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课前预习
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课堂学练
13.1.2 线段的垂直平分线的性质(1)
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分层检测
1. 定义：经过线段的 并且 于这条线段的直线，叫做这
条线段的垂直平分线.
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .
几何语言：
∵CD垂直平分AB，∴ .
中点
垂直
相等
PA＝PB
3. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
.
几何语言：∵ ，∴点P在AB的垂直平分线上.
垂直平分
线上
PA＝PB
知识点1：线段的垂直平分线的性质
1. 【例】如图，CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
PA＝3cm，则PB＝( D )
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
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2. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，
BE＝7，则CE的长是( C )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
C
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3. 【例】如图，若AC＝12，BC＝7，AB的垂直平分线交AB于点E，
交AC于点D，求△BCD的周长.
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，
∵AC＝AD＋CD＝12，
∴BD＋CD＝12，
∵BC＝7，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝19.
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4. 如图，AB的垂直平分线DE交AC于点D. 若△DBC的周长等于
9cm，BC＝4cm，求AC的长.
解：∵△DBC的周长为9，
∴BC＋CD＋DB＝9，
又BC＝4，∴CD＋DB＝5，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴CD＋DA＝5，即AC＝5(cm)
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证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∵DC＝DB，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC.
知识点2：线段垂直平分线的判定
5. 【例】如图，AC＝AB，DC＝DB，AD与BC相交于点O. 求证：
AD垂直平分BC.
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6. 如图，AB＝AD， ∠BAC＝∠DAC.
求证：(1)△ABC≌△ADC；
证明：(1)在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SAS).
(2)由(1)得△ABC≌△ADC，∴CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∵AB＝AD，∴点A在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD.
(2)AC垂直平分BD.
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A基础
7. 如图，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，AC＝6，
BC＝4，则△BCD的周长是( D )
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
D
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8. 如图，直线AD是线段BC的垂直平分线.
求证：∠ABD＝∠ACD.
证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，DB＝DC.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠ABD＝∠ACD.
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B提升
9. 如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，∠ADC＝∠BCE，CF垂直
平分DE. 求证：AD＝BC.
证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
∵CF垂直平分DE，
∴CD＝CE.
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC(AAS)；
∴AD＝BC.
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10. 如图，AD与BC相交于点O，AB，CD的延长线相交于点E，OA
＝OC，∠A＝∠C.
(1)求证：AB＝CD；
证明：(1)在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB＝CD.
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(2)若BE＝DE，求证：OE垂直平分BD.
证明：(2)由(1)得△AOB≌△COD，
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
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C培优
11. 如图，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，
且BD＝DE，连接AE.
(1)求证：AB＝EC；
(1)证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，∴AB＝EC.
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(2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长.
(2)解：∵△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，
∴AB＋BC＝8(cm)，∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC＝DE＋EC＝ BE＋EC
＝ (BC－EC)＋EC
＝ (BC＋EC)＝ (AB＋BC)＝4(cm).
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(1)证明：如图，连结CD，
∵DG垂直平分BC，∴BD＝CD
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
DF⊥AC，∴DE＝DF，
∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE＝CF.
12. 如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：BE＝CF；
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(2)若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长.
(2)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE＝AF＝6，又由(1)得BE＝CF
∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AE＋BE
＋BC＋AF－CF＝AE＋BC＋AF＝6＋7＋6
＝19.
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课前预习
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13.3.1 等腰三角形(3)
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分层检测
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边 (简写成“等角对等边”).
几何语言：∵∠B＝∠C，∴ .
也相等
AB＝AC
知识点1：等腰三角形的判定(等角对等边)
1. 【例】如图，AD平分∠CAE，AD∥BC.
求证： AB＝AC.
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证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵AD平分∠CAE，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠2，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠1，∴EA＝ED.
2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC. 求证：EA＝ED.
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3. 【例】如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB⊥BE于点B，
DE⊥BE于点E，AC，DF相交于点G，且AC＝DF，BF＝CE. 求
证：(1)△ABC≌△DEF；
证明：(1)∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°，∵BF＝CE，
∴BF＋CF＝CE＋CF，即CB＝EF，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
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证明：(2)由(1)得Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE.
∴CG＝FG，
∴△CFG是等腰三角形.
求证： (2)△CFG是等腰三角形.
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证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
4. 如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
为E，F，且DE＝DF. 求证：
(1)△BDE≌△CDF；
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求证：(2)△ABC是等腰三角形.
证明：(2)由(1)得Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形.
