湖北省宜昌市远安县第一高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
1．（2024高二下·远安月考）曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·远安月考）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度Y和色差X之间满足线性相关关系，且，当色差为31时，估计色度为（ ）
色差X 22 24 25 26 28
色度Y 17 19 20 23 26
A．25.8 B．24.8 C．24 D．23.8
3．（2024高二下·远安月考）二项式的展开式中，项的系数为（ ）
A．448 B．900 C．1120 D．1792
4．（2024高二下·远安月考）设随机变量，，则函数无零点的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5．（2024高二下·远安月考）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·远安月考）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·远安月考）已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为20%，30%，50%，且对应的次品率为1%，2%，3%，则该产品的次品率为（ ）
A．2.3% B．3.3% C．1.3% D．3%
8．（2024高二下·远安月考）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·远安月考）已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B．若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C．若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D．若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
10．（2024高二下·远安月考）下列选项中正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，则
B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是
D．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次
11．（2024高二下·远安月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C．函数在上存在极值点
D．若，则的最大值为
12．（2024高二下·远安月考）某班有40名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，若，则估计该班学生数学成绩不低于分的人数为 ．
13．（2024高二下·远安月考）设，则 .
14．（2024高二下·远安月考）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列，若数列的前项和为，则 .
15．（2024高二下·远安月考）已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）试讨论函数的单调性．
16．（2024高二下·远安月考）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近10年投入的年研发费用千万元与年销售量千万件的数据，得到散点如图，对数据作出如下处理：令，得到相关统计量的值如表：
30.5 15 15 46.5
附：线性回归方程中，，.
（1）利用散点图判断和哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出与的回归方程；
（2）已知企业年利润千万元与的关系式为（其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
17．（2024高二下·远安月考）在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破.类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的语音识别和语言理解能力.某机构分别用，两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中人工智能大模型回答100个问题，有90个正确；人工智能大模型回答剩下的80个问题，有65个正确.
（1）完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？
回答正确 回答错误 合计
人工智能大模型
人工智能大模型
合计
（2）将频率视为概率，用人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及参考数据：，.
0.15 0.10 0.05 0.010
2.072 2.706 3.841 6.635
18．（2024高二下·远安月考）已知函数．
（1）若函数有三个零点，求a的取值范围．
（2）若，证明：．
19．（2024高二下·远安月考）平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目．
（1）若，求的分布列；
（2）定义随机变量，当时，求的分布列与期望；
（3）当时，求的最小值，使得．
（参考公式：若，则）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由题意，可得，所以，因此切线的斜率为，
又，由点斜式可得切线方程为，
故选：B.
【分析】根据题意，求导得切线的斜率，再结合点斜式，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由题意得，，，
将代入，即，解得，
所以，当时，.故A正确.
故选：A.
【分析】根据题意，求得数据的样本中心，代入回归直线方程求出，结合回归直线方程，即可作出预测，得到答案.
3．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：该二项展开式通项为
令，则，则项的系数为
故选：D．
【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，进而求得项的系数，得到答案.
4．【答案】B
【知识点】概率与函数的综合
【解析】【解答】解：由函数无零点，所以，解得，
又由，所以.
故选：B.
【分析】根据题意，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：设表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，
，
表示事件“抽到两名女同学”，则，
故.
故选：A.
【分析】设表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”， 分别求出，，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意，可得在上恒成立，
整理可得：，
函数在上递减，所以，所以，
故选：C.
【分析】根据题意，转化为，进而得出恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设产品是次品为事件，该产品是哪家公司的产品分别为事件，，，
则.
故选：A.
【分析】根据题意，利用全概率公式直接计算，即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：对于A中，令，即．
因为满足，所以在区间上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误；
对于B中，令，即．
易判断在区间上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C中，由，得，
易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；
当时，单调递减，且；
当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点．
所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误；
对于D中，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点，
即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确．
故选：D.
【分析】根据题意，利用“不动点”函数的概念，转化为方程有根或对应函数有零点的问题，结合图象，逐项判定、求解，对于函数的新定义问题，把问题合理转化为研究新函数的零点问题，还可以转化为两函数交点问题是解答的关键.
9．【答案】A,C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A中：甲不能排在最后，则甲有种排法，剩下乙、丙、丁、戊4个人全排有种排法，
所以排队方法有种，故A正确；
对于B中：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有种排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有种排法；
则所有的排队方法有种，故B错误；
对于C中：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余3人放在一起排队，
则共有种排队方法，故C正确；
对于D中：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊3个人，有种排法，在形成的4个空中，再排甲乙，有种排队方法，
故共有种排队方法，故D错误.
故选：AC.
【分析】先安排特殊的人甲或甲、乙，再安排其它人，可判定A、B项；采用捆绑法，将甲和乙捆绑在一起，再和剩余3人放在一起排队，可判定C项；采用插空法，先安排丙、丁、戊3个人，在形成的4个空中，再排甲乙，可判定D项.
