(共16张PPT)
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15.2.5 整数指数幂
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分层检测
1. 一般地：a－n＝ 或a－n＝ (a≠0，n为正整数).
2. 正整数幂的运算性质：
(1)am·an＝ ； (2)(am)n＝ ；
(3)(ab)n＝ ；
(4)am÷an＝ (a≠0)； (5) ＝ .
3. 当a 时，(a－2)0＝1.
am＋n
amn
anbn
am－n
≠2
知识点1：负指数幂的计算
1. 【例】计算：
(1)2－2＝ ＝ ；
(2)(－2)－2＝ ＝ ；
(3) ＝ ＝ ；
(4) ＝ ＝ .
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2. 计算：
2－2－(－3)－1－ ＋(π－3.14)0.
解：原式＝ ＋ －4＋1＝－2 .
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知识点2：整数指数幂的运算
3. 【例】计算：
(1)a－3·a2＝ ；
(2)(－a)3·(－a)－5＝ ；
(3)a－4÷a－2＝ ；
(4)(－a)－3÷(－a)－5＝ ；
(5)(a－3)－2＝ ；
(6)(－a－3)－2＝ .
a2
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4. 计算：
(1) (x3y－2)2＝ ；
(2) (2xy－2)－2 ＝ ；
(3) (a－2b－1)－3＝ ；
(4) (2ab2)－2＝ ；
(5) (2a2b－3)－1＝ ；
(6) ＝ .
a6b3
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5. 【例】计算：
(1) (a3b)2·(ab2)－3；
解：原式＝a6b2·a－3b－6＝a3b－4＝ .
(2)(4x2yz－1)2·(2xyz)－4.
解：原式＝16x4y2z－2·2－4x－4y－4z－4
＝ ＝ .
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6. 计算：
(1) (a－3b2)2·(3a2b)－2；
解：原式＝a－6b4·3－2a－4b－2
＝ a－10b2＝ .
(2)(－a－1b2c2)2÷2a－2c－2.
解：原式＝(－1)2a－2b4c4÷2a－2c－2
＝ a0b4c6＝ .
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A基础
7. 2 023－1的值是( C )
A. －2 023 B. －
C. D. 1
8. 下列计算正确的是( D )
A. a0 ＝1 B. 3－2＝ －9
C. ＝ D. ＝9
C
D
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9. 计算：
(1)5－1＝ ； (2)50＝ ；
(2) ＝ ； (4) ＝ ；
(5)a－3＝ ；
(6)(3－π)0＝ ；
(7)(－1)0＋ ＝ .
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B提升
10. 计算：
(1)a2·a－3＝ ；
(2)(a－2)－3＝ ；
(3)a3÷a－2＝ ；
(4)a－4·a－5＝ ；
(5)(x－2y3)－3＝ ；
a6
a5
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(6) ＝ ；
(7) ＝ .
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11. 计算：
×3－1＋(π－2 023)0÷ .
解：原式＝ × ＋1÷4＝ ＋ ＝1.
12. 计算：(a3b－1)－2·(a－3b2)2.
解：原式＝a－6b2·a－6b4＝a－12b6＝ .
13. 计算：(－2a－2b3)3÷(a3b－1)－2.
解：原式＝－8a－6b9÷a－6b2＝－8a0b7＝－8b7.
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C培优
14. 若2m＝ ，求3m＋1的值.
解：由题意可得：∵2m＝ ＝2－4，∴m＝－4，
∴3m＋1＝3－4＋1＝3－3＝ .
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15. 已知x＋x－1＝3，求下列式子的值：
(1)x2＋x－2；
解：(1)∵x＋x－1＝3，∴x＋ ＝3，
∴x2＋x－2＝x2＋ ＝ －2＝32－2＝7.
(2)x4＋x－4 .
解：(2)x4＋x－4＝x4＋ ＝ －2，
又由(1)知：x2＋ ＝7，∴原式＝72－2＝47.
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课前预习
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15.2.3 分式的加减(1)
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分层检测
1. 填空：
(1) ＋ ＝ ， － ＝ － ； (2) ＋ ＝ ， －
＝ .
2. 分式的加减法则：
(1)同分母的分式相加减， 不变，把 相加减；
(2)异分母分式相加减，先 ，化为 的分式，再
.
3. 分式的加减法则用式子表示为：
(1) ± ＝ ； (2) ± ＝ ± ＝ .
－
分母
分子
通分
同分母
把分
子相加减
±
知识点1：同分母分式相加减
1. 【例】计算：
(1) ＋ ＝ ；
(2) ＋ ＝ .
2. 计算：
(1) － ＝ ；
(2) － ＝ .
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3. 【例】计算：
(1) ＋ ；
解：原式＝ ＝ ＝2.
(2) ＋ .
解：原式＝ － ＝
＝x＋1.
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4. 计算：
(1) ＋
解：原式＝ ＝ ＝5.
(2) ＋ .
解：原式＝ － ＝ ＝2.
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知识点2：异分母分式相加减
5. 【例】计算：
(1) － ；
解：原式＝ － ＝ .
(2) － .
解：原式＝ － ＝ .
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6. 计算：
(1) － ；
解：原式＝ － ＝ .
(2) ＋ .
解：原式＝ ＋ ＝ .
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A基础
7. 计算 ＋ 的值( A )
A. B. C. D.
8. 计算 － 的结果是( B )
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
A
B
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9. 计算：
(1) － ；
解：原式＝ ＝1.
(2) ＋ .
解：原式＝ － ＝
＝x＋2.
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10. 计算：
(1) ＋
解：原式＝ ＋ ＝ .
(2) － .
解：原式＝ － ＝ .
