2024-2025学年高中数学人教A版必修一同步测试：1.4 充分条件与必要条件（含解析）

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2024-2025学年高中数学人教A版必修一同步测试：1.4 充分条件与必要条件
一、选择题
1．方程与有一个公共实数根的充要条件是( )
A. B. C. D.
2．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为( )
A.1 B. C.或1 D.或
3．已知等差数列的前n项和为,“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是( )
A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3
5．对于任意实数x，用表示不大于x的最大整数，例如：，，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．若实数a，b满足，，且，则称a与b互补.记，那么是a与b互补的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多项选择题
7．下列选项中是的充分条件的是( )
A. B. C. D.
8．若“”是“”的充分不必要条件,则实数a的值可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题
9．下图是由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关和有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的_________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
10．已知p：是q：的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.
11．“”是“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
12．已知a，b是实数，求证：成立的充要条件是.
13．已知，，.
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：设方程与有公共实根，
则两式相减得，
若，则两方程相同，为，且无实数根，
若，则，所以，解得.
当时，两方程分别为，，
方程的两个实数根分别为1，2，
方程的两个实数根分别为1，，
即方程与有一个公共实数根.
综上可知，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
故选D.
2．答案：B
解析：因为“”是“”的充分不必要条件，所以当时，，解得或.
当时，可化为，所以，此时“”是“”的充要条件，舍去；
当时，可化为，解得或，此时“”是“”的充分不必要条件.
综上所述，.故选B.
3．答案：C
解析：当时,,
得;当时,
,
得,易得“”,是“”,的充要条件,
故选：C.
4．答案：C
解析：因为此数为小于5的正整数，所以.因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，所以，，故且，解得，故“”表示的数字是1或2.故选C.
5．答案：A
解析：对任意的，记，则，
若，则，即，则，
因为，，则，由不等式的基本性质可得，
所以，，所以，，即，
所以，“”“”；
若，如取，，则，故“”“”.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．答案：C
解析：因为，
所以，即，
显然，
所以，所以，且，，
所以是a与b互补的充分条件；
当a与b互补时，则有，，且，
所以a，b中至少有一个数为0，
所以，，
所以，
所以是a与b互补的必要条件；
所以是a与b互补的充要条件.
故选：C.
7．答案：ABD
解析：当时，；当时，；当时，；当时，.所以A、B、D项是的充分条件.
8．答案：CD
解析：由解得：.因为“”是“”的充分不必要条件,
所以.
故选：CD.
9．答案：充分不必要
解析：当开关和有且只有一个闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，开关和也有可能都闭合，故电路中“开关和有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件.
10．答案：
解析：因为p：是q：的必要不充分条件，
故集合为集合的真子集，故只需.
故答案为：.
11．答案：
解析：由题意得是的真子集，故.
故答案为：.
12．答案：证明见解析
解析：证明：先证明充分性：若，
则，
故充分性成立；
再证明必要性：若，则，
即，
即，
即，
因为，所以，即，故必要性成立.
所以成立的充要条件是.
13．答案：（1）
（2）
解析：因为，所以，
不妨设，.
（1）若p是q的充分条件，则，
所以解得，
因此m的取值范围是.
（2）若p是q的必要条件，则，
所以解得，又因为，
故m的取值范围是.
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