四川省乐山市草堂高级中学2024届高三上学期1月月考数学（文）试题
1．（2024高三上·乐山月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，
则.
故选：B.
【分析】先求出集合，再根据交集的定义及运算，即可得解.
2．（2024高三上·乐山月考）复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】因为复数，
则
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则，进而得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模。
3．（2024高三上·乐山月考）已知向量，则（ ）
A．10 B．18 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，
所以，
故选：A.
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，以及向量的数量积的坐标运算法则，准确计算，即可求解.
4．（2024高三上·乐山月考）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题，
则为：，
故选：D.
【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题，准确改写，即可求解.
5．（2024高三上·乐山月考）甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（ ）
A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的取值规律
【解析】【解答】解：甲的数据：，乙的数据：，
A．甲投中个数的平均数为，
乙投中个数的平均数为，故错误；
B. 甲的数据从小到大排序为：，则中位数为，
乙的数据从小到大排序为：，则中位数为，故错误；
C. 由折线图知：甲的波动相对乙的波动较小，所以甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小，故正确；
D.甲投中个数的极差为10-6=4，乙投中个数的极差为：10-3=7，故错误，
故选：C.
【分析】利用平均数公式，可判定A错误；利用中位数定义及计算，可判定B错误；根据折线图的波动性，可判定C正确；利用极差的定义及计算方法，可判定D错误.
6．（2024高三上·乐山月考）执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：根据给定的程序框图，可得：第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
由以上可知，第次循环：；
当时，一直循环，所以由，且，解得；
因此，第506次循环：，即，
则，输出.
故选：D.
【分析】根据程序框图的循环结构，逐项循环一次值减少，结合判定条件，即可求解.
7．（2024高三上·乐山月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】由题意，可得，解得，
所以.
故选：C.
【分析】根据题意，列出方程组，求得得到值，结合等差、等比数列的性质进行求解，即可得到答案.
8．（2024高三上·乐山月考）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为点在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以的方程为.
故选：B.
【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案.
9．（2024高三上·乐山月考）若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：设切点为，则由题意可知，
所以.
故选：C.
【分析】根据题意，结合导数的几何意义进行计算，即可求解.
10．（2024高三上·乐山月考）函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为函数的图象经过点，
所以，
又，所以，
将的图象向右平移个单位长度后，
所得函数图象的解析式为，
因为的函数图象关于原点对称，
所以，得，
因为，所以当时，取得最小值.
故选：A.
【分析】根据题意，利用，求得，再根据平移变换求出平移后的解析式，然后根据对称性，列出方程，即可求解.
11．（2024高三上·乐山月考）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与所成的角为 B．与所成的角为
C．与所成的角为 D．与所成的角为
【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图所示，正方体中，设其棱长为1，
易知直线与直线平行，所以与所成的角即为与所成的角，
即为，而三角形为正三角形，所以，所以A正确；
同理与平行，与所成的角即为与所成角，即为，三角形为正三角形，所以，所以C错误；
因为，，，平面，平面，
所以平面，所以与所成的角即为，则B错误；
因为与平行，所以与所成角与与所成的角相等，
即为，三角形中，，，
所以不为，则D错误；
故选：A.
【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，以及异面直线所成角的定义及计算方法，逐项判定，即可求解.
12．（2024高三上·乐山月考）已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】不妨令点P在第一象限，设
因为，在中，则则所以，
在中，则则所以，
在中，则，则所以，
因为，所以所以，所以椭圆C的离心率为.
故答案为：B.
【分析】根据，分别在三角形，，中，利用相似三角形对应边成比例求出再根据得出a，c的关系式，再结合椭圆离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值。
13．（2024高三上·乐山月考）已知函数为偶函数，则实数 .
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数的定义域是，定义域关于原点对称；
，
由于为偶函数，
得到恒成立；
即对于恒成立，
所以.
故答案是：.
【分析】根据题，利用偶函数的定义，得出方程是恒等式，进而求参数值，即可得到答案．
14．（2024高三上·乐山月考）已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】11
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件，画出可行域，如图：
令，化为斜截式方程得，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大.
由得，即.
所以点代入目标函数可得最大值，即最大值为.
故答案为：11.