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B提升
11. 计算：
(1) － ；
解：原式＝ ＋ ＝ ＝a－1.
(2) ＋ .
解：原式＝ － ＝
＝ .
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12. 计算： ＋ － .
解：原式＝ － －
＝
＝ ＝ .
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C培优
13. 已知 ＋ ＝3，求 的值.
解：∵ ＋ ＝3，
∴x＋y＝3xy.
∴ ＝ ＝ ＝ .
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14. 观察下列等式：
＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ，…
(1)猜想并写出： ＝ － ；
(2)根据以上规律计算：
＋ ＋ ＋ .
解：原式＝ － ＋ － ＋ － ＋ － ＝ －
＝ .
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15.2.2 分式的乘方
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分层检测
1. 根据乘方的意义计算：
(1) ＝ · ＝ ＝ ； (2) ＝ · · ＝ ；
(3)按规律填空： ＝ .
2. 分式乘方法则是： .
分式乘方要把分子、分母分别乘方
1. 【例】计算：
(1) ＝ ； (2) ＝ .
2. 计算：
(1) ＝ ； (2) ＝ － .
3. 【例】计算： ÷ .
解：原式＝－
－
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4. 计算： · .
解：原式＝4y
5. 【例】计算： · ÷ .
解：原式＝ · · ＝ab2.
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6. 计算： ÷ · .
解：原式＝－ · · ＝－8b3.
7. 计算： · ÷ .
解：原式＝ · ·
＝ .
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8. 计算： ÷ × .
解：原式＝ · ·
＝－ .
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A基础
9. 计算 的结果是( C )
A. B. － C. D. －
10. 计算 · 的结果是( C )
A. B. －
C. D. －
C
C
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B提升
11. 计算： ÷ · .
解：原式＝ · · ＝2a.
12. 计算： ÷(x－1)· .
解：原式＝ · ·
＝
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13. 计算： ÷ · .
解：原式＝ · ·
＝－2
14. 计算： · ÷ .
解：原式＝ · ·
＝
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C培优
15. 已知a2－a＝0，求 · ÷ 的值.
解：原式＝ · ×(a＋1)(a－1)
＝(a＋1)(a－2)
＝a2－a－2，
∵a2－a＝0，
∴原式＝0－2＝－2.
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解：原式＝x(x－y)÷ ÷
＝x(x－y)· · ＝xy.
又∵x，y满足
∴解方程组得
当x＝3，y＝－1时，
原式＝3×(－1)＝－3.
16. 先化简，再求值：(x2－xy)÷ ÷ ，其中x，y满足
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15.3.1 分式方程的解法(1)
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分层检测
1. 分式方程的概念：分母中含有 的方程叫做分式方程.
2. 解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，方程两边同时乘以 ，将分式方程化为
；
(2)解 ；
(3)检验，将整式方程的解代入 ，若不为0，则整式方程
的解是 ，否则这个解不是原分式方程的解；
(4)得出结论.
未知数
最简公分母
整式
方程
整式方程
最简公分母
原分式方程的解
1. 【例】下列各式中，是分式方程的是( D )
A. B. x2＋1＝y
C. ＋1＝0 D. ＝2
2. 下列关于x的方程中，不是分式方程的是( B )
A. ＝2 B. ＝
C. ＝ D. ＝2
D
B
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3. 【例】解方程： ＝ .
解：方程两边乘x(x－2)，得：2(x－2)＝3x，
解得x＝－4，
检验：当x＝－4时，x(x－2)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－4.
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4. 解方程： ＝ .
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，
得：5(x＋2)＝3(x－2)，
解得：x＝－8，
检验：当x＝－8时，(x＋2)(x－2)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－8.
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5. 【例】解方程： ＋2＝ .
解：整理，得： ＋2＝－ ，
方程两边乘(x－2)，得：1－x＋2(x－2)＝－1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x－2＝0，
∴x＝2不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解.
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6. 解方程： ＋2＝ .
解：整理得： ＋2＝ ，
方程两边乘(x－4)，得：－3＋2(x－4)＝1－x，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x－4＝0，
∴x＝4不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解.
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7. 【例】解方程： － ＝1.
解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，
得：x(x＋2)－2(x－1)＝(x－1)(x＋2)，
解得：x＝4.
检验：当x＝4时，(x－1)(x＋1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝4.
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8. 解方程： ＋ ＝2.
解：方程两边乘x(x－3)，
得：x2＋(x＋3)(x－3)＝2x(x－3)，
解得：x＝ ，
检验：当x＝ 时，x(x－3)≠0，
∴原分式方程的解为x＝ .
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A基础
9. 把分式方程 － ＝1去分母后化为整式方程正确的是( D )
A. 1－(1－x)＝1 B. 1＋(1－x)＝1
C. 1－(1－x)＝x－2 D. 1＋(1－x)＝x－2
10. 方程 ＝ 的解为( D )
A. x＝0 B. x＝－3
C. x＝4 D. x＝－6
D
D
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B提升
11. 解方程： ＋ ＝2.
解：整理，得： － ＝2，
方程两边乘(2x－1)，得：x－5＝2(2x－1)，
解得：x＝－1，
检验：当x＝－1时，2x－1≠0，
∴原分式方程的解为x＝－1.
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12. 解方程： ＋ ＝1.
解：整理，得： － ＝1，
方程两边乘(x－2)，得：2x－3＝x－2，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x－2≠0，
∴原分式方程的解为x＝1.
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C培优
13. 解方程： ＋ ＝ .
解：方程两边乘2(x＋3)，得：4＋3(x＋3)＝7，
解得：x＝－2，
检验：当x＝－2时，2(x＋3)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－2.