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知识点2：等腰三角形的性质和判定
5. 【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是
BD与CE的交点.求证：(1)BE＝CD；
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在△BCE和△CBD中，
∴△BCE≌△CBD(AAS)，∴BE＝CD.
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证明：(2)由(1)得△BCE≌△CBD，
∴∠BCE＝∠CBD，
∴BO＝CO.
∴△OBC是等腰三角形.
求证： (2)△OBC是等腰三角形.
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A基础
6. 如图，已知OC＝OD，AB∥CD. 求证：OA＝OB.
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D，∴∠A＝∠B，
∴OA＝OB.
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7. 如图，在△BAC和△CDB中，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D＝
90°，AC＝DB.
求证：(1)△ABC≌△DCB；
证明：(1)在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
(2)由(1)得Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC.
(2)OB＝OC.
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证明：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠B，
∵CE∥AD，∴∠CED＝∠ADB，
∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形.
B提升
8. 如图，AB＝AD，CD∥AB，CE∥AD.
求证：△CDE是等腰三角形.
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9. 如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于
点F.
求证：△AEF是等腰三角形.
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证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝∠CDF＝90°.
∴∠C＋∠F＝90°，
∠B＋∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠F. 又∵∠AEF＝∠BED，
∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE.
∴△AEF是等腰三角形.
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C培优
10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CF交AD于
点F，连接BF并延长交AC于点E，AB＝CF.
求证：(1)△ABD≌△CFD；
证明：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°
又∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD和Rt△CFD中，
∴Rt△ABD≌Rt△CFD(HL).
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证明：(2)由(1)得Rt△ABD≌Rt△CFD，
∴BD＝FD，
∵∠FDB＝90°，
∴∠FBD＝∠BFD＝45°，又∠ACB＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC.
求证： (2)BE⊥AC.
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证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CF∥AB，
∴∠FCD＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠FCD.
11. 如图，△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC，点E在
边AC上，EF∥BD，CF∥AB，连接BF，DE.
求证：(1)∠ACB＝∠FCD；
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证明：(2)由(1)得∠ACB＝∠FCD，
∴∠ACB＋∠ECF＝∠FCD＋∠ECF，
即∠BCF＝∠DCE，又∵EF∥BD，
∴∠CEF＝∠ACB，∠CFE＝∠FCD，
∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE，
在△BCF和△DCE中，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，∴BF＝DE.
求证： (2)BF＝DE.
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课前预习
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课堂学练
13.3.1 等腰三角形(1)
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分层检测
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，那么∠B与∠C相等吗？为什么？
解：∠B＝∠C，理由如下：
如图，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠B＝∠C.
2. 等腰三角形的性质1：等腰三角形两底角 (简写成“
”)
几何语言：
∵AB＝AC，
∴ .
相等
等边对
等角
∠B＝∠C
知识点：等腰三角形的性质1(等边对等角)
1. 【例】填空：在△ABC中，AB＝AC.
(1)若∠B＝70°，则∠C＝ °；
(2)若∠A＝50°，则∠C＝ °.
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2. 如图，AC＝BC， AD∥EF，∠A＝30°，则∠E的度数为( C )
A. 30° B. 50°
C. 60° D. 120°
C
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3. 【例】如图，在△ABC中，点D是BC上一点，AB＝AD＝DC，
∠C＝25°，求∠B的度数.
解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝50°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝50°.
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解：∵BD＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝36°，
∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝72°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝72°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°.
4. 如图，在△ABC中，D是AC上一点，且AB＝BD＝DC，∠C＝
36°，求∠ABC的度数.
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证明：∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠MBC，
∠DMC＝∠MCB，
∵BM＝CM，∴∠MBC＝∠MCB，
∴∠AMB＝∠DMC，
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM(SAS)，∴AB＝DC.
5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M是AD上一点，且AM＝
DM，BM＝CM. 求证：AB＝DC.
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证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠C.
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝ED.
6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD＝DC，E是BC上一点，
且AD＝EC. 求证：AB＝ED.
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A基础
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC上两点，BD＝CE. 求
证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE.
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证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠BEM＝∠CFM＝90°.
在△BEM和△CFM中，
∴△BEM≌△CFM(AAS)，∴BE＝CF.
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，ME⊥AB于点E，
MF⊥AC于点F. 求证：BE＝CF.
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解：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DB＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝30°.
B提升
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线DE
交AB，AC于点E，D，求∠DBC的度数.
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10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD.
