2025 届高三数学测试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C C B D B D ACD BC AD
1．C【详解】 A x (x 1)(x 3) 0 ( 1,3)，
B y y lg x2 1 0, ，
A B 0,3 .
7
1
2．D【详解】由题意知， 2x 的二项展开式的通项公式为2
x
r
r 7 r 1 rT C 2x 1 27 r Cr x7 3r ， r 1 7 2 7
x
1 3
令 4 37 3r 2，得 r 3，故含 项的系数为 1 2 C
2 7 16 35 560 . x
3．C【详解】由 S10 S3 35 S10 S3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 35，
故7a7 35，则a7 5，
由 a a 23 a10 7得a6 a7 7，故 6 ，故公差为a7 a6 3，
4．C【详解】对于 A，由m∥ n, n∥ 可得m 或m∥ ，故 A 错误；
对于 B，由m∥ , ∥ 可得m 或m∥ ，故 B 错误；
对于 C，由m n,n ,m 可得m∥ ，故 C 正确；
对于 D，由m n A,n∥ ,m 可得m, 相交或m∥ ，故 D 错误；
πr
2 1
5．B【详解】设圆锥底面圆半径为 r ，圆锥高为h，依题意， 1 ，解得 h ，
2r h 2
2
1 3
所以 r 1 .
4 2
1 3 1
该圆锥体积为
3 4 2 8
6．D【详解】根据正态分布的知识得a 1 2 2 4 a 3，则0 x 3,3 x 0，
1 9 1 1 9 1 3 x 9x
(3 x x) 10
x a x 3 x 3 x 3 x 3 x
1 3 x 9x 16 3 x 9x 3
10 2
，当且仅当 ，即 x 时取等. 3 x 3 x 3 x 3 x 4
答案第 1 页，共 8 页
tan x tan
tan tan x tan
． 【详解】 f x 1 tan x tan 7 B
1 2tan x tan x tan 1 2
1 tan x tan
tan 1 tan x tan tan x tan tan2 1 tan x
，
1 tan x tan 2 tan x tan 1 2 tan (tan 2) tan x
π π
f x 是 , 上的奇函数，
2024 2024
又 y tan2 1 tan x 为奇函数，则分母上的函数需为偶函数， tan 2 0， tan 2 .
8．D【详解】由椭圆 ，可得F1( c,0), F2(c,0), A(a,0)，
不妨设点P(x1, y1)在第一象限，由椭圆的定义知 PF1 PF2 2a，
2 2 2 2
因为 F1PF2 90 ，可得 PF PF F F ，即 ( PF1 PF2 ) 2 PF1 PF2 4c
2
1 2 1 2 ，
2
可得4a 2 PF
2 2 2 2
1 PF2 4c ，所以 PF1 PF2 2(a c ) 2b ，
1 1 b2
所以 F1PF2的面积为 S PF1 PF b
2
2 ，可得 2c y1 b
2
，解得 y ，
2 2 1 c
b2 b2 b2
又因为a xP yP ，可得 xP a ，即P(a , )，
c c c
b2 b2
(a )2 ( )2
将点 P 代入椭圆的方程，可得 c c ，整理得a
2 b2 2ac 0，
1
a2 b2
因为b2 a2 c2 ，可得c2 2ac 2a2 0，即e2 2e 2 0，
解得e 3 1和 e 3 1（舍去），即椭圆C 的离心率为 3 1.
9．ACD【详解】对于 A：因为 0.6 0，所以变量 y 与 x负相关，故A 正确；
1 1
对于 B： x (1 2 3 4 5） 3， y (5 4.5 4 3.5 2.5） 3.9，
5 5
y 0.6x a ，则 0.6 3 a 3.9，解得a 5.7，故B 错误；
对于 C：当 x 6时， y 0.6 6 5.7 2.1，
故可以预测第 6 个月的下载量约为 2.1 万次，故C正确；
对于 D：当 x 1时， y 1 0.6 1 5.7 5.1， y1 y 1 0.1，
当 x 2时， y 2 0.6 2 5.7 4.5， y2 y 2 0，
当 x 3时， y 3 0.6 3 5.7 3.9， y y 3 3 0.1，
答案第 2 页，共 8 页
当 x 4时， y 4 0.6 4 5.7 3.3， y y 4 4 0.2，
当 x 5时， y 5 0.6 5 5.7 2.7， y5 y 5 0.2，
故残差绝对值的最大值为 0.2，故D 正确.