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14. 解方程： ＋ ＝2.
解：方程两边乘(x－2)(x＋2)，
得：5(x＋2)＋2x(x－2)＝2(x－2)(x＋2)，
解得：x＝－18，
检验：当x＝－18时，(x－2)(x＋2)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－18.
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15. 若关于x的分式方程 ＋ ＝2a无解，求a的值.
解：由题意得，解分式方程：
去分母得x－2a＝2a(x－3)，
解得：x＝ ，
∵分式方程无解，
∴ ＝3，解得：a＝ ，
检验：当a＝ 时，1－2a≠0.
∴a＝ 为方程 ＝3的解.
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16. 已知关于x的分式方程 ＋ ＝2的解为正数，求a的取值范围.
解：由题意得，解分式方程：去分母得：
1－(a－1)＝2(x－1)，
解得：x＝ ，
∵分式方程的解为正数，
∴ ＞0且 ≠1，
解得：a＜4且a≠2，
∴a的取值范围是a＜4且a≠2.
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15.1.1 分式的概念
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分层检测
1. 分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，且B中含有
，则式子 叫做分式.
2. 分式有意义的条件：①分式 有意义 ；
②分式 的值为0 A 且B .
字
母
B不等于0
为0
不为0
知识点1：分式的概念
1. 【例】下列式子是分式的是( C )
A. B. C. D.
2. 下列各式中，不是分式的是( C )
A. B.
C. D.
C
C
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知识点2：分式有意义的条件
3. 【例】若分式 有意义，则x的取值范围是( A )
A. x≠1 B. x＞1
C. x≠0 D. x＜1
A
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4. 当满足什么条件时，下列分式有意义？
(1) ；
解：(1)x≠－2 023
(2) ；
解：(2)x≠－
(3) .
解：(3)x≠±2
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5. 当x满足什么条件时，下列分式有意义？
(1) ；
解：(1)x≠0
(2) ；
解：(2)x为任何实数
(3) .
解：(3)x≠±2
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6. 填空：
(1)当x 时， 有意义；
(2)当a 时， 有意义；
(3)当x 时，分式 无意义.
≠2
≠－3
＝±1
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知识点3：分式的值为0的条件
7. 【例】当x取什么值时，下列各式的值等于零？
(1) ；
解：(1)x＝0
(2) ；
解：(2)x＝－3
(3) .
解：(3)x＝－1
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8. 当x取什么值时，下列各式的值等于零？
(1) ；
解：(1)x＝1
(2) ；
解：(2)x＝1
(3) .
解：(3)x＝－3
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A基础
9. 若分式 有意义，则a的取值范围是( C )
A. a≠2 B. a＝2
C. a≠－2 D. a＝－2
10. 下列各式① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥a＋ 中，是分
式的是 .(填序号
C
①⑤⑥
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A. 3 B. －3
C. 3或－3 D. 0
11. 若分式 的值为0，则x的值为( A )
A
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12. 下列分式中，x取任意实数总有意义的是( C )
A. B.
C. D.
C
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B提升
13. 填空：
(1)如果分式 有意义，那么x的取值范围是 x≠ ；
(2)如果分式 有意义，那么x的取值范围是 ；
(3)若分式 的值为0，则y的值是 ；
(4)若分式 无意义，则m的值是 .
x≠
x≠0且x≠1
y＝－5
m＝±3
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14. 若分式 的值为0，则( B )
A. x＝0 B. x＝－2
C. x＝2 D. x＝±2
15. 若 的值为0，则x＝( B )
A. 3 B. －3
C. 3或－3 D. 0
B
B
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C培优
16. 当a＝－1时，分式 的值为( D )
A. 0 B. 1
C. －1 D. 没有意义
D
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17. 当x取何值时，分式 ：
(1)有意义？
解：(1)x－3≠0且x－2≠0，∴x≠3且x≠2.
(2)无意义？
解：(2)x＝3或x＝2.
(3)值为0？
解：(3) －3＝0，且x≠3，∴x＝－3.
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18. 在分式 中，当x取什么值时：
(1)分式的值为0？
解：(1)由题意得x＋2＝0，解得x＝－2.
(2)分式的值为正数？
解：(2)由题意得 或
解得x＞ 或x＜－2.
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课前预习
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课堂学练
15.3.2 分式方程的应用(1)——工程问题
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分层检测
1. 工程问题：工作量＝工作时间×工作效率 (工作总量经常被当作1).
2. 列分式方程解决实际问题的步骤：
(1)审题：找出题目中的 关系；(2)设未知数； (3)根据等量关
系，列出 ；(4)解分式方程；(5) ； (6)作答.
相等
分式方程
检验
1. 【例】某工厂现在每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机
器所用的时间与原计划生产450台机器所用的时间相同，问现在平均每
天生产多少台机器？
解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划每天生产(x－50)台机器，
由题意得： ＝ ，解得x＝200，
经检验，x＝200是原分式方程的解，
答：现在平均每天生产200台机器.
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2. 某加工厂甲、乙二人做某种机械零件，每小时乙比甲多做8个.已知甲
做240个零件的时间与乙做300个零件的时间相同，求甲、乙每小时各做
多少个零件.
解：设甲每小时做x个零件，乙每小时做(x＋8)个零件，由题意可得：
＝ ，
解得：x＝32，
经检验，x＝32是原分式方程的解，
∴x＋8＝40(个).
答：甲每小时做32个零件，乙每小时做40个零件.
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3. 【例】某厂计划生产60万只一次性无纺布口罩，为尽快完成任务，实
际每天生产的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求该厂原计
划每天生产口罩的数量.
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解得：x＝4，
经检验，x＝4是原分式方程的解.