(1)求证：∠BAD＝∠C；
(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠C.
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(2)若CA＝CD，求∠B的度数.
(2)解：∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B，
∴∠CAD＝∠CDA＝2∠B，
∵∠C＋∠CAD＋∠CDA＝180°，
∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°.
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C培优
11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝CD，E是AD上一
点，AB＝CE.
(1)求证：△ABD≌△CED；
(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CED中，
∴Rt△ABD≌Rt△CED(HL).
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(2)若∠ACE＝20°，求∠BAD的度数.
(2)解：∵AD＝CD，AD⊥CD，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝25°，
由(1)得△ABD≌△CED.
∴∠BAD＝∠ECD＝25°.
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12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，点F在BA的延长线
上，FG∥BC交CA的延长线于点G.
(1)求证：∠B＝∠G；
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵FG∥BC，
∴∠G＝∠ACB，
∴∠B＝∠G.
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(2)若FD＝FC， 求证：BD＝GF.
证明：(2)∵FD＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∵FG∥BC，∴∠CFG＋∠FCD＝180°，
又∠FDC＋∠FDB＝180°，
∴∠FDB＝∠CFG，
在△FBD和△CFG中，
∴△FBD≌△CFG(AAS)，∴BD＝GF.
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课堂学练
13.3.1 等腰三角形(2)
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分层检测
等腰三角形的性质2：等腰三角形的 、
、 互相重合(简写成
“三线合一”).
几何语言：
(1)∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴ ， ；
(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴ ， ；
(3)∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴ ， .
顶角平分线
底边上的中
线
底边上的高
BD＝CD
AD⊥BC
∠1＝∠2
AD⊥BC
∠1＝∠2
BD＝CD
知识点：等腰三角形的性质2(三线合一)
1. 【例】如图，在△ABC中， AB＝AC，AD平分∠BAC，BD＝5，则
CD＝( B )
A. 10 B. 5 C. 4 D. 3
B
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2. 如图，在△ABC中，AC＝BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于点G.
若∠BCG＝50°，则∠A的度数为( A )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
A
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解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝ (180°－∠B)＝70°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝20°.
3. 【例】如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝40°，AD是BC边上的
中线，E是AB上一点且BD＝BE. 求∠ADE的度数.
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解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝ (180°－∠CAD)＝70°，
∴∠CDE＝90°－∠ADE＝20°.
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝
AE. 求∠CDE的度数.
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5. 【例】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于点E.
求证：(1)△ABD≌△ACD；
证明：(1)在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
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证明：(2)由(1)得△ABD≌△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD.
又AB＝AC，∴AE⊥BC.
求证：(2)AE⊥BC.
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证明：(1)∵AD∥EB，∴∠A＝∠B.
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC(SAS).
(2)由(1)得△ACD≌△BEC，∴CD＝CE，
又CF⊥DE，∴DF＝EF.
6. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，
CF⊥DE.
求证：(1)△ACD≌△BEC；
(2)DF＝EF.
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A基础
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°.
求∠C的度数.
解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD＝35°，
∴∠C＝90°－∠CAD＝55°.
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8. 如图，AB＝DC，∠A＝∠D，AC，BD交于点E，过点E作
EF⊥BC于点F. 求证：(1)△ABE≌△DCE；
证明：(1)在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(AAS).
(2)由(1)得△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE，又EF⊥BC，
∴BF＝CF.
(2)BF＝CF.
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B提升
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平
分线BG交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数.
(1)解：∵AB＝AC，
AD是中线，∴AD⊥BC，
∴∠ABD＝90°－∠BAD＝65°，
∴∠C＝∠ABD＝65°.
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(2)求证：EF＝ED.
(2)证明：由(1)得ED⊥BC，
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
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证明：∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠FAE，
又∵E是AD中点，∴DE＝AE，
在△CDE与△FAE中，
∴△CDE≌△FAE(ASA).
∴CE＝FE，又BC＝BF，∴BE⊥CF.
10. 如图，四边形ABCD中，CD∥AB，E是AD中点，CE交BA延长线
于点F，BC＝BF. 求证：BE⊥CF.
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证明：(1)∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠C＋∠DAC＝90°，∠BAD＋∠DAC＝90°，
∴∠C＝∠BAD，∵AB＝AE，AD⊥BE，
∴∠BAD＝∠DAE，∴∠DAE＝∠C.
C培优
11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的任意点，D为线
段BE的中点，AB＝AE，EF⊥AE，AF∥BC.
