6.5 垂直关系 高一数学北师大版（2019）必修第二册同步课时训练（含解析）

6.5 垂直关系 高一数学北师大版（2019）必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．如图，在斜三棱柱中，，，则在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.内部
2．在正方体中，点P在线段上运动，则异面直线CP与的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．如图,将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上,则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于( )
A. B. C. D.
4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )
A. B. C. D.
5．如图，棱长为2正方体，O为底面AC的中心，点P在侧面内运动且，则点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和最小是( )
A. B. C. D.
6．正四棱锥的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为( )
A. B. C.4 D.
7．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
8．如图，已知棱长为的正方体中，点M在正方体的棱CB、、CD上运动，平面，垂足为N，则点N形成图形中的各线段长度之和是( )
A.2 B. C. D.
二、多项选择题
9．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个 B.至多一个 C.有一个或无数个 D.不存在
10．如图所示，在矩形ABCD中，，，E为CD上一动点，现将沿BE折起至，在平面FBA内作，G为垂足.设，，则下列说法正确的是( )
A.若平面AEF，则
B.若平面BEF，则
C.若平面平面ABED，且，则
D.若平面平面ABED，且，则
11．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若，，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，则
12．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面平面PCD，则应补充的一个条件可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，D是的中点，点F在线段上.当__________时，平面.
14．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面都是等边三角形，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P从点B出发绕表面一周到再回到点B，其路程为___________.
15．已知在四棱锥中，平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面平面PCD.
16．已知中，，P为平面ABC外一点，且，则平面PBC与平面ABC的位置关系是_________.
四、解答题
17．如图所示，在斜三棱柱中，底面ABC是等腰三角形，，D是BC的中点，侧面底面ABC，过侧面的对角线的平面交侧棱于点M.
（1）求证：.
（2）若，求证：截面侧面.
（3）若截面平面，判断是否成立，并说明理由.
18．如图所示，在四棱锥中，侧面底面，，底面ABCD是直角梯形，其中，，，O是AD上一点.
（1）若平面PBO，试指出点O的位置；
（2）求证：平面平面PCD.
19．如图，正方形ABCD和梯形BDEF所在的平面互相垂直，，，与BD交于点O，G，H分别为线段AB，BF的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面ADE；
（3）若，求证：平面平面BGF.
20．如图，AC是半圆O的直径，，B为圆周上一点，平面，，，.
（1）求证：平面平面AED.
（2）在线段AD上是否存在点M，使得平面AED？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.
21．中国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在三棱锥中，平面ABC.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填在下面的横线处，并给出证明.
若______________________，则三棱锥为“鳖臑”.
（2）已知三棱锥是一个“鳖臑”，且，，，点D在内，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得，说明作法，并给出证明.
22．如图，已知四棱锥的侧棱DE与四棱锥的侧棱BF都与底面ABCD垂直，，，，，证明：平面BCE.
参考答案
1．答案：A
解析：连接，由，，，得平面，所以平面平面，因此在底面ABC上的射影H必在直线AB上.
2．答案：D
解析：连接，因为，所以CP与的夹角就是CP与的夹角，即.当点P从向A运动时，从增大到，但当点P与重合时，，与CP与为异面直线矛盾，所以异面直线CP与的夹角的取值范围是.
3．答案：C
解析:依题意可知,,,
所以平面,
所以折痕AD所在直线与桌面所成的角等于.
故选:C
4．答案：D
解析：对于A，如图（1），连接AE，由题可知，，，平面AEB，，同理可证.又，平面MNQ.
对于B，AB为上底面的对角线，显然.如图（2），连接FG.，，.又，平面MNQ.
对于C，由题可知，，，平面MNQ.
对于D，如图（3），连接KB，，AB与KB所成角为，与MN所成角为，AB与平面MNQ不垂直.故选D.
5．答案：A
解析：取中点F，连接AC，FA，FC，BD，FO，
由，，可知，则，
所以由知，即.
因为平面ABCD，⊥平面ABCD，所以，又，BD∩＝B，
所以平面，因为平面，所以，
因为，所以平面ACF，
因为，所以平面ACF，平面ACF，
因为P在侧面内，所以平面平面，即P在CF上；
因为平面⊥平面ABCD，且交线为BC，
所以P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，
将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图：
将B关于CF对称到，过作与E，则即为点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和的最小值.
以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)，
直线CF方程为，即，
设，则，
所以.
故选：A﹒
6．答案：A
解析：如图，设AC，BD交于O，连接SO，
由正四棱锥的性质可得，平面ABCD，因为平面ABCD，故.
又，，SO，平面SBD，故平面SBD.
由题意，则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥的交线，即如图EFG，则平面EFG.
由线面垂直的性质可得平面平面EFG，
又由面面平行的性质可得，，，
又E是边BC的中点，故EG，GF，EF分别为，，的中位线.
由题意，，故
即动点P的轨迹的周长为.
7．答案：C
解析：选项A.B.D中m均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内, 故选C
8．答案：C
解析：点N形成图形是棱CB、、CD在平面上的射影线段构成的，由于平行线段在同一平面内的射影长度是相等的，所以CB、、CD在平面上的射影线段长度分别等于棱、、在平面上的射影线段长度.正方体棱长为，是边长为2的等边三角形，（H是的中心）.故选C.
9．答案：B
解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.
10．答案：AC
解析：对于A，若平面AEF，则，在中，，，则，，又，则，所以，故A正确.