答：该厂原计划每天生产口罩4万只.
解：设该厂原计划每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩1.5x万只，
依题意，得： － ＝5，
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4. 在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一
条长1 200m的步行道.由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的
长度是计划的1.2倍，结果提前5天完成任务.求计划平均每天修建步行道
的长度.
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解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意.
答：计划平均每天修建步行道的长度为40m.
解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后
平均每天修建步行道的长度为1.2xm，
依题意，得： － ＝5，
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5. 【例】一项工程，甲队单独做需40天完成，若乙队先做30天后，
甲、乙两队一起合做20天恰好完成任务，求乙队单独做需要多少天
能完成任务.
解：设乙队单独做需要x天完成任务，
根据题意，得 ＋ ＝1.解得x＝100.
经检验x＝100是原分式方程的解.
答：乙队单独做需要100天完成任务.
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6. 有一项工程，由甲、乙两个工程队共同完成，若乙工程队单独完成需
要60天；若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天也恰好完
成，求甲工程队单独完成此项工程需要几天.
解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，
由题意得： ＋ ＝1，解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解.
答：甲工程队单独完成此项工程需要40天.
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A基础
7. 甲、乙两车间同时加工一种零件，甲车间加工75个所用的时间与乙车
间加工60个所用的时间相等，已知甲车间比乙车间每天多加工5个，求
甲、乙车间每天各加工多少个零件.
解：设乙车间每天加工x个，则甲车间每天加工(x＋5)个，
由题意得： ＝ ，解得：x＝20，
经检验x＝20，是所列分式方程的解，
∴ x＋5＝25.
答：甲车间每天加工25个，乙车间每天加工20个.
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8. 某单位向一所希望小学赠送1 080本课外书，现用A，B两种不同的包
装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书.若设每个A型包装箱可以装书x本，则可列方程为( C )
A. ＝ ＋6 B. ＝ －6
C. ＝ －6 D. ＝ ＋6
C
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B提升
9. 某地为美化环境，计划种植树木4 800棵，由于志愿者的加入，实际
每天植树的棵数比原计划多20％，结果提前4天完成任务.求原计划每天
植树的棵数.
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解得：x＝200，
经检验.x＝200是原分式方程的解.
答：原计划每天植树200棵.
解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(1＋20％)x棵，依题
意，得：
－ ＝4，
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10. 某市一项民生改造工程，由甲、乙两个工程队合作20天可完成.若单
独完成此项工程，甲工程队所用的天数是乙工程队所用天数的2倍，求
甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天.
解：设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项
工程需要2x天，依题意，得： ＋ ＝1，解得：x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程的解，∴2x＝60，
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程
需要30天.
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C培优
11. 甲、乙两个筑路队，甲队比乙队每天多筑路100米，甲队筑路18 000米所用时间与乙队筑路15 000米所用时间相等.
(1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米.
解：(1)设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路(x－100)米，
由题意可得： ＝ ，解得：x＝600，
经检验：x＝600是原分式方程的解，∴x－100＝600－100＝500(米)，
答：甲筑路队每天筑路600米，则乙筑路队每天筑路500米.
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(2)甲、乙两个筑路队合作筑路30 000米，若要求乙队筑路不超过30天，
甲队至少筑路多少天？
解：(2)设甲队筑路a天，由题意可得： ≤30，解得：
a≥25，
答：甲队至少筑路25天.
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感谢聆听(共15张PPT)
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课前预习
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课堂学练
15.1.2 分式的基本性质(2)——通分
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分层检测
1. 通分： 与 .
解： ＝ ＝
2. 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的
，这样的分式变形叫做 .
3. 一般取各分母的所有因式 的积作为公分母，它叫做最简
公分母.
同分母的分
式
通分
最高次幂
知识点1：分式的通分——分母为单项式
1. 【例】通分：
(1) 与 ；
解： ＝ ， ＝ .
(2) 与 .
解： ＝ ， ＝
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2. 通分：
(1) 与 ；
解： ＝ ， ＝ .
(2) 与 .
解： ＝ ， ＝ .
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知识点2：分式的通分——分母为多项式
3. 【例】通分：
(1) 与 ；
解： ＝ ，
＝ .
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(2) 与 .
解： ＝ ，
＝ ＝ .
4. 通分：
(1) 与 ；
解： ＝ ，
＝ .
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(2) 与 .
解： ＝ ，
＝ ＝ .
5. 【例】通分：
(1) 与 ；
解： ＝ ，
＝ .
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(2) 与 .
解： ＝ ，
＝ .
6. 通分：
(1) 与 ；
解： ＝ ，
＝ .
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(2) 与 .
解： ＝ ，
＝ .
A基础
7. 分式 ， ， 的最简公分母是( C )
A. 24a2b3 B. 24ab2 C. 12ab2 D. 12a2b3
8. 分式 ， ， 的最简公分母为 .
C
a2－b2
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B提升
9. 通分： 与 .
解： ＝ ， ＝ .
10. 通分： 与 .
解： ＝ ，
＝ .
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11. 通分： 与 .
解： ＝ ＝ ，
＝ ＝ .
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12. 通分： 与 .
解： ＝ ，
＝ .
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C培优
13. 关于分式 ， ， 的通分，不正确的是( D )
A. 最简公分母是(x－2)(x＋3)2
B. ＝
C. ＝
D. ＝
D
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14. 通分： ， ， .
解： ＝－ ＝－ ，
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
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感谢聆听(共19张PPT)
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课前预习
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课堂学练
15.3.2 分式方程的应用(2)——行程问题
3
分层检测
行程问题： 路程＝( 速度 )×( 时间 ).