【分析】画出约束条件所表示的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入求得目标函数的最值，即可得到答案.
15．（2024高三上·乐山月考）在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若，则该四棱台的高是 .
【答案】
【知识点】棱台的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球O与上底面、下底面分别切于点，
与面，面分别切于点，
作出其截面如图所示，则，，
于是，
过点M作于点H，则，
由勾股定理可得︰，
所以，
所以该四棱台的高是.
故答案为：
【分析】作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，进而求得棱台的高，求得答案.
16．（2024高三上·乐山月考）《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为 .
【答案】21
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题，每天织布尺数为等差数列，设为，公差为，则，
因为，，
所以，解得，.
故答案为：21.
【分析】根据题意，得到每天织布尺数构成等差数列，求得等差数列的首项和公差，得出数列的通项公式，进而得到答案.
17．（2024高三上·乐山月考）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 60 80 140
感染支原体肺炎 40 20 60
合计 100 100 200
（1）是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？
（2）现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出2人作为医学研究对象并免费治疗，求2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率．
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：（其中）
【答案】（1）解：根据题意得：.
有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
（2）解：从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，其中有慢性疾病有人，没有慢性疾病有2人，
设有慢性疾病的4人编号为，没有慢性疾病的2人编号为，
从中任取2人有：共15种情况，
2个人中恰有1个人患有慢性疾病的有共8种情况，
由古典概型的概率公式可得：2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表中数据，求出的观测值，再与临界值表比较即得.；
（2）首先由分层抽样的得慢性疾病有4人，没有慢性疾病有2人，再列出从6人中任取2人的所有事件，利用古典概型的概率公式求结果，即可得解.
（1）根据题意得：.
有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
（2）从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，其中有慢性疾病有人，没有慢性疾病有2人，
设有慢性疾病的4人编号为，没有慢性疾病的2人编号为，
从中任取2人有：共15种情况，
2个人中恰有1个人患有慢性疾病的有共8种情况，
由古典概型的概率公式可得：2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为.
18．（2024高三上·乐山月考）记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，求面积的取值范围.从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】解：若选择①，由正弦定理，，
同理，
，
又为锐角三角形，，，，
解得，
，即，
所以，
所以面积的取值范围为.
若选择②，由正弦定理，，
，
又为锐角三角形，，，，
解得，，即，
，
所以面积的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】选择①，由正弦定理求出，再根据三角形面积公式求出面积的表达式，消去角，得到角三角函数，利用三角恒等变换化简结合角的范围求得结果；
选择②，由正弦定理求出，代入面积公式，消去角，化简表达式结合角的范围求得结果.
19．（2024高三上·乐山月考）已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前2023项和．
【答案】（1）解：数列是首项为2的等比数列，是和的等差中项，
，即，
，，
，解得或（舍），
.
（2）解：由（1）知，
，
的前2023项和.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到，由是首项为2的等比数列且，求出的值，进而求出通项公式；
（2）由（1）得，利用裂项相消法求和，即可求解.
（1）数列是首项为2的等比数列，是和的等差中项，
，即，
，，
，解得或（舍），
；
（2），
，
的前2023项和.
20．（2024高三上·乐山月考）如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，且直线与所成角为，求点E到平面的距离．
【答案】（1）证明：取BD中点为F，连接AF，
因为，所以，且，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，
所以，，且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为，且直线与所成角为，，
所以，
在中，，，
以C为原点，分别为x，y轴的正方向，过点C作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，平面，所以平面，
则，
得，
设为平面的一个法向量，
则，取得，
所以点E到平面的距离.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）通过证明为平行四边形，得到，然后由线面平行判定定理，即可得证；
（2）以C为原点，分别为x，y轴的正方向，过点C作垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再利用向量法的距离公式，即可求解.
（1）取BD中点为F，连接AF，
因为，所以，且，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，
所以，，且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为，且直线与所成角为，，
所以，
在中，，，
以C为原点，分别为x，y轴的正方向，过点C作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，平面，所以平面，
则，
得，
设为平面的一个法向量，
则，取得，
所以点E到平面的距离.
