沪科版九年级数学上册试题 21.5反比例函数 同步测试 （含答案）

21.5反比例函数
一、单选题
1．下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（ ）
A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y
2．两个反比例函数和，且，交点个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．无数个
3．已知三个点都在一个反比例函数的图象上，其中，则a的取值范围是（　　）
A． B．或 C． D．或
4．小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，反比例函数（）、（）的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接、、．则的面积可表示为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，过原点O的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转，与双曲线交于B、D两点，以下四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，平行四边形ABCD在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（ ）

A． B． C． D．
8．对于反比例函数（为任意实数），下列说法正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．图像是轴对称图形，对称轴只有一条是直线
C．当时， D．当时，
9．已知函数y＝（m＜0），以下结论中正确的有（　　）个．
①图象位于一，三象限；
②若点A（﹣1，a），点B（1，b）在图象上，则a＜b；
③对于不同的m值，反比例函数的图象可能会相交；
④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣y，﹣x）也在图象上．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图1，这是一个电子体重秤，可变电阻可随着人的质量的变化而变化；在图2的电路图中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，则（伏）关于（欧）的函数解析式为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，把双曲线（虚线部分）沿x轴的正方向、向右平移2个单位，得一个新的双曲线（实线部分），新的双曲线与y轴的交点为 ．
12．若A（a，a+5），B（b，b-5）是反比例图像上的两点，则线段AB的长为 ．
13．写出一个具有性质①②的函数 ．①当时，；②当时，的值随值的增大而在增大．
14．如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则 ．

15．如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点，
（1）若点B（0，2），则 ；
（2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则 ．
16．已知反比例函数的图象经过二、四象限．
（1）点在第 象限．
（2）若点，是反比例函数图象上两点，则的大小关系是 ．（用符号“”连结）
17．如图，，，，，，在轴上，纵坐标分别是1，2，3，4，，，分别过，，，，，作轴的平行线，交函数的图象于，，，，，以，，，，，为边向下作平行四边形，其中，在轴上，，在直线上，，在直线上，，在直线上，，，，在直线上，每个平行四边形的锐角都是，则的面积是 ．（用n表示）

18．如图，矩形的两边与分别落在x轴负半轴与y轴正半轴上．反比例函数与分别交于，两点．点为上一点，P到直线的距离不大于3，则点P的横坐标m的取值范围是 ．

三、解答题
19．画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：
(1)当时，y的值；
(2)当时，y的取值范围；
(3)当且时，x的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标．
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使成立的的取值范围；
(3)求得面积．
22．如图，四边形是平行四边形且点，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，经过点，点恰好落在轴的正半轴上，若点A，在反比例函数的图像上．
(1)证明：是等边三角形，并求的值；
(2)设，，，是双曲线上的四点，，，试判断，的大小，说明理由．
23．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．
(1)求图中点A的坐标；
(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
24．参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．
(1)使用“描点法”作出函数的图象．
列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值．
x … 0 2 3 4 …
… 0 4 3 2 …
描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，
如图，请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来：

(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当时，y随x的增大而 　 　．（填写“增大”或“减小”）
②函数的图象关于点 　 　中心对称．（填写点的坐标）
③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数
的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：　 　．
(3)若直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n，则　 　．
(4)我们将第（2）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据反比例关系的定义进行逐一判断即可：两种相关联的变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果这两个变量对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系就叫做反比例关系．
【详解】解：A、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
B、，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
C、，即，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意；
D、，即，x与y的积是定值，是反比例关系，符合题意；
故选D．
2．A
【分析】分m、n符号相反和m、m符号相同两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：两个反比例函数y=和y=，且，
当m、n符号相反时，双曲线不在同一象限，故没有交点；
当m、m符号相同时，
∵m≠m≠0，
∴≠，故没有交点；
综上，两个反比例函数y=和y=，且，交点个数为0，
故选：A．
3．D
【分析】根据三个点在一个反比例函数上，可知，再根据，可知，进而得出反比例函数的比例系数，然后根据反比例函数的性质，分和，两种情况进行讨论即可得解．
【详解】解：设三个点都在一个反比例函数的图象上，
则：，
∴的符号相反，
又∵，
∴，
∴，
∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，
∴当时，；
当时，；
综上：或．
故选：D．
4．A
【分析】根据电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，得到，根据题意，求出的值，得到电流I与电阻R成反比例函数关系，即可得出结论．
【详解】解：∵电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴电流I与电阻R成反比例函数关系，
故答案A符合题意，
答案B是一次函数，故不符合题意，
答案C是正比例函数，故不符合题意，
答案D是二次函数，故不符合题意，
故选：A．
5．A
【分析】连接，根据即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：