速度
时间
1. 【例】甲、乙两地相距1 200千米，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特
快列车少用8小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，求
特快列车从甲地到乙地的时间.
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解这个方程得x＝100.
经检验，x＝100是原分式方程的根，则 ＝12 .
答：特快列车从甲地到乙地的时间为12h.
解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为
3xkm/h，
根据题意，得 ＋8＝
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2. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆小汽车同时从甲地出发开
往乙地，小汽车的速度是货车的1.2倍，结果小汽车比货车早半小时到
达乙地，求两辆车的速度.
解：设货车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.2x千米/小时，
依题意得： － ＝ ，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝120.
答：货车的速度为100千米/小时，小汽车的速度为120千米/小时.
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3. 【例】学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先
走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车
的平均速度与自行车的平均速度的比是3∶1，问：汽车与自行车的平均
速度分别是多少？
解：设自行车的平均速度是x千米/小时，汽车的平均速度是3x千米/小时，
由题意得： ＝ ＋ ，解得：x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解且符合题意，
∴3x＝45
答：自行车的平均速度是15千米/小时，汽车的平均速度是45千米/小时.
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4. 甲、乙两地相距60 km，A骑自行车从甲地到乙地，出发2小时40分钟
后，B骑摩托车也从甲地去乙地.已知B的速度是A的速度的3倍，结果
两人同时到达乙地.求A，B两人的速度.
解：设A的速度为xkm/h，则B的速度为3xkm/h，
依题意，得： － ＝2 ，解得：x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，
∴3x＝45.
答：A的速度为15km/h，B的速度为45km/h.
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5. 【例】为了响应打赢“蓝天保卫战”的号召，张老师由驾车改为骑自
行车上下班.张老师的家距学校的路程是8千米，驾车的平均速度是骑自
行车平均速度的3倍，这样，张老师每天上班要比开车早出发 小时，才
能按原驾车时间到达学校.求张老师骑自行车的平均速度.
解：设张老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，依题意有：
－ ＝ ，解得x＝16，
经检验，x＝16是原分式方程的解.
答：张老师骑自行车的平均速度为16千米/小时.
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A基础
6. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先
走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽
车的速度是骑车同学速度的2倍，则骑车同学的速度为 千米/时.
7. 一艘轮船在静水中的最大航速为60km/h，它以最大航速沿江顺流航行
240km所用时间与以最大航速逆流航行120km所用时间相同，则江水的
流速为 km/h.
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B提升
8. A，B两地相距80千米，甲与乙开车都从A地前往B地，甲开车从A地
出发 小时后，乙出从A地出发，已知乙开车速度是甲开车速度的1.5倍，结果乙比甲提前10分钟到达B地，求甲开车的速度.
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解得：x＝80.
经检验：x＝80是原分式方程的解，且符合题意.
答：甲的速度为80千米/小时.
解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为1.5x千米/小时，由题
意得：
－ ＝ ＋ 整理得： ＝ ＋
方程两边同乘以3x，得：240＝160＋x.
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9. 甲、乙两人同时从A地出发，沿相同路线骑自行车前往距离A地15千
米的B地.已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车
耽搁了半小时，结果两人同时到达B地，求甲、乙两人每小时各骑行多
少千米.
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解得x1＝5，x2＝－6(不合题意舍去).
经检验x＝5是所列分式方程的根.
所以x＋1＝6.
答：甲每小时行驶6km，乙每小时行驶5km.
解：设乙每小时行驶xkm，则甲每小时行驶(x＋1)km，
根据题意，得 － ＝ .
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C培优
10. 某内陆城市为了落实国家“一带一路”倡议，促进经济发展，增强
对外贸易的竞争力，把距离港口490km的普通公路升级成了比原来长度
多35km的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50％，行
驶时间缩短了2h，求公路升级以后汽车的平均速度.
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解得：x＝70，
经检验，x＝70是所列分式方程的解，且符合题意，
∴(1＋50％)x＝105.
答：公路升级以后汽车的平均速度为105km/h.
解：设公路升级以前汽车的平均速度为xkm/h，则公路升级以后汽车的
平均速度为(1＋50％)xkm/h，
依题意，得： － ＝2，
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11. 甲、乙两个工程队同时参与一项工程建设，共同施工15天完成该项
工程的 ，乙队另有任务调走，甲队又单独施工30天完成了剩余的工程.
(1)若乙队单独施工，要多少天才能完成该项工程？
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解：(1)因甲队单独施工30天完成该项工程的 ，所以甲队单独施工90天完成该项工程.
设乙队单独施工需要x天才能完成该项工程，则
(＋ )×15＝ .解得x＝30.
经检验x＝30是所列分式方程根.
答：(1)若乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；
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(2)若乙队参与该项工程施工的时间不超过13天，则甲队至少施工多少天
才能完成该项工程？
解：(2)设甲队施工y天完成该项工程，则1－ ≤ .解得y≥51.所以y最小值＝51.
答：(2)若乙队参与该项工程施工的时间不超过13天，则甲队至少施工
51天才能完成该项工程.
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15.2.4 分式的混合运算
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分层检测
分式混合运算的顺序：先算乘方，再算 ，最后算 ，有
括号的先算括号里面的.
乘除
加减
知识点1：分式的混合运算
1. 【例】计算： ÷ ＋ .
解：原式＝ · －
＝ － ＝ .
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2. 计算： ＋ ÷ .
解：原式＝ ＋ · ＝ ＋ ＝
＝ ＝ .
3. 【例】计算： ÷ .
解：原式＝ ·
＝ ＝2x－4.
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4. 计算： ÷ .
解：原式＝ · ＝ ·(a＋2)(a－2)＝a2＋4.
