2024-2025学年高中数学人教A版必修一同步测试：一元二次函数、方程和不等式（含解析）

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2024-2025学年高中数学人教A版必修一同步测试：一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．若正数x,y满足,则的最小值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买黄金,店员先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中,使天平平衡;再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中,使得天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为.则与20的大小关系为( )
A. B. C. D.无法确定
3．若且,则的值与-5的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
4．给出下列结论：
①两个实数a，b之间，有且只有，，三种关系中的一种；
②若，则；
③若，；
④已知，则.
其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
6．已知集合,.则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．已知正数a,b满足,则下列说法一定正确的是( )
A. B.
C. D.当且仅当时,取得最小值
8．对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式的解集可能为( )
A. B.
C. D.或
三、填空题
9．若,,则的最小值为__________.
10．已知实数，，且，则的最小值是________.
11．设,使不等式成立的的取值范围为______________.
四、解答题
12．（1）若正数x，y满足，求的最小值；
（2）求的最小值.
13．已知a，b，c均为正实数.
（1）求证：；
（2）若，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：,
当且仅当,即时等号成立,所以的最小值是8.
2．答案：A
解析：记天平左臂长为,右臂长为,第一次称得的黄金为,第二次称得的黄金为,
其中,
由题可得解得
所以,
当且仅当时取等号,而,所以.
3．答案：A
解析：,
且,,.
故选：A.
4．答案：C
解析：两个实数a，b之间，有且只有，，三种关系中的一种，所以①正确；
，则，即或，所以②错误；
因为，，所以，即，即，所以③正确；
因为，所以，所以④正确.
即正确结论的个数为3.
故选：C.
5．答案：C
解析：解不等式,得或,
则,所以.
故选：C.
6．答案：D
解析：由题,
因为函数单调递增,
所以,
所以,
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选:D.
7．答案：ABD
解析：由,得,因为,,
所以,
当且仅当,且,即时,等号成立.所以的最小值为9,故A、D项正确;
因为,所以,故B项正确,C项不正确.
8．答案：BC
解析：当时,函数开口向下,
若,不等式解集为;
若,不等式的解集为,
若,不等式的解集为.
综上,B、C项都可能成立.
9．答案：4
解析：因为,所以,当且仅当,,即时等号成立.
10．答案：24
解析：因为，，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：24
11．答案：
解析：,
即,
即,
故的取值范围是.
12．答案：（1）5
（2）
解析：（1）因为，，，所以，
因此
，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以的最小值为5.
（2）令，则，，
因此，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
13．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：因为a，b，c均为正实数，
所以（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），
所以（当且仅当时等号成立），
即（当且仅当时等号成立）.
（2）证明：由题可得，
则不等式的左边
，
当且仅当，，，，
即时取“=”.
故成立.
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