求证：(1)∠DAE＝∠C；
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证明：(2)∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，
∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠FAE，
在△ABC和△EAF中，
∴△ABC≌△EAF(ASA)，
∴BC＝AF.
求证： (2)AF＝BC.
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证明：(1)∵CE⊥BD，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＋∠CBD＝90°，
∠BCE＋∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(ASA).
12. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC，E
是AB的中点，CE⊥BD.
(1)求证：△ABD≌△BCE；
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(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线.
证明：(2)由(1)得△ABD≌△BCE，∴AD＝BE，
∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∴AE＝AD，
∵∠BAD＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC＝∠DAC，又AE＝AD，
∴AC⊥DE，EF＝DF，
即AC是线段ED的垂直平分线.
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课前预习
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课堂学练
13.1.2 线段的垂直平分线的性质(2)
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分层检测
尺规作图：在几何中，我们把只限定用 和圆规作图的
方法称为尺规作图.
无刻度的直尺
知识点1：作角平分线
1. 【例】尺规作图：作∠AOB的平分线.
解：如图所示，OC为所求.
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2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，作∠BAC的平分线AD，交BC于
点D. (保留作图痕迹，不写作法).
解：如图所示，AD为所求.
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知识点2： 作线段的垂直平分线
3. 【例】尺规作图：作线段AB的垂直平分线.
解：如图，直线CD为所求.
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4. 已知△ABC中，∠C＝90°.在BC上求作点D，使AD＝BD. (尺规作
图，保留作图痕迹)
解：如图所示，点D为所求.
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5. 【例】已知直线AB和直线AB外一点P，用尺规作AB的垂线，使它
经过点P.
解：如图，直线PC为所求.
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6. 如图，已知△ABC，请用尺规作出△ABC的高CD(保留作图痕迹，
不写作法)
解：如图，CD为所求.
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A基础
7. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，观察图中尺规作图的痕迹，可
知△ABD的周长为( A )
A. 8 B. 9
C. 10 D. 11
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8. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知
∠ACG的度数为( C )
A. 40° B. 45°
C. 50° D. 60°
C
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9. 尺规作图：作△ABC的中线AD.
解：如图所示：AD即为所求.
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10. 如图，已知△ABC，求作一点P，使P在BC上，且点P到∠BAC的
两边的距离相等.
解：如图，点P为所求.
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B提升
11. 如图，已知△ABC.
(1)尺规作图：作BC边上的高AD；
解：(1)如图，AD为所作.
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(2)若∠B＝40°，AC恰好平分∠BAD，求∠ACB的度数.
解：(2)∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°，
∵AC恰好平分∠BAD，
∴∠DAC＝ ∠BAD＝25°，
∴∠ACB＝∠DAC＋∠ADB＝115°.
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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)尺规作图：在边BC上求作一点P，使PA＝PB；
解：(1)如图，点P即为所求作的点.
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(2)连接AP，若AC＝6，BC＝8时，求△ACP的周长.
解：(2)∵PD是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB
∴C△ACP＝AC＋PA＋CP＝AC＋PB＋CP
＝AC＋BC＝14.
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C培优
13. 如图：在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝2∠B.
(1)尺规作图：
①作∠ACB的平分线交AB于点D；
②过点D作DE⊥BC，垂足为E.
(1)解：如图所示，CD，DE为所求.
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(2)在(1)作图的基础上，求证：△DBE≌△DCE.
(2)证明：∵∠A＝90°，
∠ACB＝2∠B，∴∠ACB＝60°，∠B＝30°，
∵CD平分∠ACB，∴∠DCE＝ ∠ACB＝30°，
∴∠DCE＝∠B，
在△DBE与△DCE中，
∴△DBE≌△DCE(AAS).
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14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3，CD平分
∠ACB.
(1)尺规作图：过点D作BC边的垂线，垂足为点E；
解：(1)如图，直线DE即为所求.
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(2)在(1)作出的图形中，求DE的长.
解：(2)作DF⊥AC于点F.
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△BDC＋S△ADC，
∴ ×2×3＝ ×3×DE＋ ×2×DF，
∴DE＝DF＝ .
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课堂学练
13.3.2 等边三角形(2)
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分层检测
等边三角形的判定：
(1)三边都 的三角形是等边三角形.
(2)三个角都 的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是60°的 三角形是等边三角形.
相等
相等
等腰
知识点：等边三角形的判定
1. 【例】如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边AB，AC上的
点，DE∥BC.