5. 【例】计算：1－ .
解：原式＝ － ＝ .
6. 计算： －a＋1 .
解：原式＝ － ＝ .
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知识点2：分式化简求值
7. 【例】先化简，再求值： ÷ ，其中x＝2 023.
解：原式＝ ·
＝ · ＝ .
当x＝2 023时，原式＝ ＝ .
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8. 先化简，再求值 ÷ 的值，其中a＝ －1.
解：原式＝ ÷
＝ ·
＝ ＝ .
当a＝ －1时，原式＝ ＝－3 －6 .
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A基础
9. 计算： － · .
解：原式＝ － ·
＝ － ＝ .
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10. 计算： ÷ .
解：原式＝ ·
＝ · ＝ .
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B提升
11. 计算： ÷ .
解：原式＝ ·
＝ · ＝a＋2.
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12. 计算： ÷ .
解：原式＝ ·
＝ · ＝ .
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C培优
13. 计算： ÷ .
解：原式＝ ÷
＝ · ＝－ .
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14. 计算： ÷ .
解：原式＝ ·
＝ ·
＝a2＋a.
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15. 先化简，后求值： ÷ ；其中x＝－1.
解：原式＝ ·
＝ · ＝ .
当x＝－1时，
原式＝ ＝ .
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16. 先化简，再求值： ÷ ，其中整数x满足－1≤x＜3.
解：原式＝ ·
＝ · ＝ ，
∵－1≤ x＜3且x为整数，
∴ x可取－1，0，1，2，
又∵x≠－1，x≠0，
∴取x＝1， 原式＝ ＝1，
取x＝2， 原式＝ .
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15.2.1 分式的乘除
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分层检测
1. 计算：(1) × ＝ ； (2) ÷ ＝ .
2. 分式的乘法法则： × ＝ .
3. 分式的除法法则： ÷ ＝ · ＝ .
·
知识点1：分式的乘法
1. 【例】计算：
(1) · ；
解：原式＝ .
(2) ·(－ ).
解：原式＝ · ＝ .
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2. 计算：
(1) · ；
解：原式＝ .
(2) · .
解：原式＝ ＝ .
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3. 【例】计算： · .
解：原式＝ · ＝x .
4. 计算： · .
解：原式＝ · ＝a.
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知识点2：分式的除法
5. 【例】计算：
(1) ÷ ；
解：(1)原式＝2xy
(2) ÷(－ ) .
解：(2)原式＝－6xy
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6. 计算：
(1) ÷ ；
解：(1)原式＝
(2)(－ )÷(－ ).
解：(2)原式＝ · ＝2xy.
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7. 【例】计算： ÷ .
解：原式＝ · ＝ .
8. 计算： ÷ .
解：原式＝ · ＝x－3.
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A基础
9. 计算：
(1) · ＝ ；
(2) ÷ ＝ ；
(3)(－ )÷8x2y3＝ － ；
(4)3xy2÷(－ )＝ － .
－
－
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10. 计算 ÷ 的结果为( C )
A. B. 5－a
C. D. 5＋a
C
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B提升
11. 计算：
(1) · ；
解：原式＝ ·
＝ .
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(2) ÷ .
解：原式＝ ·
＝ .
12. 计算：
(1) · ；
解：原式＝ ·
＝x.
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(2) ÷ .
解：原式＝ ·
＝xy.
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13. 计算：
÷ .
解：原式＝ ·
＝－ .
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14. 已知M＝ ÷ .
(1)化简M；
解：(1)M＝ ·
＝ ；
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(2)若x2－6xy＋9y2＝0，求M的值.
解：(2)∵x2－6xy＋9y2＝0，
∴(x－3y)2＝0，
∴x＝3y，
∴M＝ ＝ ＝ ＝ .
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15.3.1 分式方程的解法(2)
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分层检测
分解因式：
(1)a2－b2＝ ；
(2)a2±2ab＋b2＝ ；
(3)2x－4＝ ；
(4)m2－22 ＝ .
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
2(x－2)
(m＋2)(m－2)
1. 【例】解方程： －1＝ .
解：整理，得： －1＝ ，
方程两边乘3(x－1)，得：3x－3(x－1)＝2x，
解得：x＝ ，
检验：当x＝ 时，3(x－1)≠0，
∴原分式方程的解为x＝ .
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2. 解方程： － ＝ .
解：整理，得： － ＝ ，
方程两边乘2(x－2)，得：3－2x＝x－2，
解得：x＝ ，
检验：当x＝ 时，2(x－2)≠0，
∴原分式方程的解为x＝ .
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3. 【例】解方程： － ＝1.
解：整理，得： － ＝1，
方程两边乘(x＋2)(x－2)，
得：x(x＋2)－2＝(x＋2)(x－2)，
解得x＝－1，
检验：当x＝－1时，(x－2)(x＋2)≠0，
∴原分式方程的解为x＝－1.
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4. 解方程： － ＝1.
解：整理，得： ＋ ＝1，
方程两边乘(x＋3)(x－3)，
得：4＋x(x＋3)＝(x＋3)(x－3)，
解得x＝－ ，经检验x＝－ 是原分式方程的解，
∴原分式原方程的解为x＝－ .
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5. 【例】当x为何值时，分式 的值与 ＋1的值相等？
解：由题意得： ＝ ＋1，
去分母，得：x(x＋1)＝3＋(x＋1)(x－1)，
解得x＝2，经检验x＝2是原分式方程的解，
∴原分式方程的解是x＝2，
∴当x＝2时，分式 的值与 ＋1的值相等.
