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课前预习
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课堂学练
11.2.1 三角形的内角(2)
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分层检测
1. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角 .
几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴ .
2. 直角三角形的判定：有两个角 的三角形是直角三角形.
几何语言：在Rt△ABC中，∵ ，∴∠C＝90°.
互余
∠A＋∠B＝90°
互余
∠A＋∠B＝90°
知识点1：直角三角形的性质
1. 【例】如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与
∠DBE有什么关系？为什么？
解：∠CAE＝∠DBE，理由如下：
∵∠C＝∠D＝90°，
∴∠CAE＋∠AEC＝90°，∠DBE＋∠BED＝90°，
∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.
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2. 如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E. 求证：∠A＝
∠B.
证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠A＋∠C＝90°，
∠B＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠B.
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知识点2： 直角三角形的判定
3. 【例】如图，点E是△ABC中AC上的一点，过点E作ED⊥AB，垂
足为D，且∠1＝∠2.求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴∠1＋∠A＝90°，又∠1＝∠2，
∴∠2＋∠A＝90°，∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
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4. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.
求证：△ACD是直角三角形.
证明：∵∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠B＝90°，
又∠ACD＝∠B，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴△ACD是直角三角形.
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证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
A基础
5. 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D. 求证：∠ACD＝∠B.
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解：∵∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠CAB＝90°－∠B＝50°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝ ∠CAB＝25°.
∴∠ADC＝90°－∠CAD＝65°.
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，AD平分∠CAB.
求∠CAD和∠ADC的度数.
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解：∵∠BAC＝90°，∠1＝32°，
∴∠ABC＝90°－∠1＝58°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝29°，
∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABD＝29°.
7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交
BD于点D. 已知∠1＝32°，求∠D的度数.
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解：∵FD⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠B＝90°－∠BED＝35°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B＝55°.
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，
FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°.求∠A的
度数.
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解：在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝58°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－62°－58°＝60°，
∵AD是∠ABC的角平分线，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝30°，
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠EAD＝60°.
B提升
9. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC
于点E，∠B＝62°，∠C＝58°.求∠ADE的度数.
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解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°，
由折叠得∠ADE＝∠ADC＝ ×180°＝90°，
∴∠EAD＝∠CAD＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC－∠EAD－∠CAD＝80°－30°－30°＝20°.
10. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，点D是BC边上的一
点，将△ACD沿AD折叠，点C恰好落在BC边上的点E处.求∠BAE的
度数.
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C培优
11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是∠CAB的平分线，CD是
高，AE，CD相交于点F.
(1)若∠DCB＝40°，求∠CAE的度数；
(1)解：∵CD是高，∴∠CDB＝90°，
又∵∠DCB＝40°，∴∠B＝90°－∠DCB＝50°，
又∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－∠B＝40°，
又∵AE是角平分线，∴∠CAE＝ ∠BAC＝20°.
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(2)求证：∠CEF＝∠CFE.
(2)证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CEF＋∠CAE＝90°，∠AFD＋∠BAE＝90°，
∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，
∴∠CEF＝∠AFD，又∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE.
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课前预习
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课堂学练
11.3.2 多边形的内角和
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分层检测
1. 多边形的内角和：
多边形的边数 3 4 5 6 …
分成的三角形个数 1 2 3 4 …
多边形的内角和 180° 180°×2 180°×3 180°×4 …
由此可得： n边形的内角和等于 .
2. 多边形的外角和：多边形的外角和等于 .
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180°×3
180°×4
(n－2)×180°
360°
知识点1：多边形的内角和
1. 【例】(1)五边形的内角和为 °；
(2)一个多边形的内角和是1260°，求这个多边形的边数.
解：设边数为n，由题意，得(n－2)×180°＝1 260°，
解得n＝9.∴这个多边形的边数为9.
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2. (1)七边形的内角和为 °；
(2)十二边形的内角和为 °；
(3)一个多边形的内角和是1080°，求这个多边形的边数.
解：设边数为n，由题意，
得(n－2)×180°＝1 080°，
解得n＝8.∴这个多边形的边数为8.
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3. 【例】如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD. 若
∠1＝48°，求∠2的度数.
解：∵六边形ABCDEF的各内角相等，
∴∠E＝∠F＝∠FAB＝ ＝120°.