求证：△ADE是等边三角形.
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证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形.
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
又∵∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵EC＝ED，∴∠C＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠C＝∠EDC，
∴△DEC为等边三角形.
2. 如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED.
求证：△DEC为等边三角形.
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证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴DC＝BC，又∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形.
3. 【例】如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC， ∠C＝60°.求证：
△BCD是等边三角形.
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证明：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，
又AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形.
4. 如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC，AC于
点D和E，且AB＝AD，∠C＝30°.求证：△ABD是等边三角形.
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5. 【例】如图，△ABC是等边三角形，CD⊥AB于点D，∠AEB＝
90°，CD＝AE. 求证：(1)△ABE≌△CBD；
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBD中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD(HL).
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证明：(2)由(1)得△ABE≌△CBD，
∴BE＝BD，∠ABE＝∠CBD＝60°，
∴△BDE为等边三角形.
求证： (2)△BDE是等边三角形.
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A基础
6. 如图，△CDE是等边三角形，CD∥AB. 求证：△ABE是等边三角
形.
证明：∵△CDE是等边三角形，
∴∠C＝∠D＝∠CED＝60°，
又∵AB∥DC，∴∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠C＝60°，
又∠AEB＝∠CED＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠AEB
∴△ABE是等边三角形.
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7. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，ED⊥OA于点D，EC⊥OB于
点C，且∠AOB＝60°.
求证：(1)△ODE≌△OCE；
证明：(1)∵OE平分∠AOB，ED⊥OA，EC⊥OB，
∴ED＝EC，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL).
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求证：(2)△OCD是等边三角形.
证明：(2)由(1)得△ODE≌△OCE，
∴OD＝OC，
又∵∠AOB＝60°，
∴△OCD是等边三角形.
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B提升
8. 如图，点P是等边△ABC内一点，D是BP延长线上一点，∠ABP＝
∠ACD，BP＝CD.
求证：(1)△ABP≌△ACD；
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
在△ABP与△ACD中，
∴△ABP≌△ACD(SAS).
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证明：(2)∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
由(1)得△ABP≌△ACD，
∴AP＝AD，∠CAD＝∠BAP，
∴∠CAD＋∠PAC＝∠BAP＋∠PAC，
即∠PAD＝∠BAC＝60°，
∴△APD是等边三角形.
求证： (2)△APD是等边三角形.
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9. 如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC三边上的
点，且AD＝BE＝CF. 求证：△DEF是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B，
∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，
∴△ADF≌△BED(SAS)，
∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF.
∴△DEF是等边三角形.
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证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝∠CBD，
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS).
C培优
10. 如图，△ABC是等边三角形，D是边BA延长线上的一点，
AE∥BC，AE＝BD.
求证：(1)△ACE≌△BCD；
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求证：(2)△CDE是等边三角形.
证明：(2)由(1)得△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，∠ACE＝∠BCD，
∴∠ACE－∠ACD＝∠BCD－∠ACD，
即∠DCE＝∠BCA＝60°，
∴△CDE是等边三角形.
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11. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，E为BC边上一
点，且AB＝AE.
(1)求证：△EAD≌△ABC；
(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB，
∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠EAD＝∠ABC，
在△EAD和△ABC中，
∴△EAD≌△ABC(SAS).
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(2)若AE平分∠BAD，∠EAC＝20°，求∠AED的度数.
(2)解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，
由(1)知∠EAD＝∠AEB＝∠ABE，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE，
∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，
又∠EAC＝20°，∴∠BAC＝80°，
又由(1)得△EAD≌△ABC，
∴∠AED＝∠BAC＝80°.
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课前预习
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课堂学练
13.3.2 等边三角形(1)
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分层检测
1. 等边三角形的定义：三边都 的三角形叫做等边三角形.
2. 等边三角形的性质：
(1)三条边 ；(2)三个内角 ，并且都等于 ；
(3)三线合一.
相等
相等
相等
60°
知识点：等边三角形的性质
1. 【例】如图，AD 是等边△ABC的中线，则∠BAD＝( B )
A. 20° B. 30°
C. 40° D. 50°
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2. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D. 若BD＝2，则AC＝( C )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
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3. 【例】如图，在等边△ABC中，DB是AC边上的高，E是BC延长线
上一点，且DB＝DE，求∠E的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝ ∠ABC＝30°，
∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°.
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解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°.
4. 如图，AD是等边三角形ABC的中线，E是AC上的一点，且AE＝
AD，求∠ADE的度数.
