6.1基本立体图形 高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练（含解析）

6.1 基本立体图形 高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形 B.棱柱的各条棱都相等
C.所有几何体的表面都能展成平面图形 D.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
2．如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是( )
A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱,6个顶点
C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形
3．下列关于棱锥 棱台的说法正确的是( )
A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台
C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
4．下列说法正确的是( )
A.用一平面去截圆台,截面一定是圆面
B.在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则两点的连线就是圆台的母线
C.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D.圆锥的母线可能平行
5．下面的几何体中是棱柱的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6．观察下面的几何体，哪些是棱柱？( )
A.(1)(3)(5) B.(1)(2)(3)(5) C.(1)(3)(5)(6) D.(3)(4)(6)(7)
7．有以下四种说法：①棱台的两条不相邻的侧棱延长后相交于一点；②四条侧棱长都相等的棱台，一定是正四棱台；③棱台的高可以和它的某一条侧棱长相等；④有两个面是相互平行的相似多边形，其余各面都是梯形的多面体一定是棱台.其中错误说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．如图，在三棱锥中，，，为锐角，侧棱，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为( )
A. B. C. D.
9．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，已标明能看见的表面上的字母，则字母A，B，C对面的字母依次分别为( )
A.D，E，F B.F，D，E C.E，D，F D.E，F，D
10．下列说法正确的是( )
A.圆锥的底面是圆面，侧面是曲面
B.用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C.一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱
D.圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交
11．下面是关于三棱锥的三个说法：
①底面是等边三角形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的三棱锥是正三棱锥；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中正确说法的序号是( )
A.③ B.①② C.①③ D.①
12．给出下列说法：
①正四棱柱是正多面体；
②正四棱柱是简单多面体；
③简单多面体是凸多面体；
④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体.
其中正确的说法个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
13．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为，E，F分别是线段OB，OC上的点，则的最小值为___________.
14．一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成的截面，则此截面的面积为____________.
15．关于如图所示几何体，正确说法的序号为___________.
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
16．如图，M是棱长为的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是__________.
三、解答题
17．正四棱台的高是17cm,两底面的边长分别是4cm和16cm,求这个棱台侧棱的长和斜高.
18．已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，求这个球的半径.
19．如图，在直棱柱中，，，，E，F分别是，的中点，求沿棱柱的表面从点E到点F的最短路线的长度.
20．如图，在一个长方体形的容器中，里面装有水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜.
（1）在倾斜的过程中，水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）在倾斜的过程中，水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问对不对？
21．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和.
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.
22．如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和.
（1）求该棱台的侧棱长；
（2）求直线与BC的距离.
参考答案
1．答案：D
解析：棱柱的侧面都是四边形,A不正确;
棱柱的各条侧棱相等,所以B不正确;
球不能展开为平面图形,C不正确;
正方体和长方体都是特殊的四棱柱,D正确;
故选：D．
2．答案：D
解析：根据几何体直观图,得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体,
且有棱MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12条;
顶点是M,A,B,C,D和N共6个;
且有面MAB,面MBC,面MCD,面MDA,面NAB,面NBC,面NCD和面NDA共个,且每个面都是三角形.
所以选项A,B,C正确,选项D错误.
故选D.
3．答案：D
解析：有一个面是多边形,其余各面是三角形,若其余各面没有一个共同的顶点,则不是棱锥,故A错误;
两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台,还要满足各侧棱的延长线交于一点,故B错误,D正确;
用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台,故C错误.
故选：D.
4．答案：C
解析：对于A,当平面沿轴截圆台时,截面为等腰梯形,故A错误;
对于B,旋转的直角梯形不垂直于底的腰叫做圆台的母线,故B错误;
对于C,由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得,故C正确;故D错误;
故选：C.
5．答案：C
解析：棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱,
观察图形满足棱柱概念的几何体有：①②③④⑤,共五个.
故选：C.
6．答案：A
解析：根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以棱柱有(1)(3)(5).
故选：A.
7．答案：B
解析：棱台的所有侧棱延长后都相交于一点，故①正确；
当棱台的一条侧棱垂直于底面时，其高与该侧棱长相等，故③正确；
②中的棱台尽管侧棱长相等，但缺少底面的形状，不能确定为正四棱台，故错误；如图所示可说明④是错误的.