21．（2024高三上·乐山月考）已知函数，其中，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，．∴．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）解：∵，，，
令，则．
令，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，∴方程有唯一解．
∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．
等价于方程有两个不相等的实数解．
构造函数，则．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，；，．
∴只需要，即．
构造函数，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∵，∴当时，恒成立．
∴的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得函数的导数，结合导数的符号，即可求得函数单调区间即可；
（2）先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简化为方程有两个不相等的实数解，最后对取对变换化简后的方程再构造函数，根据零点个数求参数的取值范围.
（1）当时，．∴．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）∵，，，
令，则．
令，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，∴方程有唯一解．
∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．
等价于方程有两个不相等的实数解．
构造函数，则．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，；，．
∴只需要，即．
构造函数，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∵，∴当时，恒成立．
∴的取值范围为．
22．（2024高三上·乐山月考）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）解：依题意，
∵曲线的参数方程为（为参数），
∴曲线的普通方程为．
∵直线的极坐标方程为，
∴．
∵，．
∴直线的直角坐标方程为．
（2）解：由（1）知，点在直线上，
∴直线的参数方程为（为参数），
代入得，．
设，是上述方程的两根，
∴，，．
∴．
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)对于曲线C消参数t即可得出普通方程；对于直线 利用和差公式展开 ， 代入，，即可求解出直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
(2)利用参数方程的几何意义即可求解出 的值．
23．（2024高三上·乐山月考）设函数．
（1）解不等式；
（2）令的最小值为，正数满足，证明：．
【答案】（1）解：依题意，函数，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，无解，
所以不等式的解集为.
（2）证明：由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此，则，，即有，
显然，当且仅当时取等号，
因此，即，
所以.
【知识点】不等式的证明；不等式的解集
【解析】【分析】（1）把函数表示为分段函数的形式，分类讨论求得不等式的解集，即可得到答案.
（2）求出函数的最小值，得到，变形为，结合基本不等式，即可求解.
（1）依题意，函数，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，无解，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此，则，，即有，
显然，当且仅当时取等号，
因此，即，
所以.
1 / 1四川省乐山市草堂高级中学2024届高三上学期1月月考数学（文）试题
1．（2024高三上·乐山月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·乐山月考）复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．（2024高三上·乐山月考）已知向量，则（ ）
A．10 B．18 C． D．
4．（2024高三上·乐山月考）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·乐山月考）甲、乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（ ）
A．甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B．甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C．甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D．甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
6．（2024高三上·乐山月考）执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·乐山月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2024高三上·乐山月考）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·乐山月考）若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三上·乐山月考）函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
11．（2024高三上·乐山月考）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与所成的角为 B．与所成的角为
C．与所成的角为 D．与所成的角为
12．（2024高三上·乐山月考）已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024高三上·乐山月考）已知函数为偶函数，则实数 .
14．（2024高三上·乐山月考）已知实数满足，则的最大值为 ．
15．（2024高三上·乐山月考）在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若，则该四棱台的高是 .
16．（2024高三上·乐山月考）《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为 .
17．（2024高三上·乐山月考）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人，某市医院传染病科在该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人的情况，并将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 60 80 140
感染支原体肺炎 40 20 60
合计 100 100 200
（1）是否有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关？
（2）现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，再从6人中随机抽出2人作为医学研究对象并免费治疗，求2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率．
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：（其中）
18．（2024高三上·乐山月考）记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，求面积的取值范围.从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2024高三上·乐山月考）已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前2023项和．
20．（2024高三上·乐山月考）如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，且直线与所成角为，求点E到平面的距离．
21．（2024高三上·乐山月考）已知函数，其中，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
22．（2024高三上·乐山月考）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于A，B两点，求的值．
23．（2024高三上·乐山月考）设函数．
（1）解不等式；
（2）令的最小值为，正数满足，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，
则.
故选：B.
【分析】先求出集合，再根据交集的定义及运算，即可得解.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】因为复数，
则
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则，进而得出复数z，再结合复数求模公式得出复数z的模。
3．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，
所以，
故选：A.
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，以及向量的数量积的坐标运算法则，准确计算，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题，
则为：，
故选：D.
