沪科版九年级数学上册试题 21.5.2反比例函数设参求值解决问题 （含答案）

21.5.2反比例函数设参求值解决问题
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图像经过点，若阴影部分面积为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，垂足为P，PA交y轴于点C，，的面积是2．则k的值是（ ）

A．1 B． C． D．2
3．如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，过点作轴于点，点在线段上，若，连接、，则的面（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，四边形是矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线，交于点D．双曲线经过点D与边，分别交于点E，点F，连接，，若四边形的面积为5，则k的值为（ ）
A．5 B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与轴平行，，两点纵坐标分别为，，反比例函数经过，两点，若，则值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．
下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　）

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点，顶点A在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像同时经过顶点，若点的横坐标为6，，则的值为（　　）

A． B． C． D．18
8．与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，轴，经过点的反比例函数交于点，过点D作轴于点E，若，，则 ．

12．如图，已知直线与坐标轴交于A点和B点，与反比例函数的图象交于点C，以为边向上作平行四边形，D点刚好在反比例图象上，连接，，若轴，四边形面积为10，则k的值为 ．

13．如图，直线与双曲线交于点，，与轴交于点，与轴交于点，过，分别作轴的垂线，，垂足分别为点，，连接，，若，则的值为 ．

14．在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，如图，将线段向左平移，平移后的对应线段为，点落在反比例函数的图象上，已知线段扫过的面积为5，则 ．

15．如图，反比例函数的图象与矩形的边交于点G，与边交于点D，过点A，D作，交直线于点E，F，若，，则的值为 ；四边形的面积为 ．

16．如图，将反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线与旋转后的图象相交于B，则的面积为 ．

17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为 ．

18．如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，，反比例函数的图象分别交，于点C，D，连接并延长交x轴于点E．若的面积和的面积相等，则：

（1）的面积为 ．
（2）点C的坐标是 ．
三、解答题
19．如图，已知矩形的两边，分别在轴、y轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点，，，直线经过，两点．
（1）分别求出直线和反比例函数的表达式．
（2）在第一象限内，请直接写出关于的不等式的解集．
（3）连接，求证：．
20．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，是的中点，反比例函数的图象与直线相交于，两点，若，．
（1）求反比例函数及直线的函数解析式；
（2）设点是轴上一动点，若为等腰三角形，求出所有点的坐标．
21．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，与相交于点E，且点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求四边形的面积；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，若，求直线的函数关系式．
22．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是反比例函数图象上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求与的值；
（2）若的面积是2（点P在点A的上方），时点的坐标．
23．（1）如图，已知点、在双曲线 上，轴与，轴于点，与交于点，是的中点，点的横坐标为2．与的坐标分别为 　　、　　　.（用表示），由此可以得与的数量关系是 　　．
（2）四边形的四个顶点分别在反比例函数与的图象上，对角线轴，且于点，是的中点，点的横坐标为6．
①当，时，判断四边形的形状并说明理由．
②若四边形为正方形，直接写出此时，之间的数量关系．

24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．
（1）若点．
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②在y轴上取一点P，当的面积为5时，求点P的坐标；
（2）过点B作轴于点D，点E为中点，线段交y轴于点F，连接．若的面积为11，求k的值．
答案
一、单选题
1．D
【分析】如图所示，设与交于点，设，根据矩形的性质证明，可得，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设与交于点，设，则，

∴，
在矩形和矩形中，，，
∵，
∴，
∴，
∵阴影部分面积为，
∴，
∴，则，
∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴，
故选：．
2．A
【分析】连接，过点P作，垂足为D，证明为等边三角形，设，利用求出，得到点P坐标，根据的面积是2，列出方程，求出，再将点P坐标代入中，可得k值．
【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为D，

∵，
∴，即为等边三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，即，
∵的面积是2，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故选A．
3．C
【分析】设则，，，，进而可知，，，，如图，连接，根据，计算求解即可．
【详解】解：设则，
∵为线段中点，，
∴，，
∴，
∴，，，，
如图，连接，
∴
故选：C．
4．D
【分析】设点D的坐标为，则，，，根据四边形的面积为：，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点D的坐标为，
∵点D为矩形对角线，的交点，
∴点D为对角线的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴点F的横坐标为，E点的纵坐标为，
∴，，
∵四边形的面积为：，
∴，
解得：，故D正确．
故选：D．
5．A
【分析】过点作，设，，根据的长度，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作，
∵，两点纵坐标分别为，，反比例函数经过，两点，
∴设，，
∴，，
∵
在中，，
即，解得，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④．
【详解】解：动点在反比例函数的图象上，
设，
的中点为，，
的图象经过点，
，故①正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故②正确；
如图，过点作轴于．

，，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，，
，
，
，
，故③正确；
，，，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
．故④正确；
故选：D．
7．C
【分析】过点作于点，由勾股定理构造方程求出，，再根据反比例函数图像同时经过顶点、,即可解答．
【详解】解：过点作于点，