10．BC【详解】由函数 f x Asin x 的部分图象可知： A 2，
1 π
又因为 f 0 2sin 0 1，即sin ， 0,2 π ，结合函数的单调性可得 ,故
2 6
A 错误；
5π 5π π 5π π 5π π
f 2sin 0即 sin 0， ω π，所以 2 , 故 B 正确；
12 12 6 12 6 12 6
π
所以 f (x) 2sin 2x ．
6
5π 5π 20π π 7π
对于选项 C：当 x 时，可得 f 2sin 2sin 2，
3 3 6 6 2
5π
所以 f x 的图象关于直线 x 对称， 故 C 正确；
3
π 5π π 2π 11π
对于选项 D： 当 x ,4 6
时，2x ,
6 3 6
，
π 3 π
所以sin 2x 1, ，即 f x 2sin 2x 2, 3 ，故 D 错误；
6 2 6
ex e x ex e x e2x e 2x
11．AD【详解】对于 A：函数 f x sinh xcosh x ，定义域为R ，
2 2 4
e 2x e2x
所以 f x f x ，则函数 y sinh x cosh x 是奇函数，故 A 正确；
4
ex y +e x y
对于 B：由于cosh(x y) ，
2
ex +e x e y e y ex e x e y e y
又 cosh x cosh y sinh xsinh y
4
ex y ex y e y x e x y ex y ex y e y x e x y ex y e y x
，
4 2
所以cosh(x y) cosh xcosh y sinh xsinh y ，故 B 错误；
ex e x ex e x
对于 C：因为双曲正弦函数 sinh x 和双曲余弦函数 cosh x
2 2
2 2
2 2 e
x e x ex e x e2x e 2x 2 e2x e 2x 2 e2x e 2x
则 sinh x cosh x 1 ，
2 2 4 4 2
故 C 错误；
答案第 3 页，共 8 页
sin hx ex e x e2x 1 2 2
由 y 1 ，又因为e2 x 1 1，所以0 2 ，所以
cos hx ex e x e2x
2x
1 e2x 1 e 1
2 sin hx
1 1 1，所以 y 2 x 的值域为 ，故 D 正确； e 1 cos hx
12． 2【详解】a b 4,2 ，因为 a b c ，所以 a b c 0 ，
即4 2k 0，解得 k 2 .
8
13． 【详解】由题意m 1 0 m，焦点在 y 轴上，
9
b2 m 8
e2 1 1 9,m ；
a2 m 1 9
4 4
14．6 3【详解】设三棱柱的内切球半径为 r ，则 r
3 ，所以 r 1，因为该球与正三
3 3
棱柱两个底面都相切，所以该正三棱柱的高h 2r 2，又因为该球与正三棱柱的三个侧面
都相切，所以底面边长a 2 3r 2 3，该正三棱柱的体积为
1 2 1 3V a sin 60 h (2 3)2 2 6 3
2 2 2
π 3
15．(1) A (2)
3 2
π
【详解】（1）因为2c b 2asin C 3a sin C a cosC ，
6
由正弦定理可得2sinC sin B 3sin Asin C sin AcosC ，
且sin B sin A C sin AcosC cos AsinC ，
即2sinC sin AcosC cos AsinC 3sin AsinC sin AcosC ，
π
整理可得2sin C 3 sin Asin C cos Asin C 2sin C sin A ，
6
π
且C 0,π ，则sinC 0，可得sin A 1，
6
π π 7π π π π
又因为 A 0,π ，则 A ，可得 A ，所以 A ......................6 分
6 6 6 6 2 3
π
（2）因为 AD 为 BAC 的平分线，则 BAD CAD ，
6
因为 S ABC S BAD S CAD ，则
1 1 1
AB AC sin BAC AB AD sin BAD AD AC sin CAD ，
2 2 2
1 3 1 1 1 1
即 bc c 1 1 b ，可得b c 3bc，
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2在 BAC中，由余弦定理可得a b c 2bc cos BAC b c 2bc 2bc cos BAC ，
答案第 4 页，共 8 页
2 2
即6 3 bc 2bc bc，整理可得 bc bc 2 0，解得bc 2或bc 1（舍去），
1 1 3 3
所以 ABC的面积 S△ABC bc sin BAC 2 .....................13 分
2 2 2 2
4 19
16．(1) 5 (2)
19
【详解】（1）取 AD 中点O，连PO，CO，由BC / /AO,BC AO，所以四边形 ABCO为平行
四边形，故OC / /AB .
