.
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证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BFD和△CED中，
∴△BFD≌△CED(AAS)，
∴DF＝DE，又∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
4. 如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，
BD＝CD.
求证：AD平分∠BAC.
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知识点2： 角的平分线判定定理的应用
5. 【例】如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家
休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( B )
A. 三条中线的交点
B. 三条角平分线的交点
C. 三条高线的交点
D. 无法确定
B
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6. 三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域.如果在这
个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那
么这个集贸市场应建在( C )
A. 三条高线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 无法确定
C
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A基础
7. 如图，PM⊥OA，PN⊥OB， PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB
的度数为( C )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 50°
C
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8. 如图，PM⊥OA，PN⊥OB， PM＝PN，PD∥OA，∠AOB＝
40°，则∠OPD的度数( B )
A. 15° B. 20°
C. 25° D. 30°
B
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9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点
E，且DE＝DC.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(1)证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴BD平分∠ABC.
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(2)若∠A＝36°，求∠DBC的度数.
(2)解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝54°，
由(1)得BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝27°.
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B提升
10. 如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC.
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11. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且
PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：PE＝PF；
(1)证明：过点P作PD⊥BC于点D，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，
且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
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(2)若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数.
(2)解：由(1)得PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，∵∠BAC＝60°，
∴∠EAP＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°.
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C培优
12. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AO，CO相交于点O. 求证：OB平分
∠ABC.
证明：作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴OA是∠DAC的平分线，OC是∠ACF的平分线，
∴OD＝OE，OE＝OF，
∴OD＝OF，∴OB平分∠ABC.
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13. 如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠DAB.
(1)证明：过点M作ME⊥AD于点E，
∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴MC＝ME，
∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝ME，
∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB.
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(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系，并证明你的结论.
(2)解：AM⊥DM，证明：∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥DC，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD＝ ∠BAD，∠MDA＝ ∠ADC，
∴∠MAD＋∠MDA＝ ∠BAD＋ ∠ADC＝ (∠BAD＋∠ADC)
＝ ×180°＝90°，
∴∠AMD＝90°，∴AM⊥DM.
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感谢聆听(共25张PPT)
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课堂学练
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分层检测
微专题1 三角形全等的判定与性质
类型1：与三角形全等有关的证明及计算
1. 【例】如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，
∠ACD＝∠B.
(1)求证：△ABC≌△CDE；
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(1)证明：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E，
又∵∠ACD＝∠B，
∴∠B＝∠D，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE(AAS)；
(2)若∠A＝55°，求∠BCD的度数.
(2)解：∵△ABC≌△CDE，
∴∠A＝∠DCE＝55°，
∴∠BCD＝180°－∠DCE＝180°－55°＝125°.
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(1)证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
∴△ABC≌△DCE(SAS)；
2. 如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作
CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G.
(1)求证：△ABC≌△DCE；
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(2)若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠ACD的度数.
(2)解：由(1)得△ABC≌△DCE，
∴∠A＝∠D＝22°，又∠B＝50°，
∴∠ACD＝∠A＋∠B＝22°＋50°＝72°.
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类型2：利用三角形全等证明两直线垂直
3. 【例】如图，BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的高，且BP＝
CA，AB＝QC.
求证：(1)△ABP≌△QCA；
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证明：(1)∵AC⊥BE，AB⊥QC，
∴∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠ABP＋∠BAE＝90°，
∠QCA＋∠BAE＝90°
∴∠ABP＝∠QCA，
在△ABP和△QCA中，
∴△ABP≌△QCA(SAS).
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证明：(2)由(1)得△ABP≌△QCA，
∴∠FQA＝∠PAF，又AB⊥QC，
∴∠QFA＝90°，∴∠FQA＋∠FAQ＝90°，
∴∠FAQ＋∠PAF＝90°，即∠PAQ＝90°，
∴AP⊥AQ.
求证： (2)AP⊥AQ.
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4. 如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，
BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
求证：(1)AE＝CD；
证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.
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证明：(2)由(1)得△ABE≌△CBD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠ABC＝90°，∴∠BAE＋∠ANB＝90°，
又∠ANB＝∠CNM，∴∠BCD＋∠CNM＝90°，
∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD.
求证：(2)AE⊥CD.
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类型3：利用三角形全等证明线段的和差
5. 【例】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，直线l经过点
C， AD⊥l于点D，BE⊥l于点E， 连接AB交直线l于点F. 求证：
(1)△ACD ≌△CBE；
证明：(1)∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(AAS).
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证明：(2)由(1)得△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE.
求证： (2)AD＝BE＋DE.
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A基础
6. 如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于点A，CD⊥BD于点D，
AC＝BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(1)证明：∵BA⊥CA，CD⊥BD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)
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(2)若∠OBC＝30°，求∠AOB的度数.
(2)解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC＝30°，
∴∠AOB＝∠DBC＋∠ACB＝30°＋30°＝60°.