∵∠1＝48°，
∴∠FAD＝∠FAB－∠1＝120°－48°＝72°.
∵∠2＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，
∴∠2＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝48°.
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4. 如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4.求
∠CAD的度数.
解：∵五边形ABCDE的每个内角都相等，
∴∠B＝∠BAE＝∠E＝ ＝108°，
∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝ ＝36°，
∴∠CAD＝108°－36°×2＝36°.
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知识点2：多边形的外角和
5. 【例】(1)五边形的外角和为 °；
(2)正六边形的每个外角为 °；
(3)一个多边形的每个内角都等于144°，求这个多边形的边数.
解：∵多边形的每个内角为144°，
∴每个外角为180°－144°＝36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10.
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6. (1)七边形的外角和为 °；
(2)正八边形的每个外角为 °；
(3)一个多边形的每个内角都等于108°，求这个多边形的边数.
解：∵多边形的每个内角为108°，
∴每个外角为180°－108°＝72°，
∴多边形的边数为360°÷72°＝5.
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A基础
7. (1)九边形的内角和为 °，外角和为 °；
(2)正五边形的每个外角等于 °；
(3)一个多边形的内角和为1800°，则它的边数为 .
(4) 一个多边形的内角和是外角和的5倍，这个多边形的边数为 .
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8. 如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB
的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，那么∠APB的度数是( D )
A. 36° B. 54°
C. 60° D. 66°
D
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B提升
9. 如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1＋∠2＋∠3＋
∠4等于( B )
A. 360° B. 290°
C. 270° D. 250°
B
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10. 如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连接BG，DG. 若∠1＋∠2
＋∠3＋∠4＋∠5＝440°，则∠BGD的大小为( C )
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
C
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(1)解：∵∠B＋∠ADC＝180°，
∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
又∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°－∠A＝130°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝ ∠BCD＝65°，
C培优
11. 如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠ADC＝180°，CE平分∠BCD
交AB于点E，连接DE.
(1)若∠A＝50°，求∠BCE的度数；
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(2)若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE.
(2)证明：∵由(1)知：∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠A＋∠BCE＋∠DCE＝180°，
∵∠CDE＋∠DCE＋∠1＝180°，
∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE，
又∠1＝∠A，∴∠CDE＝∠DCE.
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12. 如图，四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于
点F.
(1)若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠DCB的度数；
解：(1)∵∠ABC＝80°，
∴∠ABE＝180°－∠ABC＝100°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝ ∠ABE＝50°，
∵BF∥CD，∴∠DCB＝∠EBF＝50°；
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(2)已知四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝125°，求∠F的度数.
解：(2)∵∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D＝
360°－105°－125°＝130°，
∵CF平分∠BCD，BF平分∠ABE，
∴∠BCF＝ ∠BCD，∠EBF＝ ∠ABE，
∵∠EBF＝∠BCF＋∠F，
∴∠F＝∠EBF－∠BCF＝ ∠ABE－ ∠BCD
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＝ (180°－∠ABC)－ ∠BCD
＝90°－ (∠ABC＋∠BCD)
＝90°－ ×130°＝25°.
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课前预习
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课堂学练
11.1.3 三角形的稳定性、与三角形有关的线段复习
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分层检测
1. 三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小就不
会 ，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.
2. 四边形的不稳定性：将四根木条用钉子钉成一个四边形，然后拉动
它，它的形状会改变，这说明四边形不具有 .
改变
稳定性
知识点1：三角形的稳定性
1. 【例】下列图形中具有稳定性的是( B )
A B C D
B
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2. 下列图形中，具有稳定性的是( C )
A. B.
C. D.
C
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知识点2：三角形的稳定性的应用
3. 【例】如图，工人师傅安装门时，常用木条EF固定长方形门框
ABCD，使其不变形，这种做法的依据是( D )
A. 两点之间线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 三角形的稳定性
D
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4. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何
原理是( A )
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
A
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A基础
5. 在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是( C )
A. 1，2，4 B. 1，4，9
C. 3，4，5 D. 4，5，9
6. 若一个三角形两边a，b的长度分别是6，5，则第三条边c长度的取值
范围是( D )
A. 2＜c＜9 B. 3＜c＜10
C. 10＜c＜18 D. 1＜c＜11
C
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7. 下列图形具有稳定性的是( D )