由PD 平面PAB， AB 平面PAB，有PD AB ，所以OC PD .
又 AB AD ，所以OC AD，又 AD PD D ，AD, PD 平面PAD ，所以OC 平面PAD .
由OP 平面PAD ，所以OC PO .
1
由PD 平面PAB， AP 平面PAB，有PD AP ，故OP AD 1.
2
又OC AB 2，故PC OP2 OC2 5 ......................6 分
（2）以O为坐标原点，OC,OD为 x， y 轴的正方向，
以过O且与平面 ABCD垂直向上为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
1 3
由 PD 1，得 POD为正三角形，故P 0, , .
2 2
1 3
又 A(0, 1,0),C(2,0,0), D(0,1,0) ，CD ( 2,1,0), PD 0, , .
2 2
设平面 PCD的法向量n (x, y, z)，
2x y 0
n CD 0
由 ，即 1 3 ，
n PD 0 y z 0
2 2
取 z 2 ，得到平面 PCD的一个法向量 n ( 3, 2 3,2) .
3 3
又 PA 0, , ，
2 2
设直线PA与平面 PCD所成角的大小为 ，
n PA 4 3 4 19
则 sin cos n, PA .
n PA 3 19 19
4 19
所以直线PA与平面 PCD所成角的正弦值为 ......................15 分
19
答案第 5 页，共 8 页
1 1
17．(1) y x
2 2
1
(2) a
2
【详解】（1）由于 f 1 0，则切点坐标为 1,0 ，
1
1 ln x 1
因为 f (x) x ，所以切线斜率为 f 1 ，
2 2
x 1
1 1 1
故切线方程为 y 0 (x 1) ，即 y x ．.....................4 分
2 2 2
（2）当 x 1, 时， f x ≤a x 1 等价于 ln x≤a x2 1 ，
2
令 g x a x 1 ln x， x 1, ，
≤ 2 1 2ax
2 1
ln x a x 1 恒成立，则 g x 0恒成立， g (x) 2ax ，
x x
当a 0时， g (x) 0，函数 g x 在 1, 上单调递减， g x g 1 0，不符合题意；
1 1
当0 a 时，由 g (x) 0，得 x 1，
2 2a
1
x 1, 时， g (x) 0，函数 g x 单调递减， g x g 1 0，不符合题意；
2a
1
当 a 时，2a 1，因为 x 1，所以2ax2 1≥0，则 g (x) 0，
2
所以函数 g x 在 1, 上单调递增， g x g 1 0，符合题意．
1
综上所述，a ．.....................15 分
2
2
．（ ） x 1 y218 1 4；（2）见解析
6
5 4
【详解】（1）设圆心C 的坐标为 a,0 ，则 kCM ，又 k ， 3 l 3
a
5
由题意可知， kCM kl 1，则
答案第 6 页，共 8 页
故C 1,0 ，所以 CM 2，即半径 r 2
2
故圆C 的标准方程为 x 1 y2 4 . .....................6 分
（2）设直线 L 的方程为 y kx(k 0)，
2
x 1 y2 4
由 得： 1 k 2 x2 2x 3 0，
y kx
2 3
所以 x1 x2 ， x1x2 .
