21.2解一元二次方程同步培优卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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21.2解一元二次方程同步培优卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A． B．9 C． D．36
2．关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定根的情况
3．一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
4．以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　）
A．1 B． C．3 D．
6．用配方法解一元二次方程，步骤如下：①，②，③，④即，．其中开始错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．用配方法解关于x的方程时，此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
二、填空题
9．方程的解为 ．
10．将一元二次方程配方得 ．
11．已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
12．设是一元二次方程的两个根，则 ．
13．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ．
14．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数 ．
15．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
16．有两个关于的方程：和：，其中，下面四个结论中，错误的有 （填序号）
①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根；
②若方程两根符号相同，则方程的两根符号也相同；
③若是方程的一个根，则是方程的一个根；
④若方程、有一个相等的实数根，则这个实数根必定是．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中满足．
18．解一元二次方程：
(1)（配方法）；
(2)（公式法）；
(3)；
(4)．
19．列方程解决问题：一个三角形的三边长为3个连续的正整数，若这个三角形为直角三角形，求此三角形的三条边长．
20．把方程配方，得到．
(1)求常数与的值；
(2)求出此方程的解．
21．若直线分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，轴，B为垂足，且．
(1)求点B和点P的坐标；
(2)点D是直线上一点，是直角三角形，求点D的坐标；
(3)y轴上是否存在点Q，以Q、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B C B C B C
1．A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题根据求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
由题意知，，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先整理确定公因式，再提出公因式，求出解即可．
【详解】解：，
整理，得，
因式分解，得，
即或，
∴，．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：A． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，
∴，故该选项正确，符合题意；
D． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵的两根为，
∴．，
∵，
∴，，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先两边乘以4，再开方，移项，合并同类项得出解并判断即可．
【详解】解：，
两边乘以4，得，
开方，得，
即，
∴．
其中开始错误得步骤是③．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据一元二次方程的解法--配方法的过程，移项、配方(等式左右两边加上一次项系数一半的平方)、再结合完全平方公式将式子合并起来，即可解题．
【详解】解：
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：由题意，得
且，
解得且，
故选C．
9．，，
【分析】本题主要考查了解方程，先分解因式，变为，然后再解方程或或即可．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或或，
解得：，，．
故答案为：，，．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，先移项，得，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，，最后配成完全平方公式，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴先移项，得
则
∴
故答案为：
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，将代入原方程求出k值是解题的关键．
将代入原方程求出k值，再根据根与系数的关系结合方程的一根为1即可得出结论．
【详解】将代入原方程得：，
解得：，
原方程为，
设方程的另一个根为，
则，解得，
方程的另一个根是．
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，根据题意得到，代入即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查实数的运算，理解新定义是解题的关键．根据题意得到，从而解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意得：，
，
解得．
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分类讨论：①当时，解方程即可；当时，，解方程可得答案.
【详解】解：当时，，解得（舍去）或；
当时，，解得，
故答案为：或．
15．3
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系等知识．先通分计算括号里的，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，最后代值求解即可．
【详解】解：
∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴原式．
故答案为：3．
16．④
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系∶方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．
根据一元二次方程根的判别式，即可判断①；根据一元二次方程根于系数的关系，即可判断②；根据5是方程的一个根，得出，则是方程的一个根，即可判断③；设相同的根为，则，推出．根据，，，推出，即可判断④．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，
，
方程也有两个不相等的实数根，①结论正确；
方程的两根符号异号，
，
，
方程的两根符号也异号，②结论正确；
③是方程的一个根，
，即，
是方程的一个根，③结论正确；
④设相同的根为，，
．
．
，，，
．
．
．
即有相同的根，④结论错误．
故答案为：．
17．，
【分析】本题主要考查分式的化简求值、解一元二次方程和一元一次不等式组，先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，解关于a的一元二次方程，选取使分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：
，
，
，
则或，
解得或，
且，
当时，
原式
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
（1）方程两边都除以3，然后移项，配方解方程即可；
（2）整理成一般形式，利用公式法解方程即可；
（3）变形后用直接开平方法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）
整理得，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）
∴
∴
开平方得，，
∴
（4）
∴
∴
即，
∴或，
解得
19．三角形的三条边长为3，4，5
【分析】题目主要考查勾股定理解三角形，设这个直角三角形最短的边长为x，另外两边长分别为：，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设这个直角三角形最短的边长为x，
∵这个三角形的三边长为3个连续的正整数，
∴另外两边长分别为：，
根据题意得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴三角形的三条边长为3，4，5．
20．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，
（1）移项，配方即可得出，，即可得解；
（2）将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解；
解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；
②将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；
③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
解得：，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴方程的解是：，．
21．(1)，
(2)点D的坐标是或
(3)点Q的坐标为或或．
【分析】（1）设设，则，由列方程求出x的值，即得到点B和点P的坐标；
（2）当点D与点P重合时，是直角三角形；当点D与点P不重合时，设，而，，再利用勾股定理建立方程求出点D的坐标即可；
（3）画出图形，根据平行四边形的性质分三种情况得出点Q坐标．
【详解】（1）解：如图，设，则，
对于，当时，
由，得，；
当时，，
∴，，
∵点P在第一象限，且，
∴，
解得，
∴，．
（2）解：由（1）得，点D与点P重合，此时，
∴是直角三角形，
此时；
如图，点D在线段上，，
此时是直角三角形， 如图，
设，而，，
∴，
整理得：，
解得：，（不符合题意舍去），
∴；
综上所述，点D的坐标是或；
（3）解：存在．如图，
当四边形是平行四边形时，
此时，，
∴；
当四边形是平行四边形时，
此时，，
∴；
当四边形是平行四边形时，
结合平移的性质可得；
综上所述，点Q的坐标为或或．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，一元二次方程的解法等知识点，在解第（2）题、第（3）题时，应进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
22．(1)c的值为2
(2)的值为0
(3)证明见解析
【分析】本题考查了倍增方程的问题，掌握根与系数的关系、解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接求解．
（2）根据倍根方程的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解；
（3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴令，
，，
∴，，
解得：，，
；
（2）解：是“倍根方程”，
且该方程的两根分别为和，
或，
当时，即，
，
当时，即，
，
综上：；
（3）解：设与是方程的解，
，，
消去得：．
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