A. B.
C. D.
D
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8. 如图，在△ABC中，AE是高，BD是角平分线，CF是中线.下列说法
不正确的是( A )
A. ∠ACF＝∠BCF
B. ∠ABD＝∠CBD
C. ∠AEC＝∠AEB
D. AF＝BF
A
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9. 如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2 cm，S△ABD＝3 cm2，则BC的长为( D )
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
D
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10. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22 cm，AB比AC
长3 cm，则△ACD的周长为( A )
A. 19 cm
B. 22 cm
C. 25 cm
D. 31 cm
A
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B提升
11. (1)已知一个等腰三角形的两边长分别为3 cm和5 cm，则它的周长
为 cm.
(2)若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则它的周长为 .
12. 如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的
中线.若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 .
11或13
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13. 如图，AD是△ABC的中线.
(1)已知AB＝7，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长差为 ；
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(2)已知AE⊥BC，垂足为E. 若BC＝10，AE＝6，求△ABD的面积.
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝ BC＝ ×10＝5，
∴S△ABD＝ BD·AE＝ ×5×6＝15.
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14. 用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍，那么底边的长是多少？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，由题意得x＋3x＋3x＝21，
解得x＝3，
∴底边长为3 cm.
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(2)能围成一边长为5 cm的等腰三角形吗？请说明理由.
解：(2)若5 cm长的边是底边，则腰长为(21－5)÷2＝8(cm)，若5 cm长
的边是腰，则底边长为21－5×2＝11(cm)，
∵5＋5＜11，不符合三角形三边关系，
∴腰长不能为5 cm.综上所述，可以围成底边长是5 cm腰长是8 cm的等
腰三角形.
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C培优
15. 如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O. 求证：AC＋BD＞AB
＋CD.
证明：∵BO＋AO＞AB，CO＋DO＞CD，
∴BO＋AO＋CO＋DO＞AB＋CD，
∴BD＋AC＞AB＋CD.
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16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，DE⊥AB，
DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E，F，G. 求证：BG＝DE＋DF.
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证明：如图，连接AD.
∵S△ABD＝ AB·DE，
S△ACD＝ AC·DF，
S△ABC＝ AC·BG，
又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴ AC·BG＝ AB·DE＋ AC·DF，
∵AB＝AC，∴ AC·BG＝ AC(DE＋DF).
∴BG＝DE＋DF.
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课前预习
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11.2.1 三角形的内角(1)
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分层检测
三角形内角和定理：三角形的内角和等于 .
180°
知识点1：三角形内角和定理
1. 【例】在△ABC中，
若∠A＝40°，∠B＝60°， 则∠C＝ ；
若∠A＋∠B＝110°，则∠C＝ ；
若∠A＝120°，∠B＝∠C，则∠C＝ .
2. 在△ABC中，
若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠C＝ ；若∠A＝∠B＝
70°，则∠C＝ ；若∠A＝60°，则∠B＋∠C＝ .
80°
70°
30°
65°
40°
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知识点2：三角形内角和定理的综合运用
3. 【例】如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是
∠BAC的平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝40°，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×40°＝20°，
在△ABD中，
∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°.
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4. 如图，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是∠BAC的平分
线，求∠ADC的度数.
解：∵∠B＝67°，∠C＝33°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝40°.
在△ACD中，∠ADC＝180°－∠CAD－∠C＝107°.
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5. 【例】下图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方
向，B岛在A岛的北偏东80°，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看
A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB
呢？
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解：由题意得∠CAD＝50°，∠BAD＝80°，∠EBC＝40°.
∵AD∥BE，
∴∠BAD＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝180°－∠BAD＝100°，
∴∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°，
又∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，
∴在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝90°.
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6. 下图是A，B，C三个村庄的平面图，A村在B村的北偏东50°方
向，C村在B村的北偏东80°方向，C村在A村的南偏东20°方向，求
从C村观测A，B两村的视角∠ACB的度数.
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解：由题意∠ABD＝50°，∠CBD＝80°，∠CAE＝20°，
∵BD∥AE，
∴∠BAE＝∠ABD＝50°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝50°＋20°＝70°，
又∠ABC＝∠CBD－∠ABD＝80°－50°＝30°，
∴在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC
＝180°－70°－30°＝80°.