1 k 2 1 k 2
1 1 x1 x2 2
（ⅰ） 为定值
x1 x2 x1x2 3
2 2 2 2
（ⅱ） PN QN 2 2 2x 2 y2 x 2 y2 x1 4x1 4 y1 x2 4x2 4 y
2
1 1 2 2 2
2
x 1 y2
2
1 1 x2 1 y
2
2 6 x1 x2 6 6 x1 x2 14
12
14 26
k 2 1
2 2
（当且仅当 k 2 0，即 k 0时等号成立）故 PN | QN | 的最大值为 26. .....................17 分
1 n 2 n k 1
19．(1) (2) (3) P n,k
2 n 1 n k 2
1
【详解】（1）1 号球放入 1 号盒中的概率为 ,此时 2,3 号球分别放入 2,3 号盒中；
3
1
1 号球放入 2 号盒中的概率为 ,欲使 3 号球放入 3 号盒中，则 2 号球需放入 1 号盒中，概率
3
1
为 ,1 号球放入 3 号盒中时，此时 3 号球不能放入 3 号盒中;综上所述：
2
1 1 1 1
P 3,3 ......................3 分
3 3 2 2
n 2
（2）1 号球放入 1 号,4 号，5 号，, n 号盒中的概率为 ，此时 3 号球可放入 3 号盒中;
n
1
1 号球放入 2 号盒中的概率为 ,欲使 3 号球放入 3 号盒中，则 2 号球需放入 1 号，4 号，5
n
n 2
号，.... n 号盒中，概率为 ,
n
1 号球放入 3 号盒中时，此时 3 号球不能放入 3 号盒中;
n 2 1 n 2 n 2
综上所述：P n,3 .....................7 分
n n n 1 n 1
n k 1
（3）1 号球放入 1 号，k 1号，k 2号，k 3号，..., n 号盒中的概率为 ,此时 k 号
n
球可放入 k 号盒中：
答案第 7 页，共 8 页
1
1 号球放入 j 2 j k 1 号盒中的概率为 ,此时 2 号，3 号，.... j 1号球都可以放入对应
n
编号的盒中，
剩下编号为 j, j 1, j 2, ,k 的球和编号为 1, j l, j 2, ,n的空盒，
此时 j 号盒非空， j 号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 k 号球放入 k 号盒
中的放法总数等效于将编号为1,2, ,k j 1的球，
按照题设规则放入编号为1,2, ,n j 1的盒中（1 号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以
概率为 P n j 1,k j 1
1 号球放入 k 号盒中时，此时 k 号球不能放入 k 号盒中：
n k 1 1 k 1
所以 P n,k P n j 1,k j 1 ,
n n j 2
k 1
整理得： nP n,k n k 1 P n j 1,k j 1 ,①
j 2
分别用 n 1和 k 1替换 n 和 k ，可得：
k 2
n 1 P n 1,k 1 n k 1 P n j 1,k j 1 ,②,
j 2
由①②式相减，整理得： P n,k P n 1,k 1
从而 P n,k P n 1,k 1 P n k 2,2 ,
1 n k 1
P n k 2,2 等于 1 号球不放在 2 号盒的概率，即P n k 2,2 1 .
