湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（A卷）
1．（2024高一上·邵阳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·邵阳月考）如果，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·邵阳月考）已知函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（2024高一上·邵阳月考）已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024高一上·邵阳月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·邵阳月考）（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·邵阳月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·邵阳月考）设p：是等腰三角形，q：是等边三角形，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
9．（2024高一上·邵阳月考）若角终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·邵阳月考）一元二次不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
11．（2024高一上·邵阳月考）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
12．（2024高一上·邵阳月考）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
13．（2024高一上·邵阳月考）已知幂函数的图象过点，则
14．（2024高一上·邵阳月考）化简： .
15．（2024高一上·邵阳月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
16．（2024高一上·邵阳月考）若为第一象限角，则 .
17．（2024高一上·邵阳月考）用符号“”或“”填空：
设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 .
18．（2024高一上·邵阳月考）设，若，求的值.
19．（2024高一上·邵阳月考）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
20．（2024高一上·邵阳月考）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？
21．（2024高一上·邵阳月考）已知是第三象限角，且．求的值.
22．（2024高一上·邵阳月考）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求的解析式.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由结合，，
所以.
故选：B.
【分析】根据题意，结合集合交集的定义及运算，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；等式的性质
【解析】【解答】解：对于A、B中，当时，，，故AB错误；
对于C中，当时，，故C错误；
对于D中，因为，所以，故D正确.
故选：D.
【分析】举反例排除ABC，利用不等式的性质判断D，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，所以.
故选：B.
【分析】
根据题意，利用分段函数的解析式，结合函数的定义域计算，代入准确运算，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由集合N＝{1，3，5}，则集合N的子集个数.
除去集合N本身，还有8-1=7个.
故选：C.
【分析】根据题意，结合集合真子集的个数的计算方法，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数解析式有意义，则，解得.
故的定义域为.
故选：D.
【分析】根据题意，利用函数解析式有意义，列出不等式，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】由三角函数的诱导公式，可得.
故选：B.
【分析】
根据题意，利用诱导公式及特殊角的三角函数值，准确计算，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
故选：B.
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设中角、、所对的边分别为、、，
若是等腰三角形，假设是，此时不是等边三角形，故不能推出，
若是等边三角形，则有，此时一定是等腰三角形，故能推出，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
9．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由正弦值的定义可得：，不难发现，
两边平方，，所以.
故选：C.
【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为，即．∴．
故选：C．
【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解．
11．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，由得，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
【分析】根据题意，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
12．【答案】A
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：，
与终边相同，所以是第一象限角．
故选：A.
【分析】根据题意，结合终边相同角的表示方法，即可求解.
13．【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为幂函数的图象过点，
所以，解得.
故答案为：2.
【分析】根据题意，将点代入函数解析式，即可求解.
14．【答案】4
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：由.
故答案为：4.
【分析】利用对数运算及换底公式计算，准确运算，即可求解.
15．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
又因为函数，
所以，即或，
故答案为：.
【分析】根据题意，结合抽象函数定义域的解法，得出不等式，即可求解.
16．【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由三角函数的诱导公式，可得.
故答案为：.
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
17．【答案】；；；
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：中国与印度属于亚洲国家，美国与英国不属于亚洲国家.
中国，美国，印度，英国.
故答案为：；；；.
【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，即可得到答案.
18．【答案】解：由，则，
因为，所以.
所以，解得，
此时，满足题意.
故.
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【分析】根据题意，利用集合相等可得元素相同，列出方程，求得的值，即可求解.
19．【答案】解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为，
依题意，，于是，即，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为，由已知结合基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
20．【答案】解：设矩形的长和宽分别为x，y，x＞0，y＞0，
∴2（x+y）=36，
∴x+y=18，
∵x＞0，y＞0，
∴矩形的面积，
当且仅当x=y=9时取“=”，
∴当长和宽都为9m时，面积最大为81m2．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】设长和宽分别为x，y，根据题意得到x+y=18，面积S=xy，利用基本不等式即可求解．
21．【答案】解：因是第三象限角，故，由可得，
则.
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】根据已知角的象限判断余弦值的符号，再运用同角的三角函数基本关系式，即可求解.
22．【答案】（1）解：因为，
所以，解得且，
即函数定义域为.
（2）解：由函数的解析式，可得.
（3）解：当时，，
则.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数的表示方法
【解析】【分析】（1）根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求得函数的定义域；
（2）根据函数的解析式，赋值直接求解，即可得到答案；
（3）根据条件直接整体代入，即可求解.
（1）因为，
所以，解得且，
即函数定义域为.
（2）.
（3）当时，，
则
.
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1．（2024高一上·邵阳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由结合，，
所以.
