北京市朝阳区2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高一年级统一考试
数学试卷 2016.1
（考试时间100分钟 满分120分）
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是
（A），
（B），
（C），
（D），
（2）若，，则下列不等式中成立的是
（A） （B） （C） （D）
（3）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确度）为
（A） （B） （C） （D）
（4）某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为
（A）？ （B）？
（C） （D）
（5）给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是
（A）①④ （B）②④ （C）②③ （D）①③
（6）已知，，，则，，三者的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
（7）函数（）的图象的大致形状是
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（8）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了株树苗，用茎叶图表示上述两组树苗高度的数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数，和方差进行比较，下面结论正确的是
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（A）＞，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定
（B）＜，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定
（C）＜，乙地树苗高度比甲地树苗高度更稳定
（D）＞，甲地树苗高度比乙地树苗高度更稳定
（9）右图是王老师锻炼时所走的离家距离（）与行走时间（）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是
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（10）已知函数，，若对任意，总有 或成立，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.
（11）已知函数 则的值是________．
（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单
位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.
由图中数据可知 .若要从身高在
，，三组内的学
生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，
则从身高在内的学生中选取的人数应为 .
（13）设，则函数的最大值为 ．
（14）如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）
（15）若函数的图象关于轴对称，则 ．
（16）关于函数 有以下四个命题：
①对于任意的，都有；
②函数是偶函数；
③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；
④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.
（17）（本题满分9分）
已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.
(Ⅰ)当时，求；
（Ⅱ）若，求实数的值.
（18）（本题满分9分）
空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，表示空气污染越严重：
PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 >250
空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级
空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
某市2013年3月8日—4月7日(30天)对空气质量
指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：
(Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；
(Ⅱ)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求
至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.
（19）（本题满分10分）
已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的解析式；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（20）（本题满分12分）
定义在上的函数，如果对任意，都有（）成立，则称为阶伸缩函数．
（Ⅰ）若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求 的值；
（Ⅱ）若函数为三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点；
（Ⅲ）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在（）上的取值范围．
北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高一年级统一考试
数学试题答案及评分标准 2016.1
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A B A D B C C
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.
题号 11 12 13 14 15 16
答案 ①②③④
注：（12）题第一空3分，第二空2分.
三、解答题：本大题共4小题，共40分.
（17）解:（Ⅰ）由的定义域得.
当时，，
则.
所以. ……………………………… 6分
（Ⅱ）因为，，
所以有.
解得.
此时，符合题意.
所以. ……………………………… 9分
（18）解:（Ⅰ）由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天，
所以此次监测结果中空气质量为良的概率为； ………3分
（Ⅱ）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为，，，；
样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为，，
则基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，共15个.
其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：
，，，，，，，，
共9个.
所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为. ……………9分
（19）解:（Ⅰ）因为定义域为的函数是奇函数，
所以. ……………………………………2分
（Ⅱ）因为当时，，
所以.
又因为函数是奇函数，所以.
所以.
综上， ……………………………………6分
（Ⅲ）由得.
因为是奇函数， 所以.又在上是减函数，所以.
即对任意恒成立.
【方法一】令，则.由，解得.
【方法二】即对任意恒成立. 令，
则
故实数的取值范围为． ……………………………………10分
（20）解:（Ⅰ）由题设，当时，，
所以.
因为函数为二阶伸缩函数，
所以对任意，都有.
所以. ……………………………4分
（Ⅱ）当（）时，．
由为三阶伸缩函数，有.
注意到时，.
所以．
令，解得或，它们均不在内. ……7分
所以函数在上无零点． ……………………………8分
（Ⅲ） 由题设，若函数为阶伸缩函数，有，
且当时， 的取值范围是.
所以当时，．
因为， 所以．
所以当时，.
当时，即，
则使，
，即，
．
又，
，即．
因为，
所以在（）上的取值范围是．……………12分