深圳外国语学校高中园 2025 届高三年级第二次调研考试
数学试卷
注意事项：
1.本试卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2.答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定笔将自己的姓名和考号填写在
答题卡指定位置。同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形
码整洁、不污损。
3.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。不按以上要求作答的答案无效。
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作
答的答案无效。
5.请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：（本题共 8 小题,每小题 5分，共 60 分）.
1．设集合 A={x∣ 2 x 4},B = 2,3,4,5 ，则 A B =（ ）
A． 2 B． 2,3 C． 3,4 D． 2,3,4
0.1 0.2
2 2
2．若 c = log 2a = 2 a c ，b = ， ，则 ，b ， 的大小关系为（ ）
5 5 5
A．a b c B．c b a C．c a b D．a c b
3．已知 : > ， : < 2或 > 0，且 是 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）
A．a 2 B．a 0 C．a 0 D．a 0
4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：
2 2
a x y a b
2 (a +b) a b
设正数 ，b ， ， ，满足 + ，当且仅当 = 时，等号成立．则函数
x y x + y x y
1 16 1
( ) = + (0 < < )的最小值为（ ）
3 1 3 3
A．16 B．25 C．36 D．49
2x 1
5．函数 f (x) = ln 在定义域上的图象可能是（ ）
2x+1
试 卷 第 1 页 共 4 页
A． B． C． D．
1
y = x2
1
6．已知曲线 + lnx + 在点 (1,1)处的切线与抛物线 x2 = ay 也相切，则实数a 的值为（ ）
2 2
1
A．0 B． C．1 D．0 或 1
2
ax + a, x 1
7．已知函数 f (x) = （ a 0且a 1），若函数 f (x)的值域为R ，则实数 a的
ax
2 + 2ax a +3, x 1
取值范围是（ ）
2 3
A． 0, B． 1, C． 2,+ ) D． 3,+ )
3 2
1
8．已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于点 (1,0)对称， f (x+1)+ f (x+2) = 0，且当 x 0, 2
2x 3
时， f (x) = + log2 (3x +1)．若 f (m+1) ，则实数 m的取值范围为（ ）
x+1 2
1 2 1 1
A． 2k + , 2k + (k Z) B． k ,k (k Z)
3 3 3 6
1 5 5 2
C． k ,k + (k Z) D． 2k ,2k + (k Z)
6 6 6 3
二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分）.
9．已知关于 x的不等式ax2 +bx+c 0的解集为( ∞, 2) ∪ (3,+∞)，则下列选项中正确的是（ ）
A．a 0 B．不等式bx + c 0的解集是 x x 6
1 1
C． a +b+ c 0 D．不等式cx2 bx+a 0的解集为( ∞, ) ∪ ( , +∞)
3 2
10．下列各结论中正确的是（ ）
A．若函数 f (x)的定义域为 0,2 ，则函数 f (2x+ 2)的定义域为 1,0
2
B．函数 y = x 在．定．义．域．内．是增函数； x
2
C．命题“ x 1, x2 x 0”的否定是“ x0 1, x0 x0 0 ”；
x
1
D．函数 y = 的值域为 (0,1 ．
2
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x2 ax 2a, x 0
11．设函数 f (x) = ，则下列说法正确的是（ ）
e
x a, x 0
A．若函数 f (x)在R 上单调递增，则实数 a的取值范围是 ( ,0
B．若函数 f (x)有 3 个零点，则实数 a的取值范围是 (8,+ )
1
C．设函数 f (x)的 3 个零点分别是x ， x2 ， x x x x1 3 （ 1 2 3），则 x1 + x2 x3 的取值范围是
3
( ∞, 8 2)
D．任意实数 a，函数 f (x)在( 1,1)内无最小值
第 II卷（非选择题）
三、填空题: （本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）.
12．设a 0且a 1，函数 y = 2+ loga (x+ 2)的图像恒过定点 P ，则点 P 的坐标是 ．
13．已知 f (x) = 2x ln x f (1) x，则 f (1) = ．
14．我们知道，函数 f (x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 f (x)为奇函数，由此可
以推广得到：函数 f (x)的图象关于点 P (a,b)成中心对称的充要条件是函数 y = f (x+a) b为奇函数，
n 1
利用题目中的推广结论，若函数 f (x) = 的图象关于点P 0, 成中心对称，则m n = .
2x +m 2
四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15．（本小题满分 13 分）
已知等差数列 a 的前 n 项和为 Sn ，且a2 = 3， S5 = 25n ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设b n 1 b n Tn = an + 2 ，求数列 n 的前 项和 n ．
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16．（本小题满分 15 分）
如图，三棱柱 1 1 1中， = 1， 1 ∩ 1 = ， ⊥平面 1 1 .