【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题，准确改写，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的取值规律
【解析】【解答】解：甲的数据：，乙的数据：，
A．甲投中个数的平均数为，
乙投中个数的平均数为，故错误；
B. 甲的数据从小到大排序为：，则中位数为，
乙的数据从小到大排序为：，则中位数为，故错误；
C. 由折线图知：甲的波动相对乙的波动较小，所以甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小，故正确；
D.甲投中个数的极差为10-6=4，乙投中个数的极差为：10-3=7，故错误，
故选：C.
【分析】利用平均数公式，可判定A错误；利用中位数定义及计算，可判定B错误；根据折线图的波动性，可判定C正确；利用极差的定义及计算方法，可判定D错误.
6．【答案】D
【知识点】循环结构
【解析】【解答】解：根据给定的程序框图，可得：第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
由以上可知，第次循环：；
当时，一直循环，所以由，且，解得；
因此，第506次循环：，即，
则，输出.
故选：D.
【分析】根据程序框图的循环结构，逐项循环一次值减少，结合判定条件，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】由题意，可得，解得，
所以.
故选：C.
【分析】根据题意，列出方程组，求得得到值，结合等差、等比数列的性质进行求解，即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为点在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以的方程为.
故选：B.
【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：设切点为，则由题意可知，
所以.
故选：C.
【分析】根据题意，结合导数的几何意义进行计算，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为函数的图象经过点，
所以，
又，所以，
将的图象向右平移个单位长度后，
所得函数图象的解析式为，
因为的函数图象关于原点对称，
所以，得，
因为，所以当时，取得最小值.
故选：A.
【分析】根据题意，利用，求得，再根据平移变换求出平移后的解析式，然后根据对称性，列出方程，即可求解.
11．【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图所示，正方体中，设其棱长为1，
易知直线与直线平行，所以与所成的角即为与所成的角，
即为，而三角形为正三角形，所以，所以A正确；
同理与平行，与所成的角即为与所成角，即为，三角形为正三角形，所以，所以C错误；
因为，，，平面，平面，
所以平面，所以与所成的角即为，则B错误；
因为与平行，所以与所成角与与所成的角相等，
即为，三角形中，，，
所以不为，则D错误；
故选：A.
【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，以及异面直线所成角的定义及计算方法，逐项判定，即可求解.
12．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】不妨令点P在第一象限，设
因为，在中，则则所以，
在中，则则所以，
在中，则，则所以，
因为，所以所以，所以椭圆C的离心率为.
故答案为：B.
【分析】根据，分别在三角形，，中，利用相似三角形对应边成比例求出再根据得出a，c的关系式，再结合椭圆离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值。
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数的定义域是，定义域关于原点对称；
，
由于为偶函数，
得到恒成立；
即对于恒成立，
所以.
故答案是：.
【分析】根据题，利用偶函数的定义，得出方程是恒等式，进而求参数值，即可得到答案．
14．【答案】11
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件，画出可行域，如图：
令，化为斜截式方程得，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大.
由得，即.
所以点代入目标函数可得最大值，即最大值为.
故答案为：11.
【分析】画出约束条件所表示的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入求得目标函数的最值，即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】棱台的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球O与上底面、下底面分别切于点，
与面，面分别切于点，
作出其截面如图所示，则，，
于是，
过点M作于点H，则，
由勾股定理可得︰，
所以，
所以该四棱台的高是.
故答案为：
【分析】作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，进而求得棱台的高，求得答案.
16．【答案】21
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题，每天织布尺数为等差数列，设为，公差为，则，
因为，，
所以，解得，.
故答案为：21.
【分析】根据题意，得到每天织布尺数构成等差数列，求得等差数列的首项和公差，得出数列的通项公式，进而得到答案.
17．【答案】（1）解：根据题意得：.
有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
（2）解：从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，其中有慢性疾病有人，没有慢性疾病有2人，
设有慢性疾病的4人编号为，没有慢性疾病的2人编号为，
从中任取2人有：共15种情况，
2个人中恰有1个人患有慢性疾病的有共8种情况，
由古典概型的概率公式可得：2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据表中数据，求出的观测值，再与临界值表比较即得.；
（2）首先由分层抽样的得慢性疾病有4人，没有慢性疾病有2人，再列出从6人中任取2人的所有事件，利用古典概型的概率公式求结果，即可得解.