故选：B.
【分析】根据题意，结合集合交集的定义及运算，即可求解.
2．（2024高一上·邵阳月考）如果，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；等式的性质
【解析】【解答】解：对于A、B中，当时，，，故AB错误；
对于C中，当时，，故C错误；
对于D中，因为，所以，故D正确.
故选：D.
【分析】举反例排除ABC，利用不等式的性质判断D，即可求解.
3．（2024高一上·邵阳月考）已知函数，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，所以.
故选：B.
【分析】
根据题意，利用分段函数的解析式，结合函数的定义域计算，代入准确运算，即可求解.
4．（2024高一上·邵阳月考）已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由集合N＝{1，3，5}，则集合N的子集个数.
除去集合N本身，还有8-1=7个.
故选：C.
【分析】根据题意，结合集合真子集的个数的计算方法，即可求解.
5．（2024高一上·邵阳月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数解析式有意义，则，解得.
故的定义域为.
故选：D.
【分析】根据题意，利用函数解析式有意义，列出不等式，即可求解.
6．（2024高一上·邵阳月考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】由三角函数的诱导公式，可得.
故选：B.
【分析】
根据题意，利用诱导公式及特殊角的三角函数值，准确计算，即可求解.
7．（2024高一上·邵阳月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，所以，
故选：B.
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
8．（2024高一上·邵阳月考）设p：是等腰三角形，q：是等边三角形，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设中角、、所对的边分别为、、，
若是等腰三角形，假设是，此时不是等边三角形，故不能推出，
若是等边三角形，则有，此时一定是等腰三角形，故能推出，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
9．（2024高一上·邵阳月考）若角终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由正弦值的定义可得：，不难发现，
两边平方，，所以.
故选：C.
【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解.
10．（2024高一上·邵阳月考）一元二次不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为，即．∴．
故选：C．
【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解．
11．（2024高一上·邵阳月考）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，由得，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
【分析】根据题意，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
12．（2024高一上·邵阳月考）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：，
与终边相同，所以是第一象限角．
故选：A.
【分析】根据题意，结合终边相同角的表示方法，即可求解.
13．（2024高一上·邵阳月考）已知幂函数的图象过点，则
【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为幂函数的图象过点，
所以，解得.
故答案为：2.
【分析】根据题意，将点代入函数解析式，即可求解.
14．（2024高一上·邵阳月考）化简： .
【答案】4
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：由.
故答案为：4.
【分析】利用对数运算及换底公式计算，准确运算，即可求解.
15．（2024高一上·邵阳月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
又因为函数，
所以，即或，
故答案为：.
【分析】根据题意，结合抽象函数定义域的解法，得出不等式，即可求解.
16．（2024高一上·邵阳月考）若为第一象限角，则 .
【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由三角函数的诱导公式，可得.
故答案为：.
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
17．（2024高一上·邵阳月考）用符号“”或“”填空：
设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 .
【答案】；；；
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：中国与印度属于亚洲国家，美国与英国不属于亚洲国家.
中国，美国，印度，英国.
故答案为：；；；.
【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，即可得到答案.
18．（2024高一上·邵阳月考）设，若，求的值.
【答案】解：由，则，
因为，所以.
所以，解得，
此时，满足题意.
故.
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【分析】根据题意，利用集合相等可得元素相同，列出方程，求得的值，即可求解.
19．（2024高一上·邵阳月考）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
【答案】解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为，
依题意，，于是，即，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为，由已知结合基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
20．（2024高一上·邵阳月考）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？
【答案】解：设矩形的长和宽分别为x，y，x＞0，y＞0，
∴2（x+y）=36，
∴x+y=18，
∵x＞0，y＞0，
∴矩形的面积，
当且仅当x=y=9时取“=”，
∴当长和宽都为9m时，面积最大为81m2．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】设长和宽分别为x，y，根据题意得到x+y=18，面积S=xy，利用基本不等式即可求解．
21．（2024高一上·邵阳月考）已知是第三象限角，且．求的值.
【答案】解：因是第三象限角，故，由可得，
则.
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】根据已知角的象限判断余弦值的符号，再运用同角的三角函数基本关系式，即可求解.
22．（2024高一上·邵阳月考）已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求的解析式.
【答案】（1）解：因为，
所以，解得且，
即函数定义域为.
（2）解：由函数的解析式，可得.
（3）解：当时，，
则.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数的表示方法
【解析】【分析】（1）根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求得函数的定义域；
（2）根据函数的解析式，赋值直接求解，即可得到答案；
（3）根据条件直接整体代入，即可求解.
（1）因为，
所以，解得且，
即函数定义域为.
（2）.
（3）当时，，
则
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