n k 2 n k 2
n k 1
所以 P n,k .....................17 分
n k 2
答案第 8 页，共 8 页2025 届高三数学测试卷
姓名：___________班级：___________
一、单选题（本大题共 8小题，每题 5分，共 40分.）
A x x21．已知集合 2x 3 0 ，B y y lg x2 1 ，则 A B （ ）
A． 1,3 B． 1,0 C． 0,3 D． ,3
7
1 1
2． 2x 展开式中含 项的系数为（ ）
x2
2
x
A．420 B． 420 C．560 D． 560
3．设等差数列 a 的前n项和为 Sn ，若S10 S3 35,a3 a10 7n ，则 an 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知m, n是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则m∥ 的一个充分条件是（ ）
A．m∥ n, n∥ B．m∥ , ∥
C．m n,n ,m D．m n A,n∥ ,m
5．某圆锥母线长为 1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥体积为（ ）
3π π 3π 3π
A． B． C． D．
8 8 8 24
1 9
6．已知随机变量 ~ N 2, 2 ，且P( 1) (P ) a ，则 (0 x a)的最小值为（ ）
x a x
11 20 16
A．5 B． C． D．
2 3 3
tan tan x π π
7．已知函数 f x 是 , 上的奇函数，则 tan （ ） 1 2tan x 2024 2024
1 1
A．2 B．-2 C． D．
2 2
x2 y2
8．设椭圆E : 1 a b 0 的左右焦点为F1, F2 ，右顶点为A ，已知点 P 在椭圆E 上，
a2 b2
若 F1PF2 90 , PAF2 45 ，则椭圆E 的离心率为（ ）
5 6
A． B． C．2 2 D． 3 1
7 3
二、多选题（本大题共 3小题，每题 6分，共 18分.）
9．某科技公司统计了一款 App 最近 5 个月的下载量如表所示，若 y 与 x线性相关，且线性
回归方程为 y 0.6x a ，则（ ）
1
月份编号 x 1 2 3 4 5
下载量 y （万次） 5 4.5 4 3.5 2.5
A． y 与 x负相关 B．a 5.6
C．预测第 6 个月的下载量是 2.1 万次 D．残差绝对值的最大值为 0.2
10．已知函数 f x Asin x A 0, 0,0 2π 的部分图象如图所示，则（ ）
5π
A． B． 2
6
5π π 5π
C． f x 的图象关于直线 x 对称 D． f x 在
3
, 上的值域为 2,1
4 6
11．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双
ex e x
曲余弦函数，已知双曲正弦函数的解析式为sinhx ，双曲余弦函数的解析式为
2
ex e x
coshx （其中 e为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ）
2
A． y sinhx coshx是奇函数
B．cosh x y coshx coshy sinhx sinhy
C． (sinhx)2 (coshx)2 1
sinhx
D．函数 y 的值域为 1,1
coshx
三、填空题（本大题共 3小题，每题 5分，共 15分.）
12．已知平面向量a 5,1 ,b 1, 1 ,c 1,k ，若 a b c，则 k ．
x2 y2
13．若双曲线 1的离心率为 3，则m ．
m m 1
4
14．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为 ，则该三
3
棱柱的体积是 ．
四、解答题（本大题共 77分.）
15．（本小题满分 13分）
2
π
已知 ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且2c b 2asin C ．
6
(1)求角 A；
(2)若 a 6, D 为边BC上一点， AD 为 BAC 的平分线，且 AD 1，求 ABC的面积.
16．（本小题满分 15分）
如图，在四棱锥P ABCD中， AD / /BC, AB AD, AB AD 2, BC 1, PD 平面PAB．
(1)求PC的长；
(2)若 PD 1，求直线PA与平面 PCD所成角的正弦值
17．（本小题满分 15分）
ln x
已知函数 f x ．
x 1
(1)求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)当 x 1时， f x ≤a x 1 ，求 a的取值范围．
3
18．（本小题满分 17分）
3 6
已知圆心在 x轴上的圆C与直线 l : 4x 3y 6 0切于点M , .
5 5
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点N 2,0 ，直线 y kx 与圆C交于P x1, y1 ,Q x2, y2 两点.
1 1
（ⅰ）求证： 为定值；
x1 x2
2 2
（ⅱ）求 PN QN 的最大值.
19．（本小题满分 17分）有编号为1, 2, , n的n个空盒子 n 2,n N ，另有编号为1, 2, , k
的 k 个球 2 k n,k N ，现将k 个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放
球时，先将 1 号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依
次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的
编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记k 号球能放入k 号
盒子的概率为P n,k ．
(1)求P 3,3 ；
(2)当n 3时，求P n,3 ；
(3)求P n,k ．
4