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(1)△ACE≌△BCD；
证明：(1)∵△ABC、△EDC是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS).
5. 【例】如图，等边△ABC中，D是AB边上的一点，以CD为一边，
向上作等边三角形EDC，连接AE. 求证：
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证明：(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
由(1)得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE∥BC.
(2)AE∥BC.
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证明：(1)∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
6. 如图，△ABC，△ADE是等边三角形，点B，C，D在同一直线上.
求证：(1)△ABD≌△ACE；
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证明：(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
由(1)得△ABD≌△ACE.
∴∠ACE＝∠ABC＝60°，
∴∠ACE＝∠BAC，∴CE∥AB.
求证：(2)CE∥AB.
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A基础
7. 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E. 求
∠ADE的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°－∠DAC＝60°.
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证明：∵△ABC、△BDE是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，
∠ABE＝∠CBD＝60°，
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS).
8. 如图所示，△ABC和△BDE都是等边三角形.求证：△ABE≌△CBD.
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证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴AB＝CA，BD⊥AC，
又∵AE⊥CE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠ACE，
在△ABD与△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE.
B提升
9. 如图， 在等边△ABC中，D是AC中点，过C作CE∥AB，且
AE⊥CE. 求证：BD＝AE.
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10. 如图，在等边 △ABC中，点M，N分别是边BC，AC上的点，且
BM＝CN，BN与AM相交于Q点.
(1)求证：△ABM≌△BCN；
(1)证明：∵△ABC等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝60°，
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN(SAS).
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(2)求∠AQN的度数.
(2)解：由(1)得△ABM≌△BCN，
∴∠CBN＝∠BAM.
∴∠AQN＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN
＝∠ABC＝60°.
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(1)求BE的长；
(1)解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB＝6，
∵BD⊥AC，∴CD＝AD＝ AC＝3，
∵CE＝CD，∴CE＝3，∴BE＝BC＋CE＝9.
C培优
11. 如图，等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上
的一点，CE＝CD，DF⊥BE于点F.
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(2)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD⊥AC，∴∠DBE＝ ∠ABC＝30°，
∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，
又∵∠E＋∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE. ∵DF⊥BE，∴BF＝EF.
(2)求证：BF＝EF.
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证明：(1)∵△ACD，△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE
即∠ACE＝∠DCB.
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE＝DB.
12. 如图，△ACD，△BCE均是等边三角形，点A，C，B在同一条直
线上，且AE，BD分别与CD，CE交于点M，N.
求证：(1)AE＝DB；
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证明：(2)∵△ACD，△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCN＝60°，∴∠ACM＝∠DCN.
由(1)得△ACE≌△DCB，∴∠CAM＝∠CDN.
在△ACM和△DCN中，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴AM＝DN.
求证： (2)AM＝DN.
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13.1.1 轴对称
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分层检测
1. 轴对称图形：如图1，等腰三角形沿直线l对折，两旁部分互相
，则称等腰三角形是 ，直线l叫 .
图1
重
合
轴对称图形
对称轴
2. 两个图形成轴对称：如图2，△ABC沿直线l对折和△A'B'C'重合，就
说△ABC与△A'B'C'成 ，直线l叫 .则：
图2
(1)点A的对称点是 ；
(2)AB的对应线段是 ；
(3)△ABC △A'B'C'.
轴对称
对称轴
A'
A'B'
≌
知识点1：轴对称图形
1. 【例】下列图形中，( D )是轴对称图形.
A B C D
2. 下列图形中不是轴对称图形的是( D )
A. B.
C. D.
D
D
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知识点2：两个图形成轴对称
3. 【例】下面的每组图形中，左、右两个图形成轴对称的是( B )
A B C D
4. 如图所示的四组图形中，左、右两个图形成轴对称的是
第 组.
