北师大版八年级数学上册试题 第7章 平行线的证明 （单元培优卷）（含答案）

第7章《平行线的证明》（单元培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3．一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向平行行驶,那么这两个拐弯的角度可能是( )
A．先向左转130°，再向左转50° B．先向左转50°，再向右转50°
C．先向左转50°，再向右转40° D．先向左转50°，再向左转40°
4．若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．如图，直线，直线，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
8．两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于　　
A． B． C． D．
10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________．
12．为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是_____．
13．如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）
14．如图，
，DE过点C，且DE//AB，若，
则∠A=_____，∠B=______.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE=_________．
16．设三角形的三个内角分别为α、β、γ，且，，则β的最大值与最小值的和是___．
17．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B、F、C、E在同一直线上)，并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题．
题设：______________；结论：________．(均填写序号)
18．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）观察下列等式：，，，……
（1）探索这些等式中的规律，直接写出第n个等式（用含n的等式表示）．
（2）试说明你的结论的正确性．
20．（8分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．
21．（10分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．
22．（10分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
23．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.
（2）用等式表示线段MB与 PQ之间的数量关系，并证明.
24．（12分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在中，，，边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
（1）延长到Q使得；（2）再连接，把集中在中；（3）利用三角形的三边关系可得的取值范围，进而求出的取值范围．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
求出的取值范围．
求如图中与的位置关系并证明；
思考：已知，如图，是的中线，，，，试探究线段与的关系，并证明．
参考答案
一、单选题
1．D
解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．
详解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．
故选D．
2．D
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
3．B
解：根据同位角相等，两直线平行，可得B.
4．C
解：设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x．
∵三角形三个内角度数的比为2：7：4，
∴2x+7x+4x=180°，
∴7x≈97°，
∴这个三角形是钝角三角形．故选C
5．C
【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到，根据两直线平行，同位角相等可得．
解：如图，
直线，
．
，
，
直线，
，
故选C．
6．B
【分析】根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．
解：∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选B．
7．A
【分析】根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．
解：A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故选A．
8．C
【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
解：由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
9．C
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质进行解答即可．
解：如图：
，，
，，
∴
=
=，
故选C．
10．A
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
二、填空题
11．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可.
解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
12．1024
解：分析：根据题意可得每次挑选都是去掉偶数，进而得出需要挑选的总次数进而得出答案．
详解：∵将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，
∴剩余的数字都是偶数，是2的倍数，；
∵他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号，
又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋，
∴剩余的数字为4的倍数，
以此类推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1
共经历10次重新编号，故最后剩余的数字为：210=1024．
故答案为1024．
13．∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断（答案不唯一）．
解：若，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）
14． 50° 40°
解：∵DE∥AB，∠ACD=50°，
∴∠A=∠ACD=50°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°．
15．71°
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ECD=45°，∠CED=∠B=64°，
∴∠CDE=180°﹣∠ECD﹣∠CED=71°，
故答案为71°．
16．117°
【分析】根据三角形的三个内角和为180°，以及α=2γ，可得出β与γ的关系式，再根据α≥β≥γ，得出α≥180°-3γ≥γ，从而求出γ的取值范围．
解：∵α+β+γ=180°，
∴β=180°-α-γ=180°-3γ，
所以α≥180°-3γ≥γ，
∴5γ≥180°≥4γ，
45°≥γ≥36°，
所以72°≥β≥45°，
∴β的最大值与最小值的和=72°+45°=117°，
故答案为117°．
17． ①②③ ④
解：解题设：①②③；结论：④．
证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2．
此题可以分成三种情况：
情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF．
情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF：
在△ABC和△DEF中，∵ AB=DE，∠B=∠E，∠1=∠2，∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴BC=EF，∴BC－FC=EF－FC，即BF=EC．
情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的
性质可推出结论：
∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠E ，BC=EF，∠1=∠2，∴△ABC≌△DEF（ASA）．∴AB=DE．
18．40°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．
解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
三、解答题
19．
解：（1）猜想：；
（2）证：右边===左边，即
20．
解：(1)如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
21．
解：证明：∵AF=DC，
∴AC+FC=FC+DF，
∴AC=DF，
又∵AB=DE，∠A=∠D，
∴△ACB≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF．
22．
解：（1）证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=CF+CE，
∴BC=EF
∵AB=DE，AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）AB∥DE，AC∥DF，理由如下，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
∴AB∥DE，AC∥DF.
23．
解：(1) ∠AMQ=45°+α.理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝45°－α，∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°－∠AHM-∠PAM＝45°＋α；
(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ=MB.
理由如下：
连接AQ，过点M作ME⊥QB，
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=α+45°=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在Rt△APC和Rt△QME中，
∴Rt△APC≌Rt△QME，
∴PC=ME，
∴△MEB是等腰直角三角形，
∴，
∴PQ=MB.
24．
（1）解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为；
（2）解：，理由：由（1）知，，
∴，
∴；
（3）解：，，
理由：如图2，延长到Q使得，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
延长交于P，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：．