四边形与四边形都是正方形，
，，
，
，
．
故选：A．
6．C
【分析】根据双曲线和直线的中心对称性质和平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定，结合图形即可得到答案．
【详解】∵双曲线和双曲线是关于原点O对称的中心对称图形，直线和直线是关于原点O的中心对称图形，
∴
∴四边形为平行四边形，故①正确，符合题意；
∵如图双曲线在双曲线的内侧，
∴以为圆心，为半径作圆，交双曲线于两点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴,
∴，
∴四边形为矩形，故②正确，符合题意；
∵A，B两点都在第一象限，
∴,
∵四边形要想成为菱形和正方形，对角线都需要互相垂直即，
∴四边形不可能是菱形和正方形，故③不正确，不符合题意，④正确，符合题意．
故选：C

7．D
【分析】设点A的坐标为，根据平行四边形边的性质可表示出点D的坐标为，从而表示出，，因此可判断各选项．
【详解】∵点A是一次函数图象上一动点
∴设点A的坐标为
∵在中，，
即可以看做由平移得到
∵，
∴点D的坐标为
∵反比例函数和的图象分别经过点，
∴，
∴A选项：，不是定值；
B选项：，不是定值；
C选项：，不是定值；
D选项：由于，，，是定值．
故选：D
8．D
【分析】根据反比例函数的增减性和对称性确定A、B错误，把x=-1代入函数解析式判定C错误，根据反比例函数的增减性判定D正确.
【详解】解：∵t2≥0，∴t2+1＞0，即-t2-1＜0，故图象在每个象限内y随x的增大而增大，A错误；
当y= -t2-1时，x=，当y= 时，x=，根据图象在每个象限内y随x的增大而增大知1≤x≤2，D正确；
反比例函数图象的对称轴有2条y=x或y=-x，故B错误；
当x=-1时，y=≥1，故C错误，
故选：D.
9．D
【分析】根据m的符号则可判断①；根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断②，根据反比例函数的性质即可判断③，根据反比例函数的系数m＝xy即可判断④．
【详解】解：∵函数y＝中，m＜0，
∵图象位于二，四象限，故①错误；
∵点A（﹣1，a），点B（1，b）在图象上，
∴点A（﹣1，a）在第二象限，点B（1，b）在第四象限，
∴a＞b，故②错误；
对于不同的m值，反比例函数的图象不会相交，故③错误；
若点P（x，y）在图象上，则m＝xy，
∵﹣x （﹣y）＝m，
∴点P1（﹣y，﹣x）也在图象上．故④正确；
故选：D．
10．D
【分析】由可变电阻两端的电压=电源电压电表电压，可得可变电阻电压， 结合，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， 可得，再整理代入数据即可．
【详解】解：由题意得：可变电阻两端的电压=电源电压电表电压，
即：可变电阻电压，
∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴．
化简得：，
∵，
∴．
故选D
二、填空题
11．
【分析】先根据平移的性质得出双曲线的解析式，再把代入求得y的值，即可求得新的双曲线与y轴的交点．
【详解】解：把双曲线（虚线部分）沿x轴的正方向、向右平移2个单位，得一个新的双曲线：，
令，则，
∴新的双曲线与y轴的交点为；
故答案为：．
12．
【分析】根据反比例函数图像上点的特征得到a(a+5)=b(b-5)，推出a-b=-5，再利用两点之间的距离公式即可求得线段AB的长．
【详解】解：∵A（a，a+5），B（b，b-5）是反比例图像上的两点，
∴a(a+5)=b(b-5)，
整理得：b2-a2=5(a+b) ，
∵ab，
∴a-b=-5，
∵AB2=(a-b)2+(a+5-b+5)2=2(a-b)2+20(a-b)+102=2×25-100+100=2×25．
∴AB=5(负值已舍)．
故答案为：．
13．（答案不唯一）
【分析】根据条件直接写一个满足条件的函数解析式即可．
【详解】解；若此函数是反比例函数时，当x=-3，y=3，
则k=-9，则y=-，且满足当时，的值随值的增大而在增大．
故函数-．
故答案为：－（答案不唯一）．
14．10
【分析】过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，可得，再由轴，，可得，即，从而求得，再根据反比例函数解析式求得，即可求得结果．
【详解】解：过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，
∵轴，轴，
∴，
又∵F为的中点，，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．