（1）求证： ⊥ 1 ；
（2）若∠ 1 = 60°，直线 1 1与平面 1 1 所成的角为30°，求二面角 1 1 1 的余弦值.
17．（本小题满分 15 分）
中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的
了解程度，某学习小组随机向该地 100 位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得
到的数据如下表所示：
年龄段人数成绩 0,20) 20,40) 40,60) 60,80) 80,100)
31 岁-40 岁 4 8 13 9 6
41 岁-50 岁 2 8 10 22 18
规定成绩在 0,60)内代表对中医药文化了解程度低，成绩在 60,100 内代表对中医药文化了解程度
高.
(1)从这 100 位市民中随机抽取 1 人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
(2)将频率视为概率，现从该地 41 岁~50 岁年龄段的市民中随机抽取 3 人，记 X 为对中医药文化了解
程度高的人数，求 X 的分布列和期望.
试 卷 第 4 页 共 4 页
18.（本小题满分 17 分）
x2 y2 2
已知椭圆C : + =1(a b 0)过点 P (2, 2 )，且离心率为 .
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）设椭圆 C的上、下顶点分别为 A、B，过点 P (0,4)斜率为 k的直线与椭圆 C交于M、N两点.
求证：直线 BM与 AN的交点 G在定直线上.
19．（本小题满分 17 分）
已知函数 f (x) = ln x ax 1(a R)．
(1)求函数 f (x)的最大值；
2 m
(2)当 > 0时，g(x) = e
ax f (x) + x x x e有两个不同的零点 1， 2(0 < 1 < 2)，不等式 1 2 恒成立，求
实数 m的取值范围
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数学答案
1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C
7．B
【详解】当 < 1时，则 ( ) = 2 + 2 + 3 = ( 1)2 + 3，
且 > 0，所以 ( ) = ( 1)2 + 3 < 3，
若函数 f (x)的值域为R ，可知当 x 1时，则 ( ) = + 的值域包含 3,+ )，
若0 < < 1，则 ( ) = + 在1,+∞)内单调递减，
可得 ( ) ≤ (1) = 2 ，不合题意；
若 > 1，则 ( ) = + 在1,+∞)内单调递增，
3
可得 ( ) ≥ (1) = 2 ，则2 ≤ 3，解得1 < ≤ ；
2
3
综上所述：实数 a的取值范围是 1, .
2
故选：B.
8．A
【详解】由 f (x)的图象关于点(1,0)对称可得 ( + 2) = ( )．
由 ( + 1) + ( + 2) = 0，可得 ( + 1) = ( + 2) = ( )，
1
故函数 f (x)的图象关于直线 x = 对称，
2
且 ( + 2) = ( + 1) = ( ( )) = ( )，得 f (x)的周期为 2．
1
当 x 0, 2
时，
2x 2(x +1) 2 2
f (x) = + log2 (3x +1) = + log2 (3x +1) = log (3x +1) + 2， 2
x +1 x +1 x +1
( ) 1 3 4 1 1 3f x 单调递增，且 ( ) = ，则 ( ) = ( + 1) = ( ) = ，
3 2 3 3 3 2
5 1 1 3
( ) = (2 ) = ( ) = ，
3 3 3 2
画出 f (x)在一个周期内的大致图象如图所示：
4 5 1 2
当 0 m +1 2 时，结合图象可得 m+1 ，即 m ．
3 3 3 3
深圳外国语学校高中园 2025 届高三年级第二次调研考试 第1页 共 6 页
1 2
故实数 m的取值范围为 2k + , 2k + (k Z)．
3 3
故选：A.