∵点C的横坐标为6，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．C
∵，
∴设，则．
∴，，．
在中，
∵，
∴．
解得：（不合题意，舍去），，
∴，．
设，则，
∵反比例函数的图像同时经过顶点C，D，
∴．解得：．
∴．
故选C．
8．A
【分析】根据题意设，则，即可得到反比例为，再求得的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，将解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【详解】∵与交于A、B两点，
∴设，则，
∴，
∴反比例函数解析式为，
由题意得：，，
∴，即，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
，解得，，
∴，
过点作轴，过点作轴，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴（负值舍去），
故选：A．
9．D
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
10．B
【分析】如图，过点作轴，过点作轴，设，，证明，并得到，，根据反比例函数的性质得，即，继而得到是等腰直角三角形，已知的面积为，可得，又因为在反比例函数的图象上，可得，即可求出，，再求出直线的表达式，利用方程组确定点的坐标，求出和，即可得出的面积．
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
又∵，在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵在反比例函数的图象上，即，
∴，，
∴，，反比例函数的表达式为，
设：直线的表达式为，
∴，解得：，
∴直线的表达式为，
∵，解得：或，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】作轴于，交于，则，根据等腰直角三角形的性质得出，设，则由，得到，根据比例函数系数得出，求得，进而求得，从而求得．
【详解】解：作轴于，交于，

轴，
，
为等腰直角三角形，，
，
设，则
，
，
，
，
，
，
经过点的反比例函数交于点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】设点坐标为，通过含，的代数式分别表示出，的坐标，再通过含参代数式表示四边形面积求解．
【详解】解：由可得，，
设点坐标为，
由平行四边形可得点坐标为，
轴，
点纵坐标为，
将代入可得，
将代入得，
，
解得．
作于点，轴于点，

，
，
，
将代入得，
，，
故答案为：．
13．6
【分析】设，确定直线的解析式，计算，表示三角形的面积，建立等式计算即可．
【详解】设，直线的解析式，
∴，
解得，
∴直线的解析式，
∴，
∴，
∴
解得
故答案为：6．
14．
【分析】设点，根据平移的性质可得，根据线段扫过的面积为和平行四边形的性质可得，即可求得．
【详解】解：设点，根据平移的性质可得，
则，
故线段扫过的面积为，
解得，
∴，
故答案为：．
15． 15
【分析】延长交x轴于K，作于H，求得点D的坐标，可求得的值；证得，即可证得，设，用a表示和，根据三角形面积公式求得即可结果．
【详解】解：延长交x轴于K，作于H，

设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
=；
故答案为：15．
16．
【分析】反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于，得出，作轴于，设，并且是由绕点顺时针旋转得到的，则，从而，可证出是等腰直角三角形，得的坐标，代入从而得出的值，进而求得的长度，利用三角形面积公式解决问题．
【详解】解：设反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
作轴于，是由绕点顺时针旋转得到的，
∴点K在原反比例函数图象上．
设，
，
∴，
过点作轴于，轴，

是等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
解得或（舍，
，
，
．
故答案为：．
17．10
【分析】设，根据平行四边形对边平行得到点B的纵坐标为，根据图象沿轴对称所得图象为及中点性质得到，根据点O、A的水平距离为x及平行四边形对边平行且相等，推出点M、B的水平距离为，推出，得到，得到．
【详解】∵（）的图象经过平行四边形的顶点A，
∴设，
∵轴，
∴点B的纵坐标为，
∵图象沿轴对称所得图象为，这个图象恰好经过中点，
∴，
∵点O、A的水平距离为x，，，
∴点B、C的水平距离也为x，
∴点M、B的水平距离为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
18．
【分析】（1）理由 ADE的面积和的面积相等，转化为的面积即为的面积即可；
（2）利用，设，，，待定系数法求出直线的含有的解析式，继而知道，根据三角形面积是，列出关于的方程求出的值，则点坐标随之求出．
【详解】解：（1）∵ ADE的面积和的面积相等，
∴．
∴，
故答案为：；
（2）∵是等腰直角三角形，
∴，
设，其中，即，
设，即，
设直线的解析式为：，将坐标代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
当，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
根据题意可知点在第一象限，舍去负值，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：∵已知矩形的两边，分别在轴、轴上，点的坐标为，
∴，，的横坐标为,
设，则，则
∵，
∴，
解得：
∴
∵在上，
∴，
∴
直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
（2）根据函数图象可知在第一象限内，关于的不等式的解集为；
（3）∵
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
∵直线的解析式为
∴
20．（1）解：在中，，，则，
即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数的表达式为： ，
是的中点，则，
当时，，即点，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
则直线的表达式为：；
（2）设点，
由点、、的坐标得，，，，
当时，则，
解得：舍去或，
即；
当或时，同理可得：
或，
解得：或或，
即点的坐标为：或或，
综上，点的坐标为：或或或．
21．（1）解：∵，点D为对角线OB的中点，
∴，
∵点D在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数的关系式为：；
（2）解：∵反比例函数的关系式为，四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设点，，
∵反比例函数的图象与矩形的边交于点F，
∴，解得，
∴，
连接，设，则，，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，解得或（舍去），
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得 ，
∴直线的解析式为．

22．（1）解：把点代入到中得：，
∴，
把代入到中得：，
∴；
（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，
设，则，
∴，
∵是反比例函数图像上的一动点．，
∴，
∵点P在点A方，的面积是2，
∴，
∴，
解得（负值舍），
∴．
23．解：（1）轴于，轴于点，
，
由题意得，，
，，
，
，
故答案为：，，．
（2）①当时，，
点的坐标为；
当时，，
，
点为线段的中点，设，
则，
，
，
，
，，，，
点的坐标为，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
②四边形能成为正方形．
当四边形为正方形时，设．，
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
解得：或（舍去），
点的纵坐标为，
点的坐标为，
，
整理得：．
即四边形能成为正方形，此时．
24．（1）解：①一次函数的图象与反比例函数的图象交于，
将分别代入，，
解得
②设，则：，
，令，则，即
即
解得或
点P的坐标为或
（2）设，
轴，则，
点在一次函数上，则，
，
是的中点，则，
设直线的解析式为，
将点，代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
点在轴上，
令，则，
，
，
即
解得．