(1) (2) (3) (4)
B
(3)(4)
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知识点3：轴对称的性质
5. 【例】如图，△ABC与△ADE关于直线l对称.下列结论中：
①△ABC≌△ADE；②AB＝AE；③∠ABC＝∠ADE；④l垂直平分
CE，其中正确的有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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6. 如图，△ABC与△A'B'C'关于l对称，且∠A＝105°， ∠C'＝30°，
则∠B为( B )
A. 30° B. 45° C. 55° D. 75°
B
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A基础
7. 下列四个图形中，是轴对称图形的是( A )
A B C D
8. 下面的每组图形中，左、右两个图形成轴对称的是( D )
A B C D
A
D
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9. 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称.若∠A＝50°，∠C＝
20°，则∠B'度数为( A )
A. 110° B. 70°
C. 90° D. 30°
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10. 如图，已知△ABC和△A'B'C'关于MN对称，并且AC＝5，BC＝2，
A'B'＝4，则△A'B'C'的周长是( C )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
C
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B提升
11. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂
足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则
∠CAB'的度数为( A )
A. 10° B. 20°
C. 30° D. 40°
A
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12. 如图，若∠2＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那
么击打白球时，必须保证∠1的度数为( D )
A. 15° B. 30°
C. 45° D. 60°
D
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13. 如图所示，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，
C'的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED'等于 ( C )
A. 70° B. 65° C. 50° D. 25°
C
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C培优
14. 如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于
OB对称点是D，连接CD交OA于点M，交OB于点N.
(1)若∠AOB＝60°，则∠COD＝ ；
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(2)若∠AOB＝α，求∠COD的度数；
解：∵点C和点P关于OA对称.
∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COD＝∠AOC＋∠AOP＋∠BOP＋∠BOD
＝2(∠AOP＋∠BOP)＝2∠AOB＝2α.
(3)若CD＝4，则△PMN的周长为 .
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课前预习
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课堂学练
13.3.2 等边三角形(3)
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分层检测
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的直角边等于 .
几何语言：∵ ，∴ .
斜边的一半
在Rt△ABC中，∠A＝30°
BC＝ AB
知识点：含30°角的直角三角形的性质
1. 【例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
则AB等于( C )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，
BC＝8cm，则CD等于( B )
A. 3cm B. 4cm
C. 5cm D. 6cm
C
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解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°－∠B＝60°，
∵AD平分∠CAB.
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，AD＝BD＝6，
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝ AD＝3.
3. 【例】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分
∠CAB，交BC于点D. 若BD＝6，求CD的长度.
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解：∵∠D＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠CAB－∠D＝30°，
∴∠D＝∠ACD，
∴AC＝AD＝6.
∵在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，
∴∠ACB＝30°，∴AB＝ AC＝3.
4. 如图，在Rt△DBC中，∠B＝90°，∠D＝30°，∠CAB＝60°.且
AD＝6.求AB的长.
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解：如图，连接AM，
∵MN垂直平分AB，
∴MA＝MB＝6cm，
∠MAB＝∠B＝15°，
∴∠AMC＝∠MAB＋∠B＝30°，
∵∠C＝90°，∴AC＝ MA＝3(cm).
5. 【例】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平
分线交BC于点M，交AB于点N. 若BM＝6cm，求AC的长.
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解：如图，连接AD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠DAC＝90°－∠ADC＝30°，
∴AD＝2CD＝4cm，∴BD＝AD＝4(cm).
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线交
BC于点D，交AB于点E，CD＝2cm.求BD的长.
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A基础
7. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则AB的
长是( D )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
8. 下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE
垂直于横梁AC，AD＝4米，∠A＝30°，则DE等于( C )
A. 4米 B. 3米
C. 2米 D. 1米
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C
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9. 如图，△ABC中，∠ACB为直角，∠B＝60°，CD⊥AB于点D. 若
BD＝3，求：(1)BC的长；
解：(1)∵CD⊥AB，∠B＝60°，
∴∠DCB＝90°－∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝6.
(2)∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B＝30°，又BC＝6，
∴AB＝2BC＝12.
(2)AB的长.
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解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝8，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°，
又∵∠C＝90°，
∴∠DAC＝90°－∠ADC＝30°，
∴在Rt△ACD中，CD＝ AD＝4.
10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线
ED交AB于点E，交BC于点D. 若BD＝8，求CD的长.
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证明：∵AB＝AC，
∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝30°
∴∠CAE＝∠BAC－∠EAB＝90°，
∴在Rt△AEC中，∠C＝30°，
∴CE＝2AE＝2BE.
B提升
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分
线交AB于点D，交BC于点E. 求证：CE＝2BE.
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解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴AC＝ AB＝4，
∵∠ACB＝∠E＝90°，
∴CF∥ED，∴∠AFC＝∠D＝45°，
∴∠CAF＝45°，∴CF＝AC＝4.
∴S△ACF＝ CF·AC＝8.
12. 如图，将一副三角尺按如图所示叠放在一起.若AB＝8，求图中阴影
部分的面积.