9．ABD
10．AD
11．BCD
≥ 0
【详解】对于 A，若函数 f (x)在R 上单调递增，则{ 2 ，解得 ∈ [ 1,0]，故 A
2 ≤ 1
错误；
对于 B，若函数 f (x)有 3 个零点，则当 x 0时， f (x) = x2 ax 2a有 2 个零点 x1, x2，
= 2 8 > 0
所以{ 1 + 2 = < 0，解得a 8，
1 2 = 2 > 0
当 x 0时， ( ) = 有 1 个零点，则a 1，
所以a (8,+ )，故 B 正确；
对于 C，设函数 f (x)的 3 个零点分别是x ， x2 ， x （ x1 x x1 3 2 3），
由 B 知，a (8,+ )， x1 + x2 = a ，
令 f (x) = ex a = 0，解得 x = ln a，即 x3 = ln a，
1 1
设h(a) = x1 + x2 x = a ln a ，a (8,+ )，得h(a)在 (8,+ 3 )上单调递减，
3 3
所以h(a) ( , 8 ln 2)，故 C 正确；
对于 D，当 x 0,1)时， f (x) = ex a 单调递增， f (x) 1 a,e a)，
a
当 x ( 1,0)时， f (x) = x2 ax 2a，对称轴为直线 x = ，
2
a 1
①当 ，即a 1时， f (x) f ( 1) = 1+a 2a = 1 a 1 a，无最小值；
2 2
a 1
②当 ，即a 1时， f (x) f (0) = 2a，
2 2
若 f (x)有最小值，则1 a 2a，解得a 1，与a 1矛盾，故无最小值；
综上任意实数 a，函数 f (x)在 ( 1,1)内无最小值，故 D 正确；
故选：BCD．
12．(-1，2)
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13． 1
14． 2
1
【详解】由题意 y = f (x)+ 为奇函数，
2
1 1 n 1 n 1
所以 f ( x)+ = [ f (x)+ ]，则 + = ，
2 2 2 x +m 2 2x +m 2
n 2x n n(22x + 2m 2x +1)+ (1+m 2x )(2x +m)
所以 + +1= 0 = 0
1+m 2x 2x
，
+m (1+m 2x )(2x +m)
所以 (n+m)22x + (m2 + 2mn+1) 2x + n+m = 0恒成立，
m + n = 0 m = 1 m =1
故 2 或 ，所以m n = 2 .
m + 2mn +1= 0 n =1 n = 1
故答案为： 2
15．（本小题满分 13 分）
【详解】（1）解：设等差数列 an 公差为 d，首项为 a1，
a1 + d = 3
a1 =1
由题意，有 5 4 ，解得 ，
5a1 + d = 25 d = 2
2
所以an =1+ (n 1) 2 = 2n 1；
n
b n 1
n(1+ 2n 1) 1 2
（2）解： n = an + 2 = 2n 1+ 2
n 1
，所以Tn = + = n
2 + 2n 1
2 1 2
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）证明：∵ ⊥平面 1 1 ，
∴ ⊥ 1 ，∵ = 1，
∴四边形 1 1 是菱形.
∴ 1 ⊥ 1 ，∵ ∩ 1 = ，
∴ 1 ⊥平面 1，∴ 1 ⊥ .
（2）∵ 1 1与平面 1 1 所成角为30 ， 1 1// ，
∴ 与平面 1 1 所成角为30°，∵ ⊥平面 1 1 ,∴∠ = 30°，
令 = 2，则 1 = 2， = √3， = 1，以O为原点，分别以 ， 1， 为 x ，
y ， z 轴建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)， (√3, 0,0)， 1(0,1,0)， (0,0,1)，
1( √3, 0,0)， 1( √3, 1,1)，设平面 1 1的一个法向量为 1 = ( , , )，
1
1 = = 0 x =11 = (0,1, 1)， 1 1 = (√3, 1,0)，{ ，令 ，解得
1 1 1 = √3 + = 0
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1 = (1, √3, √3)，
设平面 1 1 1的一个法向量为 2 = ( , , )，
2 { 1
1 = 0 √3 = 0，即{ ，令 x =1，解得 2 = (1, √3,√3)，
2 1 1 = 0 √3 + = 0
1 2 1 1 1 , 2 = = . ∴二面角 | | | | 7 1 1 1 的余弦值为 .1 2 7
17．（本小题满分 15 分）
【详解】（1）由表格中的数据可知，成绩在 60,100 的人数为9+6+22+18= 55，
55 11
所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为 = .
100 20
（2）根据表格可知，41 岁~50 岁年龄段中，成绩在 0,60)内的人数为
2+8+10 = 20，
成绩在 60,100 内的人数为22+18 = 40，
40 2
则随机抽取 1 人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率 P = = ，
60 3
20 1
了解程度低的概率1 P = = .
60 3
2
由题意可知 X B 3, ，则 X 的可能取值为0,1,2,3，
3
3 0 2
1 2 1 2 1 2
则P (X = 0) =C0 13 = ，P (X =1) =C3 = ，
3 3 27 3 3 9
2 0 3
2 1 4 1 2 8
P (X = 2) =C23 = ，P (X = 3) =C
3
3 = ，
3 3 9 3 3 27
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
1 2 4 8
所以 X 的数学期望E (X ) = 0 +1 + 2 +3 = 2 .