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7. 如图，AB＝DC，AB∥CD，E，F是AC上两点，且AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
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(2)若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数.
(2)解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE＋∠CBE＝30°＋70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°.
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B提升
8. 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，BE⊥AC， AB＝BD. 求证：
(1)△ABC≌△BDE；
证明：(1)∵BE⊥AC，
∴∠A＋∠ABE＝90°，
∵AB⊥BD，∴∠ABC＝90°，
∴∠DBE＋∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠DBE，又∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(ASA)；
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证明：(2)由(1)证得，△ABC≌△BDE，
∴AB＝BD，BC＝DE，
∵BD＝CD＋BC，
∴AB＝CD＋DE.
求证：(2)AB＝DE＋CD.
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(1)证明：∵AC⊥DB，EF⊥DB，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
又∵DE⊥AB，∴∠A＋∠B＝90°，
∠D＋∠B＝90°，∴∠A＝∠D.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
9. 如图，AC⊥DB于点C，EF⊥DB于点F， DE⊥AB，AB＝DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
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(2)若AC＝11，EF＝6，CF＝4，求BD的长.
(2)解：由(1)得△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，BC＝EF，
∵AC＝11，EF＝6，∴DF＝11，BC＝6，
∵CF＝4，∴DC＝DF－CF＝11－4＝7，
∴BD＝DC＋BC＝7＋6＝13.
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C培优
10. 如图，AD∥BC，E是CD上一点，BE与AD的延长线相交于点F，
且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：(1)△ABE≌△AFE；
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠2＝∠F，
又∠1＝∠2，∴∠1＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
∴△ABE≌△AFE(AAS).
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证明：(2)由(1)得△ABE≌△AFE，∴BE＝EF，
由(1)得∠2＝∠F
在△BCE和△FDE中，
∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴BC＝DF，
∴AD＋BC＝AD＋DF＝AF＝AB，即AD＋BC＝AB.
求证： (2)AD＋BC＝AB.
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证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，
即∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.
11. 如图，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB， BD＝BE.
求证：(1)AD＝CE；
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证明：(2)延长AD分别交BC和CE于点G和F，
由(1)得△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠ABG＝90°，∴∠BAD＋∠AGB＝90°，
又∠AGB＝∠CGF，∴∠BCE＋∠CGF＝90°.
∴∠CFG＝90°，∴AD⊥CE.
求证： (2)AD⊥CE.
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感谢聆听(共17张PPT)
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课前预习
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课堂学练
12.3 角的平分线的性质(1)
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分层检测
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的 相等.
几何语言：∵ ，
∴ .
距离
OP平分∠AOB PD⊥OA PE⊥OB
PD＝
PE
知识点：角的平分线的性质
1. 【例】如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，垂足分别为
A，B. 若PA＝3，则PB＝( B )
A. 2 B. 3 C. 1.5 D. 2.5
B
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2. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，
DE⊥AC，垂足为E. 若BD＝6，则DE的长为( D )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
D
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3. 【例】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线.若
CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是( A )
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
4. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点
E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是( A )
A. 4 B. 2
C. 8 D. 6
A
A
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证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠C.
5. 【例】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，D是BC的中点. 求证：∠B＝∠C.
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证明：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝ED，
∠C＝∠DEB＝90°，
在△ACD与△BED中，
∴△ACD≌△BED(SAS)，∴AD＝BD.
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB
于点E，AC＝BE. 求证：AD＝BD.
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A基础
7. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D. 若PD
＝2，则点P到边OA的距离是 .
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8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E.
如果DE＝3cm，BD＝4cm，那么BC＝ cm.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.
若AB＝10，CD＝3，则S△ABD＝ .
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10. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线.若S△ABD∶S△ACD＝
3∶2，则AB∶AC＝ .
3∶2
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C培优
11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点
E，点F在AC上，BE＝FC. 求证：BD＝FD.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，∠C＝∠BED＝90°，
在△DCF和△DEB中，
∴△DCF≌△DEB(SAS)，∴BD＝FD.
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解：∵AB＝6，S△ABD＝12，∴ ×AB×DE＝12，
∴DE＝4，
∵BD平分∠ABC，
DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝4.
12. 如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于
点F，AB＝6.若S△ABD＝12，求DF的长.
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C培优
13. 如图，已知△ABC的周长为24，OB，OC分别平分∠ABC，
∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2.求△ABC的面积.
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解：连接OA，作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，
OF⊥AC，∴OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积
＝ AB·OE＋ AC·OF＋ CB·OD
＝ ×(AB＋AC＋BC)×2＝ ×24×2＝24.
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14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于点E，F在AC上，且BD＝DF.
求证：(1)CF＝EB；
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，在Rt△FCD和Rt△BED中，
∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL)，∴CF＝EB.
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证明：(2)在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC＝AE，由(1)得CF＝EB.
∴AB＝AE＋EB＝AC＋CF.
求证： (2)AB＝AC＋CF.
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感谢聆听