15． 2 8
【分析】（1）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可；
（2）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可；
【详解】解：（1）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点（0，2），
则：，，
过点作轴，交轴于点，
则：为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2；
（2）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点A（3，5），
则：，，
过点作，
则：，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：或（不合题意，舍掉），
把代入x2+y2=34，得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：8．
16． 四 b>c>a
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过二、四象限可知k＜0，再根据反比例函数的性质进行判断即可；
（2）根据反比例函数的图象在二四象限可得点A、B在第二象限，再根据反比例函数的性质可得a-b与a-c的大小，即可求解．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
∴-k＞0，
∴点P（-k，k）在第四象限，
故答案为：四；
（2）∵k＜0，点A（a-b，3），B（a-c，5），
∴反比例函数，y随x的增大而增大，点A、B在第二象限，
∴a-b＜0，a-c＜0，a-b＜a-c，
∴a＜b，a＜c，b＞c，
∴b＞c＞a，
故答案为：b＞c＞a．
17．
【分析】根据点，，，，，的纵坐标和反比例函数，可以求出、、、的坐标，进而可以求出每个平行四边形的底和高，求出各个平行四边形的面积，通过找规律得出答案；由题意可知，每个平行四边形的高都是1，只要求出底就可以了，即求出、、、的长度即可．
【详解】解：把、2、3、4、分别代入得：
、、、，
、、、、、，
、、、、、，
又因为这些平行四边形的高都是1，
所以：这些平行四边形的面积为：4、2、、、、．
故答案为：．
18．
【分析】先求出反比例函数解析式，再根据图象确点P的横坐标m的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数与分别交于，两点，
∴，
解得，，
点的坐标为，点的坐标为，
∴反比例函数解析式为
当时，，此时，P到直线的距离等于3，
当点P和点重合时，P到直线的距离等于3，
所以，点P的横坐标m的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：作出反比例函数的图象，

把代入得：；
（2）解：当时，；当时，，
根据图象得：当时，y的取值范围为；
（3）解：当时，；当时，，
根据题意得：当且时，x的取值范围为或．
20．（1）作轴于点G，如图，

∵轴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
设，则，解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
代入，得；
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点F的坐标是．
21．（1）因为反比例函数的图像过点，得
．
解得：
．
所以，点的坐标为．
同理可得，点的坐标为．
因为一次函数的图象过点，，得：
．
解得：
．
所以，一次函数解析式为．
（2）根据题意可知，表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分，此时或．
（3）如图所示，设直线与轴，轴分别交于点，点，可求得点的坐标为，点的坐标为．

．
22．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由旋转可知：，，
∴，即，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
由题可知，
∵经过点，点A，在反比例函数的图像上，
由反比例函数中心对称性，可得，过点A作轴重线，垂足为，
∵是等边三角形，
∴，，
∴
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵当时，随增大而减小，
∴．
23．（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：
，解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
，即对应的指标值为20；
（2）解：设当时，的解析式为，将、代入得：
，解得，
的解析式为，
当时，，解得，
由（1）得反比例函数的解析式为，
当时，，解得，
时，注意力指标都不低于36，
而，
张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
24．（1）图象如下：

（2）观察图象可得：
①当时，y随x的增大而减小；
故答案为：减小；
②函数的图象关于点中心对称；
故答案为：；
③观察得出函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到；
故答案为：向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到；
（3）由直线可知直线经过点，
∵直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n，
∴A、B关于点成中心对称，点A的纵坐标为，
由可知，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（4），
由题意得，，
∴，且x为整数，
∴横坐标为整数有，
∴横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标为．