2024-2025学年高中数学人教A版必修一同步测试：1.1 集合的概念（含解析）

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2024-2025学年高中数学人教A版必修一同步测试：1.1 集合的概念
一、选择题
1．集合用列举法可以表示为( )
A. B.
C. D.
2．方程组的解组成的集合是( )
A. B. C. D.
3．已知集合，，则集合B中元素个数为( )
A.5 B.6 C.8 D.9
4．下列几组对象中不能组成集合的是( )
A.高中数学必修第一册课本中所有的难题
B.2023年参加杭州亚运会的全体运动员
C.小于9的所有素数
D.方程的实数根
5．已知集合，则集合A用列举法可表示为( )
A. B. C. D.
6．下列关系中，正确的个数为( )
①；②；③；④；⑤.
A.5 B.4 C.3 D.2
7．已知集合S中的三个元素a，b，c是的三条边长，那么一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
8．设集合，若，则实数( )
A.0 B. C.0或 D.0或1
二、多项选择题
9．已知集合，，，则a为( )
A.2 B. C.5 D.
10．方程的所有实数根组成的集合为( )
A. B.
C. D.
11．下列关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
12．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是( )
A.，满足戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
三、填空题
13．非空有限数集S满足：若a，，则必有，，.则满足条件且含有两个元素的数集______.（写出一个即可）
14．若，则实数_______.
15．设集合，，，则集合______.
16．若集合，，定义集合，则集合用列举法可表示为______.
四、解答题
17．判断正误.
（1）由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为.( )
（2）0与表示的是同一个集合.( )
（3）方程的所有解的集合可表示为.( )
18．已知集合,,.
（1）若,则是否存在,,使成立
（2）对于任意,,是否一定存在,使,证明你的结论.
19．已知集合A中的元素全为实数,且满足：若,则.
(1)若,求出A中其他所有元素.
(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数,再求出A中的元素.
20．中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
（1）计算：；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
（3）若“A中的元素”是“对任意，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
参考答案
1．答案：C
解析：由，，可得，此时的值分别为3，6，，，，.故选C.
2．答案：D
解析：解方程组得方程组的解组成的集合是.故选D.
3．答案：A
解析：集合，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，，
，共有5个元素.
故选A.
4．答案：A
解析：A选项中的对象不具有确定性，不能组成集合；B，C，D选项中的对象可以组成集合，故选A.
5．答案：A
解析：解方程，可得或，因为，所以，则.故选A.
6．答案：C
解析：由题意得①②⑤正确，③④错误，所以正确的个数为3，故选C.
7．答案：D
解析：因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.
8．答案：C
解析：设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或0.
故选：C
9．答案：BC
解析：依题意，
当时，或，
若，则，，符合题意；
若，则，对于集合B，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
当时，或，
若，则，对于集合A，不满足集合元素的互异性，所以不符合.
若，则，，符合题意.
综上所述，a的值为或5.
故选：BC.
10．答案：CD
解析：由，解得或0，
所以方程的所有实数根组成的集合为.
故选：CD.
11．答案：AB
解析：，故A正确；
不是有理数，所以，故B正确；
N为自然数集，所以，故C错误；
不是整数，所以，故D错误；
故选：AB.
12．答案：BD
解析：对于选项A，因为，，，故A错误；
对于选项B，设，，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若，一定存在使不成立；若，则不成立，故C错误；
对于选项D，设，，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.
故选:BD.
13．答案：（或）
解析：不妨设，根据题意有，ab，所以，，中必有两个是相等的.
若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时.
若，则，此时，故，此时.若，则，此时，故，此时.
综上，或.
故答案为：（或）.
14．答案：4或
解析：，
，即，此时，符合题意；
，即，此时，，不满足元素的互异性，故舍去；
，即，经检验符合题意；
综上，或.
故答案为：4或.
15．答案：
解析：，时；，时；
，时；，时；
，时；，时；
，时；，时；
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：当时，b可取1，2，6，则x的值分别为1，2，6；
当时，b可取1，2，6，则x的值分别为3，4，8；
当时，b可取1，2，6，则x的值分别为6，7，11.
由集合中元素的性质，可知集合.
故答案为:.
17．答案：×；×；√
解析：（1）集合中元素要满足互异性，故错误；
（2）0为元素，是集合，故错误；
（3）方程的解为1，2，故用集合表示为，故正确.
18．答案：（1）存在
（2）不一定存在,证明见解析
解析：（1）设,
令,,则.
故若,则存在,,使成立.
（2）不一定存在,使,证明如下:
设,,k,,则,k,.
当时,,此时存在,使;
当时,,此时不存在,使成立.
故对于任意,,不一定存在,使.
19．答案：(1)A中其他所有元素为,,2;
(2)0不是A的元素,当,A中的元素是：3,,,.
解析：(1)由题意可知：,
则,,,,
所以A中其他所有元素为,,2.
(2)假设,则,
而当时,不存在,假设不成立,
所以0不是A的元素,
取,则,,,,
所以当,A中的元素是：3,,,.
20．答案：（1）
（2）交换律：.证明见解析
（3）
解析：（2）交换律：.证明如下：
由题知，，
，
所以.
（3）若A中的元素，对任意，都有成立，由（2）知只需.
故，
即.
①若，显然有成立；
②若，则解得
所以当对任意，都有成立时，.
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