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6. 当x为何值时，分式 的值和 的值互为相反数？
解：由题意得： ＋ ＝0，
去分母，得：3x＋2＋2(2x－1)＝0，
解得x＝0，
经检验x＝0是原分式方程的解，
∴当x＝0时，它们的值互为相反数.
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A基础
7. 分式方程 ＋ ＝1的解是( B )
A. x＝1 B. x＝3
C. x＝4 D. 无解
8. 分式方程 － ＝ 的解是 .
B
无解
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解：整理，得： － ＝1，
方程两边乘x(x＋2)，
得：x2－4＝x(x＋2)，
解得：x＝－2，
检验：当x＝－2时，x(x＋2)＝0，
所以原分式方程无解.
9. 解方程： － ＝1.
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10. 解方程： － ＝1.
解：整理，得： － ＝1，
方程两边乘(x＋1)(x－1)，
得：(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，
所以原分式方程无解.
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B提升
11. 解方程： －1＝ .
解：整理，得： －1＝ ，
方程两边乘(x－2)2，
得：x(x－2)－(x－2)2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，(x－2)2≠0，
所以原分式方程的解为x＝4.
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12. 当x为何值时，分式 －1与分式 的值相等？
解：由题意知： －1＝ .
去分母，得：2x－(x＋1)＝1，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x＋1≠0，
所以原分式方程的解为x＝2 .
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13. 关于x的分式方程 ＋ ＝1的解是正数，则m的取值范围是( A )
A. m＞2且m≠3 B. m＞2
C. m≥2且m≠3 D. m≥2
A
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14. 已知关于x的分式方程 ＋ ＝ .
(1)若这个方程的解是负数，求m的取值范围；
(1)∵方程的解是负数，
∴ ＜0且 ≠±2，
解得：m＞1且m≠6，
所以m的取值范围是m＞1且m≠6.
解：解分式方程：去分母，
得：2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
解得：x＝ ，
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(2)若这个方程无解，求m的值.
解：(2)∵方程无解，
∴ ＝±2，解得：m＝－4或m＝6，
所以m的值为m＝－4或m＝6.
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15.1.2 分式的基本性质(1)——约分
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分层检测
1. 分式的基本性质：分式的分子与分母乘以(或除以)同一个
，分式的值不变.对于任意一个分式 ，有 ＝ ， ＝
( C≠0 )，其中C是整式.
2. 约分：把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的
约分.
3. 分子与分母没有公因式的分式，叫做 .
不为0的整
式
C≠0
公因式
最简分式
知识点1：分式的基本性质
1. 【例】下列各式从左到右变形正确的是( B )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
B
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2. 下列各式从左往右变形正确的是( D )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
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3. 【例】约分：
(1) ＝ ， ＝ ；
(2) ＝ ， ＝ ；
(3) ＝ ， ＝ ；
(4) ＝ ， ＝ .
2a
－a
a＋3
a＋b
x－1
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4. 约分：
(1) ＝ － ， ＝ ；
(2) ＝ ， ＝ ；
(3) ＝ ， ＝ ；
(4) ＝ ， ＝ .
－
x
－2x
x
y
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知识点2：最简分式
5. 【例】化简：
(1) ；
解：(1)原式＝
(2) .
解：(2)原式＝
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6. 化简：
(1)
解：(1)原式＝－
(2) .
解：(2)原式＝
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A基础
7. 下列式子从左到右的变形一定正确的是( C )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
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8. 约分：
(1) ＝ ；(2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ ；
(5) ＝ ；
(6) ＝ .
－a
－1
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B提升
9. 约分：
(1) ；
解：(1)原式＝ ＝ .
(2) .
解：(2)原式＝ ＝ .
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10. 化简：
(1) ；
解：(1)原式＝
(2) .
解：(2)原式＝
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11. 下列各分式中，是最简分式的是( A )
A. B.
C. D.
12. 如果把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值( D )
A. 不变 B. 扩大2倍
C. 扩大4倍 D. 缩小至
A
D
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C培优
13. 化简：
(1) ；
解：(1)原式＝
(2) .
解：(2)原式＝
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14. 已知 m＝2n，求 的值.
解：原式＝ ＝ .
∵m＝2n，
∴原式＝ ＝ ＝ .
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课前预习
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课堂学练
15.2.6 科学记数法
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分层检测
1. 知识回顾：用科学计数法表示下列各数.
(1)20 210 000＝ ；
(2)－98 900 000＝ ；
(3)0.1＝ ＝10( －1 )； (4)0.000 1＝ ＝10( －4 ).
2. 科学计数法：
(1)大数：把一个大数写成a×10n 的形式，其中1≤ ＜10，n为小数
点移动的位数.
(2)小数：把一个小数写成 a×10－n 的形式，其中1≤ ＜10，n为小数
点移动的位数.
2.021×107
－9.89×107
－1
－4
知识点：科学计数法
1. 【例】用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 03＝ ；
(2)－0.000 006 4＝ ；
(3)0.000 031 4＝ ；
(4)－0.003 009＝ .
3×10－5
－6.4×10－6
3.14×10－5
－3.009×10－3
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2. 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 23＝ ；
(2)－0.000 000 32＝ ；
(3)0.000 058＝ ；
(4)－0.000 002 020＝ .
2.3×10－4
－3.2×10－7
5.8×10－5
－2.02×10－6
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3. 【例】下列是用科学计数法表示的数，写出其原数：
(1)2.5×10－5＝ ；
(2)7.25×10－4＝ ；
(3)－2.06×10－6＝ ；
(4)－1.2×10－7＝ .
0.000 025
0.000 725
－0.000 002 06
－0.000 000 12
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4. 下列是用科学计数法表示的数，请写出其原数：
(1)2×10－5＝ ；
(2)2.25×10－6＝ ；
(3)－3.14×10－5＝ ；
(4)－2.021×10－4＝ .
