22.3实际问题与二次函数同步培优卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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22.3实际问题与二次函数同步培优卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中表示上升高度，表示抛出时的速度，表示重力加速度，表示抛出后的时间．如果一物体以的速度从地面竖直向上抛出，经过后它在离地面高的地方，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．某小组同学为了研究太阳照射下物体影长的变化规律，某日在学校操场上竖立一根直杆，经研究发现，当日该直杆的影长与时间的关系近似于二次函数，并在，，这三个时刻，测得该直杆的影长分别约为，，．根据该小组研究结果，下列关于当日该直杆影长的判断正确的是（ ）
A．前，直杆的影子逐渐变长
B．后，直杆的影子逐渐变长
C．在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为
D．在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短
5．如图，正方形的边长，点P以的速度从点A出发沿运动，同时点Q以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．8
二、填空题
9．某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价 元时，该服装店的销售利润最大．
10．小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系为：，则足球距离地面的最大高度为 m．
11．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是：，则铅球推出的距离 ．
12．如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ．
13．在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ．
14．2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过元盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量(件与销售单价(元之间近似满足函数关系：．
（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为(元，则与的函数关系式为 ；
（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 元．
15．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点到的距离为，，、为桥拱底部的两点，且，点到直线的距离为，则的长为 m．
16．如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶离水面．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为轴，建立平面直角坐标系．当水面下降时，此时水面的宽度增加了 m（结果保留根号）
三、解答题
17．用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）．
(1)与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）；
(2)如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积．
18．一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为．
(1)求铅球出手时离地面的高度；
(2)在铅球行进过程中，当它离地面的高度为时，求此时铅球的水平距离．
19．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．手办玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元．
(1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围．
20．投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，投中多的为胜．小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为0.2米的正方形、高0.5米的长方体木桶做壶，投掷点O到壶中心的水平距离4米．下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的位置点A距离地面1.5米，飞行到离小明水平距离1米处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中．
(1)求出小明投掷时，箭头运动路线的表达式；
(2)小颖投掷时，箭头运动路线的表达式为，请判断小颖此次投掷能否成功进壶？并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，你帮助小颖计算一下这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向以及移动距离d的范围．
21．如图，无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求直线的解析式，并求E点坐标；
(2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度；
(3)由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变）
(4)在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由．
22．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为与的函数表达式为，水柱的最大高度为．
(1)求关于的函数表达式．
(2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C B D C D
1．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，把，，代入关系式即可求解，只需把相关数值代入所给关系式即可．
【详解】解：依题意得：，
解得：或5，
经过或后它在离地面高的地方，
故选D．
2．A
【分析】本题主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【详解】解：以地面所在直线为轴，过大门最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
又知抛物线过，
，
解得：，
，
把代入，
解得：，
故两壁灯之间水平距离为．
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
【详解】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，
∴设二次函数解析式为，
代入原点坐标得，
解得，
∴,
令得，解得，
∴一个球从出发到落地用时4秒，
∵整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起），
∴，
解得，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查二次函数的性质，由题意可知，从到，直杆的影长先变短，再变长，再结合数据可推导，对称轴在到之间．理解并掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，从到，直杆的影长先变短，再变长，
由二次函数的性质可知，其对称轴在到之间，
若对称轴在到之间时，与对称的时候直杆的影长为，且这个时间在之前，与题意矛盾，故不符题意；
∴对称轴在到之间，
∴前，直杆的影子逐渐变短，后，直杆的影子逐渐变长，故A、B错误，
在到之间，还有某个时刻直杆的影长也为，故C正确，
在到之间，会有某个时刻直杆的影长达到当日最短，故D错误，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，分当时，当时，两种情形，确定解析式，判断即可．正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
【详解】解：在正方形中，，，
当时，，
则，
当时，，，
则，
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
设抛物线的表达式为．
将代入，得，
解得．
抛物线的表达式为．
令，则．
解得，（不合题意，舍去）．
的长为．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，理解题意，找出等量关系列出函数解析式和方程是解题的关键．设的边长为，则边的边长为，根据列出方程，再求解根据x的取值范围判断即可①；根据矩形的面积为192，列方程求解即可判断②；设矩形的菜园面积为，根据矩形的面积公式列方程，再根据二次函数的性质求函数最值即可判断③．
【详解】解：设的边长为，则边的边长为，
当时，，
解得，
∵的长不能超过，
∴，故①错误；
∵当菜园面积为时，，
整理得，，