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A基础
7. 在△ABC中，如果∠A＝60°，∠B＝45°，那么∠C等于( C )
A. 115° B. 105°
C. 75° D. 45°
8. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠A＝90°，分别延长BC到点
D，延长AC到点E，则∠DCE的度数为 .
C
50°
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9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝30°，∠DAC＝45°，
则∠B的度数为 .
60°
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10. 如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则
∠DEC的度数为 .
62°
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B提升
11. 如图，在△ABC中，∠A＝48°，CE是∠ACB的平分线，B，C，
D在同一直线上，DF∥CE，∠D＝40°.求∠B的度数.
解：∵DF∥CE，
∴∠ECB＝∠D＝40°，
又∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ECB＝2×40°＝80°，
∴在△ABC中，
∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－48°－80°＝52°.
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12. 如图，在△ABC中，AD是高，AE平分∠BAC，∠B＝50°，∠C
＝70°.
(1)求∠DAC的度数；
解：(1)∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，在△ACD中，
∠DAC＝180°－∠C－∠ADC＝20°.
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(2)求∠DAE的度数.
解：(2)在△ABC中，
∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠DAC＝30°－20°＝10°.
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C培优
13. 如图，BE，CD均是△ABC的角平分线，BE，CD交于点O. 若
∠BOC＝115°，求∠A的度数.
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解：∵∠BOC＝115°，
在△BOC中，
∴∠OBC＋∠OCB＝180°－∠BOC＝180°－115°＝65°，
∵BE，CD分别是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∴∠ABC＋∠ACB＝2∠OBC＋2∠OCB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝
2×65°＝130°，
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝50°.
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14. 如图，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内的点C'处.
(1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠C的度数；
解：(1)∵∠1＝40°，
∴∠C'DC＝180°－∠1＝140°，∵∠2＝30°，
∴∠C'EC＝180°－∠2＝150°，
由折叠得∠CDE＝∠C'DE＝ ∠C'DC＝70°，
∠CED＝∠C'ED＝ ∠C'EC＝75°，
∴∠C＝180°－∠CDE－∠CED
＝180°－70°－75°＝35°.
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(2)猜想∠1，∠2，∠C有什么关系，说明你的理由.
解：(2)∠1＋∠2＝2∠C，理由如下：
∵∠1＝180°－∠C'DC＝180°－2∠CDE，
∠2＝180°－∠C'EC＝180°－2∠CED，
∴∠1＋∠2＝360°－2∠CDE－2∠CED
＝2(180°－∠CDE－∠CED)，
又∠C＝180°－∠CDE－∠CED，
∴∠1＋∠2＝2∠C.
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感谢聆听(共15张PPT)
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课前预习
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课堂学练
11.2.2 三角形的外角
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分层检测
1. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的 组成的角，叫做
三角形的外角.
2. 三角形外角的性质：三角形的外角等于与它 的两个内
角的和.
延长线
不相邻
知识点1：三角形外角的性质
1. 【例】如图，按要求完成下列各题：
(1)若∠A＝30°，∠B＝40°，则∠ACD＝ °；
(2)若∠ACD＝80°，∠B＝50°，则∠A＝ °.
70
30
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2. 求下列图中的x.
x＝ ° x＝ °
150
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3. 【例】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是
△ABC的角平分线.求∠ADC的度数.
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝30°＋45°＝75°.
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4. 如图，已知在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝60°，
∠BDC＝80°.求∠DBC的度数.
解：∵∠A＝60°，∠BDC＝80°，
∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝80°－60°＝20°.
又∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°.
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知识点2：用方程思想求三角形的内角度数
5. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∠DAC＝24°.求∠1的度数.
解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝2x°，
∵∠DAC＝24°，
∴2x＋2x＋24＝180，
解得x＝39，∴∠1＝39°.
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6. 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝∠BAD＝∠C，
∠DAC＝72°.求∠B的度数.
解：设∠B＝∠BAD＝∠C＝x°，
则∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2x°，
∵∠DAC＝72°，∴2x＋x＋72＝180，
解得x＝36，∴∠B＝36°.
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A基础
7. 如图，BC∥DF，∠B＝50°，∠A＝25°.求∠D的度数.
解：∵∠B＝50°，∠A＝25°，
∴∠AEC＝∠B＋∠A＝50°＋25°＝75°，
∵BC∥DF，
∴∠D＝∠AEC＝75°.