27 9 9 27
18.（本小题满分 17 分）
4 2
2
+ 2 = 1
【解析】（1）由题意，{ = 2√2
√ 2 2
，解得：{ ，
√2
= = 2
2
2 2
故椭圆 C的方程为 + = 1
8 4
（2）由题意，直线 MN 的方程为 = + 4， (0,2)， (0, 2)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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= + 4
联立{ 2 2 消去 y整理得：(1 + 2 2) 2 + 16 + 24 = 0，
+ = 1
8 4
√6 √6
判别式 = (16 2) 4(1 + 2 2) × 24 > 0，所以 < 或 > ，
2 2
16
1 + 2 = 2 ①
由韦达定理，{ 1+2 24
1 2 = ②1+2 2
1+2 2 2直线 BM的方程为 + 2 = ，直线 AN的方程为 2 = ，
1 2
1+2 + 2 =
1 +2 ( +2) 联立{ 2 消去 x可得： =
1 2
2 = 2 2 ( 2 2) 1
2
+2 ( 1+2) 2 ( 1+6) 从而 = = 2 = 1
2+6 2 ③
2 ( 2 2) 1 ( 2+2) 1 1 2+2 1
+6
接下来给出以下两种计算非对称结构 1 2 2的方法：
1 2+2 1
3
法 1：由①②知 1 2 = ( 1 + 2)， 2
3 3 9
+6 ( 1+ 2)+6 2 1+ 2
代入式③得： 1 2 2 = 2 = 2 2 = 3
1 2+2
3 1 3
1 ( 1+ 2)+2 1 1 2 2 2 2
+2从而 = 3，解得： yG =1，所以点 y =1G 在定直线 上.
2
16k
x1 = x2
法 2：由①知 1+ 2k
2
，
24 24
1 2+6 2+6 2 2+6 2代入式③得： 2 = 1+2 1+2 24 16 = 8 = 3 1 2+2 1 2+2( 2 2) 2 1+2 1+2 1+2 2 2
+2从而 = 3，解得： y =1，所以点 在定直线 y =1G G 上.
2
19．（本小题满分 17 分）
1 1
【详解】（1）由 f (x) = ln x ax 1(x 0)，得 ′( ) = = ，
当 ≤ 0时， ′( ) > 0在 (0,+ )上恒成立，得 f (x)在 (0,+ )上为增函数，无最大值．
1 1
当 > 0时，由 ′( ) > 0得0 < < ，由 ′( ) < 0得 > ，
1 1
故 f (x)在 0, 上单调递增，在 ,+ 上单调递减，
a a
1 1 1
所以函数 f (x)在 x = 时取最大值为 f = ln 2．
a a a
1 1
综上，当a 0时，函数无最大值；当a 0时，函数的最大值为 f = ln 2 ．
a a
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（2） g(x) = x + eax (ln x ax 1)有两个不同零点x x1， 2 (0 x1 x2 )，
x + eax
x
(ln x ax 1) = 0 + (ln x ax) 1= eln x ax则 + (ln x ax) 1= 0，
eax
构造函数u(x) = ex+ x 1，
u (x) = ex+1 0，所以u(x)为 ( ,+ )增函数，且u(0) = 0，
即 ln x ax = 0有两个不等实根x ， x2 (0 x1 1 x2 )，
ax1 = ln x1 ln x1 x1
则 ，令 = = t ， (0 t 1)，则 ln x1 = t ln x2 ， ln x1 = ln x2 + ln t，
ax2 = ln x ln x2 x2 2
1 t t + 2
所以 t ln x = ln x + ln t ，则 ln x2 = ln t2 2 ， ln x1 = ln t ，故 ln x1 + 2ln x = ln t ， t 1 t 1 2 t 1
t + 2
而 x x
2 em 两边取对数，可转化为 ln x1 + 2ln x1 2 2 m，即 ln t m， (0 t 1)．
t 1
t + 2 (t 1)m
由 ln t m， (0 t 1)可得， (t + 2)lnt (t 1)m，即 ln t 0，
t 1 t + 2
4
(t 1)m 2 t + + 4 3m
设 (t ) = ln t (0 t 1) ，则 1 3m (t + 2) 3mt t ，
t + 2 (t) = = =t (t + 2)2 t(t + 2)2 (t + 2)2
4 4
因为0 t 1，根据对勾函数 y = t + 在(0,1)上单调递减知， t + + 4 (9,+ )，所以，
t t
①当3m 9，即m 3时， (t)≥0 ，故当0 t 1时， (t) (1) = 0，符合题意；
②当3m 9，即m 3时，显然存在 t0 (0,1)，使得 (t0 ) = 0，
即当 t (0,t )时， 0 (t) 0，当 t (t0 ,1)时， (t) 0，
故 (t)max = (t0 ) (1) = 0，不符合题意，
综上，m的取值范围为 ( ,3]．
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