解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确；
设矩形的菜园面积为，
根据题意得，，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确；
故选：C．
8．D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案．
【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：，
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
∴对称轴为：，
∵点的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B，满足，
故选：D．
9．15
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设降价元，总利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：设降价元，总利润为元，由题意，得：
，
整理，得：，
∴当时，的值最大；
故答案为：15．
10．9
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质，即顶点的纵坐标是函数的最值；
开口方向向下，最大值为顶点坐标纵坐标，由公式可得答案．
【详解】
，，，
足球距离地面的最大高度为抛物线的顶点坐标的纵坐标，
函数的对称轴为：，
当时，h最大，
将代入中得，
故答案为：9
11．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的应用，令，得到方程，解方程即可求解，掌握二次函数与轴交点坐标的含义解题的关键．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，
故答案为：．
12．48
【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题及二次函数的综合运用，设篱笆的宽为x米，长为米，列出面积S与x的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可．
【详解】解：设篱笆的宽为x米，长为米，
，
∵墙长不限，
当时，，S值最大，此时．
故答案为：48．
13．
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩余部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可得出关于的函数解析式．
【详解】解：根据题意得：关于的函数解析式是，
即．
故答案为：．
14． /
【分析】本题主要考查二次函数的应用
（1）依据题意，由该网店每周销售该礼盒所获利润为单个利润销量，进而列式可以得解；
（2）依据题意，由（1）得解析式，配方成顶点式后，结合自变量的取值范围进行判断可以得解．
【详解】解：（1）该网店每周销售该礼盒所获利润为，
，
故答案为：；
（2）由题意，，
又，抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大 (元．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度较大．首先建立平面直角坐标系，设与轴交于点，求出的长，然后设该抛物线的解析式为：，根据题干条件求出a和k的值，再令，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，即可求解．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图：
设与轴交于点，
由题可知：
设该抛物线的解析式为：，
顶点坐标，
代入点
抛物线∶，
当时，，
故答案为： ．
16．
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用能力，先设解析式，然后构建函数图像，求出解析式，再带入数值进行计算即可得到答案．
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系．
解：设抛物线的解析式为：，
∵水面宽时，拱顶离水面，
∴点在此抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当水面下降时，即时，
∴，
∴此时水面的宽度为：，
即此时水面的宽度增加了m．
故答案为∶．
17．(1)
(2)窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米
【分析】（1）根据题意，窗框的高为米，则宽为米，然后根据矩形面积公式列出函数关系式；
（2）将函数解析式改为顶点式，然后求最大值.
本题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式并掌握将二次函数一般式转化为顶点式求最值是本题的解题关键．
【详解】（1）解：根据题意，窗框的高为米，则宽为米，
根据题意，得，
故答案为：．
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴当时，y有最大值，且最大值为，
即窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米，
答：窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米．
18．(1)
(2)
【分析】（1）将代入求得c的值即可；
（2）将代入求出x的值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度和高度为时铅球的水平距离在函数解析式中对应的变量是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，将代入，
得：，
解得：，
∴铅球出手时离地面的高度．
（2）解：∵，
∴抛物线的解析式为，
根据题意，将代入，
得：，
整理，得
解得：（舍去），
∴当它离地面的高度为时，此时铅球的水平距离为．
19．(1)
(2)；
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式；
（1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润与销售价之间的函数关系式，再依据函数的增减性求出最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的的取值范围即可；
【详解】（1）解：根据题意得：
与之间的函数关系式为：
（2）根据题意得：
，
时有最大值，最大值为：，
将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大；最大利润是元
（3）解：依题意可得：剩余利润为元，
即
由
解得：或
的取值范围为：，
捐款后剩余利润不低于时，，
答：捐款后每天剩余利润不低于时，销售单价的取值范围是．
20．(1)
(2)小颖此次投掷不能成功进壶，移动距离的范围是
【分析】本题考查二次函数的实际问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，则解方程，求出x值比较即可解题．
【详解】（1）由题可得抛物线的对称轴为直线经过点, ，
设小明投掷时箭头运动路线的表达式为,由题意可得：
，解得 ，
而由题意可知箭飞行的范围是到，即
∴小明投掷时箭头运动路线的表达式为；
（2）小颖此次投掷不能成功进壶，理由：
，
∴当时, 即，
解得：(不符合题意，舍去)，
，
∴小颖此次投掷不能成功进壶，
小颖这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向是向小颖方向移动，移动距离的范围是．
21．(1)，
(2)
(3)消防员应升高4米
(4)水流能顺利越过旗杆，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）根据点A、C得坐标运用待定法求出直线的解析式，再根据，令，求出y，即可得出结论；
（2）设抛物线为，分别将B、C、E坐标代入即可得出解析式，然后化为顶点式即可判断得解；
（3）由抛物线形状不变，消防员后退，设出新的抛物线，根据过点E，求出k，可得解析式，然后令即可解答；
（4）令代入新的抛物线求出y，比较即可得出结论．
【详解】（1）解：无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，旗杆离消防员的水平距离是，高度是，
，．
设直线为，
，
，
直线AC为，
又，
令，则．
．
（2）解：由题意知抛物线过，，，
设抛物线为，
，
．，
抛物线为，
当时，y取最大值为．
水喷出的最大高度．
（3）由题意，∵抛物线形状保持不变，消防员后退，
可设新抛物线为，
又过，，
，
新抛物线为，
令，则，
又，
消防员应升高4米．
（4）解：∵新抛物线为，
令，则．
水流能顺利越过旗杆．
22．(1)关于的函数表达式为
(2)射水鱼需要水平向右游动或才能击中昆虫
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫，根据平移的性质得出平移后的解析式，再把代入解析式求出m即可．
【详解】（1）解：水柱的最大高度为，
．
由题意，可知水柱过原点，将代入，得，解得．
关于的函数表达式为．
（2）解：设射水鱼水平向右游动能击中昆虫．
游动后的抛物线表达式为．把代入，得，解得或．
射水鱼需要水平向右游动或才能击中昆虫．
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