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8. 如图，在△ABC中，已知D是BC边延长线上的一点，DE⊥AB于点
E，交AC于点F，∠A＝35°，∠D＝42°.求∠ACD的度数.
解：∵DE⊥AB，
∴∠B＝90°－∠D＝90°－42°＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠B＝35°＋48°＝83°.
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B提升
9. 如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°.求∠BDC的度数.
解：如图，延长BD交AC于点H，
∠BDC＝∠DHC＋∠C，∠DHC＝∠A＋∠B.
∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C
＝60°＋20°＋30°＝110°.
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解：设∠B＝∠C＝∠BAD＝x°，
则∠DAC＝∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2x°，
在△ACD中，∴2x＋2x＋x＝180，解得x＝36，
∴∠ADC＝2x°＝72°，∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－72°＝18°.
10. 如图，D是△ABC中BC边上的一点，AE⊥BC于点E， 且∠B＝
∠C＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC. 求∠DAE的度数.
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C培优
11. 如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE
平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.
(1)当∠BAO＝60°时，求∠C的度数；
解：(1)∵∠MON＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABN＝∠MON＋∠BAO＝90°＋60°＝150°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝ ∠ABN＝ ×150°＝75°，
∠BAC＝ ∠BAO＝ ×60°＝30°，
∴∠C＝∠ABE－∠BAC＝75°－30°＝45°.
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(2)当点A，B在射线OM，ON上任意移动时(不与点O重合)，∠C的大
小是否变化？说明你的理由.
解：(2)∠C的大小不发生变化.理由：
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝ ∠ABN，∠BAC＝ ∠BAO，
∴∠C＝∠ABE－∠BAC＝ ∠ABN－ ∠BAO＝ (∠ABN－∠BAO)，
由(1)得∠ABN＝∠MON＋∠BAO，
∴∠ABN－∠BAO＝∠MON＝90°，
∴∠C＝ ∠MON＝ ×90°＝45°.
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感谢聆听(共16张PPT)
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课前预习
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课堂学练
11.1.1 三角形的边
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分层检测
1. 三角形：由不在 的三条线段首尾顺次相接所组成的
图形叫做三角形.
2. 以A，B，C为顶点的三角形记作 ，读作“
”.
3. 三角形的分类：
按角分类，可分为 三角形、 三角形和 三
角形；
按边分类，可分为 三角形、 三角形和
三角形.
同一条直线上
△ABC
三角形
ABC
锐角
直角
钝角
不等边
等腰
等边
4. 三角形的三边关系：三角形两边之和 第三边，两边之差
第三边.
大于
小
于
知识点1：三角形的相关概念
1. 【例】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD边上一点.图
中共有 个三角形；以AC为边的三角形有
；∠B是△ 和△ 的内角；在△ABD中，
AB边所对的角是 ；在△CDE中，∠DCE所对的边
是 .
5
△ACE、△ACD、
△ABC
ABD
ABC
∠ADB
DE
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知识点2：三角形的三边关系
2. 【例】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C )
A. 5，6，11 B. 3，4，8
C. 5，6，10 D. 6，6，13
3. 以下列各组线段为边不能组成三角形的是( B )
A. 3，4，4 B. 2，6，8
C. 2，5，4 D. 6，8，10
4. 【例】三角形有两条边的长度分别是5和7，则第三条边a的取值范围
是 .
5. 已知△ABC的三条边长分别为4，5和x，则x的取值范围是
.
C
B
2＜a＜12
1＜x＜
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知识点3：等腰三角形周长的计算
6. 【例】一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( C )
A. 7 B. 9 C. 12 D. 9或12
7. 已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长为 .
8. 已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为 .
C
14或16
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9. 【例】用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的3倍，那么各边的长是多少？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，由题意得x＋3x＋3x＝35，
解得x＝5，
∴三边长分别为5 cm，15 cm，15 cm.
(2)能围成有一边的长是8 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(2)若8 cm长的边是底边，则腰长为(35－8)÷2＝13.5(cm)，若8 cm
长的边是腰，
则底边长为35－8×2＝19(cm)，8＋8＜19，不符合三角形三边关系，
综上所述，可以围成底边长是8 cm的等腰三角形.