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C培优
13. 如图，△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，过点D作
DE⊥AB于点E，交BC边延长线于点F. (1)求证：CD＝CF；
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵EF⊥AB，∴∠F＝90°－∠ABC＝30°，
∴∠CDF＝∠ACB－∠F＝30°，
∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF.
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(2)解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，又DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝2，∵BD是角平分线，
∴CD＝AD＝2，AC＝2CD＝4，BC＝AC＝4，
由(1)得CF＝CD，∴CF＝2，
∴BF＝BC＋CF＝6.
(2)若AE＝1，求BF的长.
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课前预习
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课堂学练
13.2 画轴对称图形
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分层检测
如图，△ABC沿直线l对折和△A'B'C'重合， 则：
(1)△ABC与△A'B'C'关于直线l ；
(2)△ABC △A'B'C'； (3)线段 AA'被直线l .
对称
≌
垂直平分
知识点1：作对称点
1. 【例】画出点A关于直线l的对称点A'.
解：如图所示，点A'为所求.
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2. 如图，画出线段AB关于直线l的对称线段A1B1.
解：如图，线段A1B1为所求.
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知识点2：作轴对称图形
3. 【例】如图，在正方形网格上有△ABC和直线l，画出△ABC关于直
线l的对称图形.
解：如图，△A'B'C'为所求；
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4. 如图，在正方形网格上有△ABC和直线m，画出△ABC关于直线m
的对称图形.
解：如图，△A'B'C'为所作；
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知识点3：关于坐标轴对称的点的坐标
5. 【例】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2).
(1)画出点A关于x轴的对称点A1，关于y轴的对称点A2；
解：(1)图略
(2)写出点A1，A2的坐标.
(2)(3，－2)，(－3，2)
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6. (1)点(3，－2)关于x轴的对称点是( C )
A. (－3，－2) B. (－3，2)
C. (3，2) D. (－2，－3)
(2)点M(－3，4)关于 y轴对称的点的坐标为( D )
A. (－3，－4) B. (－3，4)
C. (3，－4) D. (3，4)
(3)点A(a，2)，与A'(3，b)关于x轴对称，则a＝ ，b＝ .
C
D
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知识点4：在平面直角坐标系中画轴对称图形
7. 【例】如图，已知△ABC的三个顶点在格点上，网格上的小正方形的
边长为1.
(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作.
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(2)求△ABC的面积.
解：(2)S△ABC＝4－ ×1×2－ ×1×1－ ×1×2＝1.5.
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8. 如图，在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(－4，0)，C(－3，－2).
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
解：(1)如图，△A'B'C'即为所求.
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(2)求△ABC的面积.
解：(2)S△ABC＝3×4－ ×2×3－ ×2×4－
×1×2＝12－3－4－1＝4.
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A基础
9. 点(－3，－2)关于x轴的对称点是( B )
A. (3，－2) B. (－3，2)
C. (3，2) D. (－2，－3)
10. 已知点P(a，2)与点Q(－3，2)关于y轴对称，则a的值为( A )
A. 3 B. －3
C. 2 D. －2
B
A
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11. 如图，若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A'的坐标
是( B )
A. (－3，2)
B. (3，2)
C. (－3，－2)
D. (3，－2)
B
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12. 如图，在正方形网格中有△ABC和直线MN，画出△ABC关于直线
MN对称的△A1B1C1.
解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
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B提升
13. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，
C(3，5).
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：(1)如图所示，
△A1B1C1为所求.
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(2)求△ABC的面积.
解：(2)S△ABC＝3×3－ ×1×2－ ×1×3－ ×2×3
＝9－1－1.5－3＝3.5.
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14. 如图，在平面直角坐标系中，A(2，4)，B(3，1)，C(－2，－1).
(1)作出△ABC关于x对称的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求.
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(2)△ABC的面积为 ；
(3)点P(a，a－2)与点Q关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为－1)对
称，若PQ＝8，则点P的坐标为 .
8.5
(5，3)或(－3，－5)
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C培优
15. 如图，△ABC的顶点A(0，1)，B(2，0)，C(4，4)均在正方形网格
的格点上.
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：(1)如图所示，△A1B1C1为所求.
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(2)求△ABC的面积；
解：(2)S△ABC＝4×4－ ×1×2－ ×2×4－
×3×4＝5.
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(3)已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，求出点P的
坐标.
解：(3)设P(0，m)，由题意， × ×2＝5，解得m＝6或－4，
∴点P的坐标为(0，6)或(0，－4).
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感谢聆听