（1）根据题意得：.
有的把握认为该地区70岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
（2）从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，其中有慢性疾病有人，没有慢性疾病有2人，
设有慢性疾病的4人编号为，没有慢性疾病的2人编号为，
从中任取2人有：共15种情况，
2个人中恰有1个人患有慢性疾病的有共8种情况，
由古典概型的概率公式可得：2个人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为.
18．【答案】解：若选择①，由正弦定理，，
同理，
，
又为锐角三角形，，，，
解得，
，即，
所以，
所以面积的取值范围为.
若选择②，由正弦定理，，
，
又为锐角三角形，，，，
解得，，即，
，
所以面积的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】选择①，由正弦定理求出，再根据三角形面积公式求出面积的表达式，消去角，得到角三角函数，利用三角恒等变换化简结合角的范围求得结果；
选择②，由正弦定理求出，代入面积公式，消去角，化简表达式结合角的范围求得结果.
19．【答案】（1）解：数列是首项为2的等比数列，是和的等差中项，
，即，
，，
，解得或（舍），
.
（2）解：由（1）知，
，
的前2023项和.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到，由是首项为2的等比数列且，求出的值，进而求出通项公式；
（2）由（1）得，利用裂项相消法求和，即可求解.
（1）数列是首项为2的等比数列，是和的等差中项，
，即，
，，
，解得或（舍），
；
（2），
，
的前2023项和.
20．【答案】（1）证明：取BD中点为F，连接AF，
因为，所以，且，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，
所以，，且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为，且直线与所成角为，，
所以，
在中，，，
以C为原点，分别为x，y轴的正方向，过点C作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，平面，所以平面，
则，
得，
设为平面的一个法向量，
则，取得，
所以点E到平面的距离.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）通过证明为平行四边形，得到，然后由线面平行判定定理，即可得证；
（2）以C为原点，分别为x，y轴的正方向，过点C作垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再利用向量法的距离公式，即可求解.
（1）取BD中点为F，连接AF，
因为，所以，且，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，
所以，，且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为，且直线与所成角为，，
所以，
在中，，，
以C为原点，分别为x，y轴的正方向，过点C作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，平面，所以平面，
则，
得，
设为平面的一个法向量，
则，取得，
所以点E到平面的距离.
21．【答案】（1）解：当时，．∴．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）解：∵，，，
令，则．
令，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，∴方程有唯一解．
∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．
等价于方程有两个不相等的实数解．
构造函数，则．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，；，．
∴只需要，即．
构造函数，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∵，∴当时，恒成立．
∴的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得函数的导数，结合导数的符号，即可求得函数单调区间即可；
（2）先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简化为方程有两个不相等的实数解，最后对取对变换化简后的方程再构造函数，根据零点个数求参数的取值范围.
（1）当时，．∴．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）∵，，，
令，则．
令，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，∴方程有唯一解．
∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．
等价于方程有两个不相等的实数解．
构造函数，则．
∵，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∵，；，．
∴只需要，即．
构造函数，则．
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∵，∴当时，恒成立．
∴的取值范围为．
22．【答案】（1）解：依题意，
∵曲线的参数方程为（为参数），
∴曲线的普通方程为．
∵直线的极坐标方程为，
∴．
∵，．
∴直线的直角坐标方程为．
（2）解：由（1）知，点在直线上，
∴直线的参数方程为（为参数），
代入得，．
设，是上述方程的两根，
∴，，．
∴．
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】(1)对于曲线C消参数t即可得出普通方程；对于直线 利用和差公式展开 ， 代入，，即可求解出直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
(2)利用参数方程的几何意义即可求解出 的值．
23．【答案】（1）解：依题意，函数，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，无解，
所以不等式的解集为.
（2）证明：由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此，则，，即有，
显然，当且仅当时取等号，
因此，即，
所以.
【知识点】不等式的证明；不等式的解集
【解析】【分析】（1）把函数表示为分段函数的形式，分类讨论求得不等式的解集，即可得到答案.
（2）求出函数的最小值，得到，变形为，结合基本不等式，即可求解.
（1）依题意，函数，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，无解，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此，则，，即有，
显然，当且仅当时取等号，
因此，即，
所以.
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