对于B，若平面BEF，则，，则，在中，，即，解得，故B错误.
对于C，如图1，过点F作，垂足为H，连接HG，因为平面平面ABED，平面平面，所以平面ABED，所以，又，，所以平面FHG，所以.因为，所以在等腰直角三角形EFB中，，又，所以在中，，故C正确.
对于D，若平面平面ABED，因为平面平面，，所以平面ABED，所以.如图2，过点F作，垂足为H，连接HG，则易得平面FGH，所以.连接CH，则有C，H，G三点共线.因为，，所以，所以，故，又，，所以，故D错误.故选AC.
11．答案：AC
解析：根据平面与平面垂直的性质知A正确；对于B，m与的位置关系可能是或或m与相交，B错误；易知C正确；对于D，m与的位置关系可能是或或m与相交，D错误.故选AC.
12．答案：BD
解析：连接AC.因为底面ABCD，底面ABCD为菱形，所以，，又，所以平面PAC，所以.所以当或时，有平面MBD.又平面PCD，所以平面平面PCD.故选BD.
13．答案：a或2a
解析：连接CD（图略）.
由已知得是等腰直角三角形，，D是的中点，.
平面平面，平面平面，平面.
又平面，.
若平面，则.
设，则，，，在中，，解得或.
14．答案：
解析：四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面都是等边三角形，则，如图，取SC的中点E，连接BE，DE，
则有，，又，平面，平面BDE，所以平面BDE.因为动点P在表面上运动，并且总保持，所以点P的运动轨迹为线段BE，DE，DB.在正方形ABCD中，，则，在等边三角形SBC中，，同理得，故动点P从点B出发绕表面一周到再回到点B，其路程为.
15．答案：(或)
解析：，，易知，当时，，又，平面MBD，又平面PCD，平面平面PCD.
16．答案：平面平面ABC
解析：因为，所以P在所在平面上的射影必落在的外心上，
又的外心为BC的中点，设为O，则平面ABC，
又平面PBC，所以平面平面ABC.
17、
（1）答案：证明见解析
解析：，D是BC的中点，.
底面平面，底面平面，平面.
又平面，.
（2）答案：证明见解析
解析：如图，延长与BM的延长线交于点N，连接.
，.
，，
侧面，又平面，
截面侧面.
（3）答案：成立.理由见解析
解析：若截面平面，则成立.理由如下：
如图，过M作于点E，连接.
截面侧面，截面侧面，
侧面.
又侧面，，四点共面.
侧面，，
四边形AMED是平行四边形，
又，.，，
，.
18、
（1）答案：点O是线段AD上靠近点D的一个三等分点
解析：平面，平面ABCD，平面平面，.
又，四边形BCDO为平行四边形，，又，
，即点O是线段AD上靠近点D的一个三等分点.
（2）答案：证明见解析
解析：侧面底面ABCD，侧面底面，底面ABCD，且，侧面PAD.
又侧面，.
又，且，平面PAB.
又平面，平面平面PCD.
19、
（1）答案：证明见解析
解析：因为四边形ABCD为正方形，所以.
因为平面平面BDEF，且平面平面，
所以平面BDEF.
又平面BDEF，所以.
（2）答案：证明见解析
解析：方法一：取AD的中点M，连接ME，MG.
在中，G，M分别为AB，AD的中点，
所以，且.
因为，且，
所以，且，
所以四边形GMEF为平行四边形，
所以.
又平面，平面ADE，
所以平面ADE.
方法二：连接OF，OG.因为，且，所以，且，
所以四边形DOFE为平行四边形，所以.
又平面，平面ADE，
所以平面ADE.
因为O，G分别为BD，AB的中点，所以.
又平面，平面ADE，
所以平面ADE.
因为，所以平面平面ADE.
因为平面GOF，所以平面ADE.
（3）答案：证明见解析
解析：如图，连接OH.
在中，O，H分别为BD，BF的中点，
所以.
因为，所以.
因为，，平面AHC，
所以平面AHC.
又平面BGF，所以平面平面BGF.
20．答案：（1）证明见解析
（2）存在满足条件的点M，且点M为线段AD的中点
解析：（1）平面，.
为圆周上一点且AC是半圆O的直径，
，又，平面AEB.
，平面AEB，
又平面，平面平面AED.
（2）存在满足条件的点M，且点M为线段AD的中点.证明如下：
设，则，，
.
又，，
，.
如图所示，取AE中点N，连接BN，MN，CM，则.
由（1）可知平面平面AED，平面平面，平面AED.
，，，
，，，
四边形BCMN为平行四边形，
，平面AED.
21．答案：（1）；（答案不唯一）
（2）见解析
解析：（1）；.（答案不唯一）
证明如下：
因为平面，平面ABC，
所以，，，
所以，均是直角三角形.
当时，因为，平面PAB，
所以平面PAB，
又平面PAB，所以，
所以是直角三角形，显然是直角三角形，
所以三棱锥为“鳖臑”.
（2）如图，连接CD，BD，在内，过点D作，即可得l为所求直线.
证明如下：
在中，由余弦定理可得
，
所以，所以.
又底面，平面ABC，所以，
又，平面PAC，
所以平面PAC，
又平面PAC，所以.
又，，平面BCD，
所以平面，平面BCD，
所以.
22．答案：证明见解析
解析：证明：平面，，
，，.
平面，，
，，.
又平面，平面ABCD，
，
又，四边形BEDF为平行四边形，
，
平面，平面BCE，
平面BCE.