0.000 02
0.000 002 25
－0.000 031 4
－0.000 202 1
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5. 计算(结果用科学计数法表示)：
(1)(3×10－5)×(6×10－4)；
解：原式＝3×6×10－5×10－4
＝18×10－9
＝1.8×10－8.
(2)(－3.6×10－10)÷(6×10－5).
解：原式＝－3.6÷6×10－5
＝－0.6×10－5
＝－6×10－6.
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6. 计算(结果用科学计数法表示)：
(1) (5.2×10－6)×(－4×10－4)；
解：原式＝－5.2×4×10－10
＝－2.08×10－9
(2) (2×10－6)2÷(10－4)3.
解：原式＝22×10－12÷10－12
＝4×100＝4.
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A基础
7. 用科学计数法表示下列各数：
(1)0.000 004 5＝ ；
(2)0.000 030 2＝ ；
(3)－0.000 000 076＝ ；
(4)－0.000 050 2＝ .
4.5×10－6
3.02×10－5
－7.6×10－8
－5.02×10－5
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8. 下列是用科学计数法表示的数，请写出其原数：
(1)4.3×10－4＝ ；
(2)1.56×10－6＝ ；
(3)－3.01×10－5＝ ；
(4)－4×10－7＝ .
0.000 43
0.000 001 56
－0.000 030 1
－0.000 000 4
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B提升
9. 已知某细菌直径长约0.000 015 2米，那么该细菌的直径长用科学记数
法可表示为( B )
A. 152×105米 B. 1.52×10－5米
C. －1.52×105米 D. 1.52×10－4米
B
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10. 我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平
的芯片.该芯片的制造工艺达到了0.000 000 022米，用科学记数法表示为
( D )
A. 22×10－10 B. 2.2×10－10
C. 2.2×10－9 D. 2.2×10－8
D
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11. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000 000 308米，0.000 000 308用科学
记数法表示为 .
12. DNA分子直径为0.000 000 69cm，这个数可以表示为6.9×10n，其中
n＝ .
3.08×10－7
－7
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C培优
13. 中国疾控中心成功分离某种病毒毒种，该毒种直径大约为80纳米(1
纳米＝0.000 001毫米)，数据“80纳米”用科学记数法表示为( C )
A. 0.8×10－7毫米 B. 8×10－6毫米
C. 8×10－5毫米 D. 80×10－6毫米
C
14. 成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.那么一个人九月份摄入
维生素D的量用科学记数法表示为 .
1.38×10－4
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(1) (－3.5×10－12)×(4×10－8)；
解：原式＝(－3.5×4)×10－20
＝－14×10－20
＝－1.4×10－19 .
(2)(8×10－4)2÷(4×10－2)3.
解：原式＝82×10－8÷(43×10－6)
＝64÷64×10－2
＝10－2.
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15. 计算(结果用科学计数法表示)：
16. 雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行.假设某时刻雷达向
飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，整个过程共
用了5.24×10－5秒.已知电磁波的传播速度为3.0×108米/秒，则该时刻飞
机与雷达站的距离是多少米？(用科学计数法表示)
解：3.0×108×5.24×10－5÷2
＝7.86×103(米).
答：该时刻飞机与雷达站的距离是7.86×103米.
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感谢聆听(共20张PPT)
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课前预习
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课堂学练
15.2.3 分式的加减(2)
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分层检测
1. 最简公分母：各个分母中数字因数的 ，字母因式
的 的乘积.
2. 分母如果能因式分解，必须先 ，然后找出最简公分母.
3. 分式 和分式 的最简公分母是 .
最小公倍数
最高次幂
分解因式
x2y3
知识点1：最简公分母
1. 【例】填空：
(1) 和 的最简公分母是 ；
(2) 和 的最简公分母是 .
2. 填空：
(1) 和 的最简公分母是 ；
(2) 和 的最简公分母是 .
(x＋y)(x－y)
x2－1
(x－1)(x＋2)
x2－4
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知识点2： 分式的加减运算
3. 【例】计算：
(1) ＋ ；
解：原式＝ ＋
＝ .
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(2) － .
解：原式＝ －
＝ ＝ .
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4. 计算：
(1) － ；
解：原式＝ －
＝
＝ .
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(2) － .
解：原式＝ －
＝ ＝ .
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5. 【例】计算：
(1) － ；
解：原式＝ －
＝ ＝ .
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(2) ＋ .
解：原式＝ ＋
＝
＝ ＝1.
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6. 计算：
(1) － ；
解：原式＝ －
＝ ＝ .
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(2) － .
解：原式＝ －
＝ ＝
＝ .
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A基础
7. 计算：
(1) － ；
解：原式＝ ＋ ＝ .
(2) － .
解：原式＝ －
＝ .
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8. 计算： － .
解：原式＝ －
＝ ＝ .
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B提升
9. 计算： ＋ .
解：原式＝ ＋
＝ ＝ .
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10. 计算： － .
解：原式＝ －
＝ ＝
＝ .
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C培优
11. 计算： － .
解：原式＝ －
＝
＝ .
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12. 计算： － .
解：原式＝ －
＝ － ＝ ＝1 .
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13. 已知x－2＝0，求 － 的值.
解：∵x－2＝0，∴x＝2，
∴原式＝ －
＝ － ＝ ＝ .
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14. 已知ab＝1，M＝ ＋ ，N＝ ＋ ，试比较M，N的大小.
解：∵ab＝1，
∴M＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝1 ，
N＝ ＋ ＝ ＝＝ ＝1，
∴M＝N.
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感谢聆听