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A基础
10. 如图，图中以BC为边的三角形的个数是( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
11. 如图，点D在△ABC的边BC上，连接AD. 在△ABD中，边AB所对
的角是( B )
A. ∠B B. ∠ADB
C. ∠BAD D. ∠C
C
B
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12. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是( C )
A. 1，2，6 B. 1，2，3
C. 2，3，4 D. 3，3，6
13. 在下列长度的四根木棒中，能与2 cm，5 cm长的两根木棒钉成一个
三角形的是( C )
A. 2 cm B. 3 cm C. 5 cm D. 7 cm
C
C
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14. 若三角形的两边a，b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是
( C )
A. 2＜c＜5 B. 3＜c＜8
C. 2＜c＜8 D. 2≤c≤8
15. 一个三角形的两边长分别是17 cm和9 cm，则它的第三边不可能是
( B )
A. 23 cm B. 8 cm
C. 10 cm D. 18 cm
C
B
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B提升
16. 已知三角形三边长分别为2，3，x.若x为奇数，则x的值为( B )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
17. 一个三角形的两边长分别为12和7，第三边长为整数，则第三边长的
最大值是( B )
A. 19 B. 18
C. 17 D. 16
B
B
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18. 若等腰三角形的两边长是10 cm和5 cm，则它的周长为( B )
A. 20 cm B. 25 cm
C. 20 cm或25 cm D. 15 cm
19. 已知在△ABC中，AB＝8，且BC＝2a＋2，AC＝22，则a的取值
范围为 ，若△ABC为等腰三角形，则a＝ .
B
6＜a＜14
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C培优
20. 一个三角形的三边长为3，5和a.
(1)求它的周长L的取值范围；
解：(1)∵5－3＜a＜5＋3，∴2＜a＜8，
∴3＋5＋2＜L＜3＋5＋8，
即10＜L＜16.
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(2)若三角形的周长为偶数，求它的第三边a的长.
解：(2)由(1)得10＜L＜16
又∵周长为偶数，
∴L＝12或14.
∴a＝12－3－5＝4或a＝14－3－5＝6.
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21. 已知△ABC中，三边长为a，b，c，且满足a＝b＋2，b＝c＋1.
(1)试说明b一定大于3；
解：(1)∵a＝b＋2，∴b＝a－2，
又∵b＝c＋1，
∴a－2＝c＋1，∴a－c＝3，
由三角形三边关系得b＞a－c，
∴b一定大于3.
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(2)若这个三角形周长为22，求a，b，c.
解：(2)∵b＝c＋1，∴c＝b－1，
∵a＋b＋c＝22，
∴b＋2＋b＋b－1＝22，解得b＝7，
∴a＝b＋2＝9，c＝b－1＝6.
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11.3.1 多边形、与三角形有关的角复习
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分层检测
1. 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.
2. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角.
3. 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
4. 多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段.
5. 正多边形：各个角都 ，各条边都 的多边形.
不相邻
相等
相等
知识点1：多边形的概念
1. 【例】下列图形是多边形的是( D )
A B C D
2. 下面四个图形中是多边形的是( C )
A. B.
C. D.
D
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3. 【例】如图，下列图形不是凸多边形的是( B )
A B C D
4. 下列各图中，是凸多边形的是( D )
A B C D
B
D
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知识点2： 多边形的对角线
5. 【例】从一个多边形的一个顶点出发，最多可引3条对角线，则它的
边数是( B )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 六边形的对角线共有( D )
A. 6条 B. 7条
C. 8条 D. 9条
B
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知识点3：正多边形的概念
7. 【例】下列图形中，是正多边形的是( D )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 长方形 D. 正方形
8. 下列图形为正多边形的是( A )
A B C D
D
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A基础
9. 在△ABC中，若∠A＝70°，∠B＝40°，则∠C的度数为( C )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
10. 在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C， 则∠C的度数为( A )
A. 30° B. 45°
C. 50° D. 60°
C
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11. 将一副三角板(含30°、45°的直角三角形)摆放成如图所示的样子，
图中∠1的度数是( B )
A. 90° B. 120°
C. 135° D. 150°
12. 如图，在△ABC中，高BD，CF相交于点E. 若∠A＝52°，则
∠BEC＝( B )
A. 116° B. 128°
C. 138° D. 142°
B
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13. 将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE. 若∠E＝
30°，则∠AFC的度数是( D )
A. 45° B. 50°
C. 60° D. 75°
14. 如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O.
