21.1一元二次方程同步培优卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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21.1一元二次方程同步培优卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，，
3．若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
5．若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
6．下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若关于的方程（其中）的解是，，且满足，则的值是（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．
8．在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．将一元二次方程化成一般形式为 ．
10．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为 ．
11．如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 ．
12．已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ．
13．若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。
14．已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ．
三、解答题
15．将2x（x﹣1）＝x+4化成一元二次方程的一般形式，并写出一次项和常数项．
16．若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．
17．已知m是方程x2 x 3=0的一个实数根，求代数式的值．
18．先化简，再求值：，其中x是方程的根．
19．已知关于x的一元二次方程x2 (m+1)x+m+6=0的其中一个根为3．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长．
20．阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　．
（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A B A B C A
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．该方程中，当时，它不是一元二次方程，不符合题意；
B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．该方程不是整式方程，不符合题意；
D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中， a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据概念作答即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数，常数项．
故选A．
3．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解．
【详解】解：设，则一元二次方程可化为，
，
关于x的一元二次方程有一根为，
一元二次方程有一个根为，
则，即，
一元二次方程必有一根为2025．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可.
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴的系数不为0，即，
∴，
故选：A.
6．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：①，是一元二次方程；
②，当时，不是一元二次方程；
③，不是整式方程，不是一元二次方程；
④，是一元二次方程；
⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；；
⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有2个，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查一元二次方程解的定义，代数式求值等知识，根据题意，由一元二次方程解的定义得到也是关于的方程（其中）的解，从而有或，解得或（负值舍去），代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键．
【详解】解：关于的方程（其中）的解是，，且满足，
也是关于的方程（其中）的解，
或，解得或（负值舍去），
，
故选：C．
8．A
【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键．
设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论．
【详解】解：线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下：
设，则，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
线段的长是一元二次方程的一个正根．
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，首先移项，合并同类项，化为一般式即可．
【详解】解：，
移项，得，
合并同类项，得，即，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，将已知根2代入一元二次方程即可求得k的值．
【详解】解：将代入，得：，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解；
由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为0，
将代入原方程中得
当时，
故答案为：．
12．1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等，
，
解得：，
故答案为：1．
13．
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
．
故答案是：．
14．
【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为；
令，
关于的一元二次方程化为，
的解为，
的解为，即或，
，
关于的一元二次方程的解是，
故答案为：．
15．2x2﹣3x﹣4＝0，一次项为﹣3x，常数项为﹣4
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项以及常数项即可．
【详解】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，
则一次项为﹣3x，常数项为﹣4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
16．m＝﹣2
【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，
∴
解得：
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．
17．6．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2=m+3，则（m2-m）（m-+1）=（m+3-m） ，然后合并后进行乘法运算即可．
【详解】解：∵m是方程x2-x-3=0的一个实数根，
∴m2-m-3=0，即m2=m+3，
∴（m2-m）（m-+1）=（m+3-m）
=3×
=3×2
=6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18．，
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x2+x＝3代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式


，
当x2+x﹣3＝0时，
∴x2+x＝3，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算．
19．（1）m=6，方程的另一根为4；（2）此直角三角形的第三边长为5或．
【分析】（1）把x=3代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根；
（2）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）把x=3代入方程可得9-3（m+1）+m+6=0，
解得m=6，
当m=6时，原方程为x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
即方程的另一根为4；
（2）设此直角三角形的第三边长为a，
当4是直角边时，
∴a=；
当4是斜边时，
a=；
故此直角三角形的第三边长为5或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解及勾股定理，将方程的解代入原方程求出m的值是解题的关键．
20．（1）﹣x2﹣4x﹣3＝0；（2）1
【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【详解】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
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