8．答案：D
解析：根据题意，在三棱锥中，，，则有，可得，又为锐角，所以.
因为，所以，将三棱锥沿侧棱PA展开，如图，根据余弦定理，所求最短距离为，故选D.
9．答案：C
解析：正方体有3对平行的平面，根据3种摆放的形式可知，B与D，A与E，C与F是相对的平面（字母代表其所在平面）.故选C.
10．答案：A
解析：A是圆锥的性质，故正确；对于B，动手操作一下，发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故D错误.
11．答案：D
解析：①根据正三棱锥的定义可知，①正确；②显然错误，例如当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等时，该三棱锥侧面都是等腰三角形，但不是正三棱锥；③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥.故选D.
12．答案：B
解析：①正四棱柱是正多面体，是错误的，因为正四棱柱的底面是正方形，侧棱长不一定等于正方形的边长；②正四棱柱是简单多面体，是正确的，符合简单多面体的定义；③简单多面体是凸多面体，是错误的，凸多面体是简单多面体，简单多面体并不都是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体，是正确的.故选B.
13．答案：
解析：如图，将正四棱锥的侧面OAB，侧面OBC，侧面OCD展开，则的最小值为AD.
在中，，，则.
所以的最小值为.
14．答案：
解析：过半球底面的中心作一个与底面成的截面，截面是半圆面，半径为2，所以其面积为.
15．答案：①③④⑤
解析：①正确，因为有六个面，属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒，会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示.
16．答案：
解析：若以BC为轴展开，如图①，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为，，故A，M两点之间的距离是.
若以为轴展开，如图②，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为，，故A，M两点之间的距离是.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是.
17．答案：棱台的侧棱长为19cm,斜高为
解析：如图所示,设棱台的两底面的中心分别是和O,和BC的中点分别是和E,连接,,,OB,,OE,则四边形和都是直角梯形.
,,
,,,.
,
.
,.
即棱台的侧棱长为19cm,斜高为.
18．答案：3
解析：如图，作出球的轴截面.
两个平行截面的面积分别为，，
两个截面圆的半径分别为，.
又球心到两个截面的距离分别为，，且两截面位于球心的同一侧，
，解得或（舍）.
故这个球的半径为3.
19．答案：
解析：因为，，所以.
由题意，知可分为以下几种情况：
（1）将侧面和展开后如图①所示.
连接EF，易知，，
所以.
（2）把上底面与侧面展开后如图②所示.
连接EF，过点E作于点M，
则，，
所以.
（3）把上底面与侧面展开后如图③所示.
连接EF，过点E作于点H，过点F作于点D，则，，
所以.
比较以上三条路线的长度，可知第三条路线的长度最短，
所以沿棱柱的表面从点E到点F的最短路线的长度为.
20、
（1）答案：不对
解析：不对.水面的形状就是用一个与棱（长方体形容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，该截面的形状一定是矩形.
（2）答案：不对
解析：不对.水的形状就是用与棱（长方体形容器倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余几何体的形状，剩余几何体一定是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水比较多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
（3）答案：（1）对，（2）不对
解析：用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形或六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形或六边形；水的形状可能是棱锥，也可能是棱柱，但不可能是棱台.故（1）对，（2）不对.
21、
（1）答案：
解析：过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形，记为四边形ABCD，如图所示.作于点M.
记圆台的上、下底面的圆心分别为，O，连接.
由已知可得，，且，
所以，即圆台的高为.
（2）答案：
解析：如图，延长，，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为，
则由，可得，得，
即截得此圆台的圆锥的母线长为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）过点、分别在平面内作，，
垂足分别为点E、F，如下图所示：
根据正四棱台的性质可知四边形为等腰梯形，
因为四边形ABCD为正方形，且，则，同理，
在等腰梯形内，因为，，，
所以，四边形为矩形，所以，，，
，，，所以，，
所以，，
所以，该正四棱台的侧棱长为.
（2）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点M、N，
在等腰梯形中，，，，
则四边形为矩形，所以，，，
，，，所以，，
则，所以，.
因此，直线与BC的距离为.