若∠BOC＝140°，则∠A的度数是( C )
A. 40° B. 90°
C. 100° D. 140°
D
C
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B提升
15. 如图，∠BCD＝150°，则∠A＋∠B＋∠D的度数为 .
150°
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16. 如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在
△ABC外.若∠2＝35°，则∠1的度数为 度.
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17. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一点，
PE⊥AD交BC的延长线于点E. ∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的
度数.
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解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝180°－35°－85°＝60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°.
∴∠PDE＝∠B＋∠BAD＝35°＋30°＝65°.
又∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠E＝90°－∠PDE＝90°－65°＝25°.
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C培优
18. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，∠ABC的平
分线BE交AD于点F.
(1)求证：∠AEF＝∠AFE；
(1)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C，
又∵∠BAD＝∠C，
∴∠AEF＝∠AFE.
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(2)若G为BC上一点，且FE平分∠AFG，∠ABC＝50°，∠FGB＝
30°，求∠AEF的度数.
(2)解：∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE＝∠GFE，
∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，
∴FG∥AC，∴∠C＝∠FGB＝30°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝ ∠ABC＝25°，
∴∠AEF＝∠EBC＋∠C＝25°＋30°＝55°.
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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
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分层检测
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点
和 之间的线段叫三角形的高.
2. 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边的 的
线段叫三角形的中线.
3. 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相
交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的 .
4. 三角形的重心：三角形三条 的交点叫做三角形的重心.
垂足
中点
角平分线
中线
知识点1：三角形的高与画法
1. 【例】如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，按下列要求画图：
(1)画AB边上的高CD；
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(2)画BC边上的高AE.
解：(1)如图所示，CD为所求.
(2)如图所示，AE为所求.
知识点2：三角形的高和面积
2. 【例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)画出△ABC的高CD；
解：(1)图略.
(2)若AC＝4，BC＝3， AB＝5，求CD的长.
(2)∵S△ABC＝ AB·CD＝ BC·AC，
∴ ×5·CD＝ ×3×4，∴CD＝ .
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知识点3：三角形的中线
3. 【例】如图，在△ABC中，AD为中线.若S△ABD＝4，则S△ACD＝
( C )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
C
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4. 如图，D，E分别为△ABC的边BC，AC的中点.若△ABC的面积为
8，则△ADE的面积为( A )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
A
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知识点4：三角形的角平分线
5. 【例】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线.则下列结论正确的
是( A )
A. ∠BAC＝2∠BAD
B. ∠BAD＝ ∠ABC
C. ∠BAD＝∠ABC
D. ∠CAD＝∠ABC
A
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6. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAE，∠DAE＝∠CAE. 下列结论错
误的是( D )
A. ∠BAD＝∠EAD
B. AE平分∠DAC
C. ∠BAE＝2∠CAE
D. BE＝CE
D
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A基础
7. 如图，AE是△ABC的中线，且EC＝6，DE＝2，则BD的长为( C )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
C
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8. 如图，△ABC的BC边上的高是( B )
A. BE
B. AF
C. CD
D. CF
B
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9. 如图，BE是∠ABD的角平分线，BC⊥AD交AD的延长线于点C，
且CD＝DE，则下列说法中不正确的是( C )
A. ∠1＝∠2
B. BD是△BCE的中线
C. ∠2＝∠3
D. BC是△ABE的高
C
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10. 如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线与高，AE＝
4，S△ABC＝12，则CD的长为( B )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
B
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B提升
11. 如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E 是BC边上的中点.若
S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是( C )
A. 6 B. 4
C. 3 D. 2
C
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12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是△ABC的高和
中线，AB＝6，AC＝8，△ACE与△ABE周长差为 .若BC＝10，
则AD＝ .
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C培优
13. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过
点E作EF⊥BC于点F. 已知BC＝8，△ABC的面积为24，求EF的长.
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解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC＝ ×24＝12，
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，
∴S△BDE＝S△ABE＝ S△ABD＝ ×12＝6，
∴ BD·EF＝6，又BD＝ BC＝ ×8＝4，
∴ ×4·EF＝6，∴EF＝3.
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