10．【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A中，，，，A错误；
B中，X服从超几何分布，，，B正确；
C中，根据题意，设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则
，，，故C正确；
D中，设9次射击击中k次概率最大，
则，解得，所以同时最大，故或，D错误．
故选：BC．
【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式分别判断A、B，由条件概率与对立事件关系可判断C，由二项分布的性质可判断D．
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A中，的定义域为，令，
则当时，；
当时，即在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递增，故A正确；
对于B中，由知在上单调递增，由得，则当时，，令，则当时，；当时，在上单调递增，
在上单调递减，，即的最小值为，故B正确；
对于C中，函数的定义域为，令，
则当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，无极值点，故C错误；
对于D中，若，
则，
由知：均为定义域上的增函数，，
由得，，令，则当时，；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用导数求得函数的单调性，可判定A正确；构造新函数，结合函数的单调性与极值，可得判定B正确；求得，令，进而求得函数的单调性与最值，得出单调性，可判定C不正确；令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.
12．【答案】8
【知识点】总体分布的估计
【解析】【解答】解：由题意得数学成绩，
所以由，可得，
所以，
所以估计该班学生数学成绩不低于120分的人数为.
故答案为：.
【分析】根据题意知正态曲线关于对称，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
13．【答案】
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令得，所以，
令得，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，分别令和，求得及，两式相减，即可求解.
14．【答案】2059
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示：
使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，
设位于第，则，所以，，
且第行最后一项在数列中的项数为，
所以，位于杨辉三角数阵的第行第个，
第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为，
因此，
.
故答案为．
【分析】
将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加即可，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题．
15．【答案】（1）解：若，，定义域为，
则，令，可得，
由，可得，所以在上单调递增，
由，可得，所以在上单调递减，
所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；
（2）解：的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减，
当时，令，可得或，
因为，所以舍去，
所以当时，，
则在上单调递减，
所以当时，，
则在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用单调性研究函数的极值.
（1）当，先求出导函数，令可求出方程的根，令和，可求出函数的单调区间，据此可求出函数的极值；
（2）先求出导函数，分两种情况：当时；当时；讨论导函数导函数的正负，据此可求出函数的单调区间.
16．【答案】（1）由散点图可知，选择更合适，对两边取对数，得，即，由表中数据得，，，所以，所以年销售量关于年研发费用的回归方程为； （2）解：由（1）知，，，令，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，年利润取得最大值，为亿元.故要使得年利润最大，预计下一年度应投入亿元研发费用.
（1）解：由散点图可知，选择更合适，对两边取对数，得，即，
由表中数据得，，
，所以，
所以年销售量关于年研发费用的回归方程为；
（2）解：由（1）知，，，
令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，年利润取得最大值，为亿元.
故要使得年利润最大，预计下一年度应投入亿元研发费用.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；可线性化的回归分析
【解析】【分析】（1）根据散点图的形状，直接选择函数类型，两边取对数后，利用换元法和表格中的参考数据，求回归方程；
（2）由（1）知，利用导数求函数的单调性和极大值点，即可求解.
17．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下表所示：
回答正确 回答错误 合计
人工智能大模型 90 10 100
人工智能大模型 65 15 80
合计 155 25 180
零假设：人工智能大模型的选择和回答正确无关.
故可得：，
故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关.
（2）解：由题意知，人工智能大模型回答题目正确的概率为，
所以随机变量，
所以，，
，.
故的分布列如下所示：
0 1 2 3
所以期望为.
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，得到的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.
（1）解：根据题意可得列联表如下表所示：
回答正确 回答错误 合计
人工智能大模型 90 10 100
人工智能大模型 65 15 80
合计 155 25 180
零假设：人工智能大模型的选择和回答正确无关.
故可得：，
故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关.
（2）解：由题意知，人工智能大模型回答题目正确的概率为，
所以随机变量，
所以，，
，.
故的分布列如下所示：
0 1 2 3
所以期望为.
18．【答案】（1）解：令，则，记
令，得
当时，，时，，时，
所以当时，取得极大值，时，取得极大值，
因为函数有三个零点与有三个交点，
所以，即 a的取值范围为.
（2）证明：记
记
则
记
则
易知在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增
因为，记
所以
由（1）可知，
所以，即
又，所以
因为，所以
由（1）知在区间上单调递增，所以，即
所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 令，再结合指数与对数互化公式，得出 ，记，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合函数有三个零点与有三个交点，从而得出实数a的取值范围。
（2） 记，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数在区间上单调递增，再利用，记，所以，由（1）可知，，再结合函数的单调性得出，再利用，所以，再利用，所以，由（1）知在区间上单调递增，所，进而证出不等式成立。
19．【答案】（1）解：当时的可能取值为、、，
，，
，
所以的分布列为：
（2）解：对于，则，，
所以的分布列为：
所以期望；
对于，则，，
所以的分布列为：
所以期望；
（3）解：依题意可得，
所以，
由，即，解得，又，所以的最小值为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）依题意，得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列；
（2）分，两种情况讨论，分别求出分布列与数学期望；
（3）结合（2）可得，从而求出的取值范围，即可得解.
（1）当时的可能取值为、、，
，，
，
所以的分布列为：
（2）对于，则，，
所以的分布列为：
所以期望；
对于，则，，
所以的分布列为：
所以期望；
（3）依题意可得，
所以，
由，即，解得，又，所以的最小值为.
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1．（2024高二下·远安月考）曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：由题意，可得，所以，因此切线的斜率为，
又，由点斜式可得切线方程为，
故选：B.
【分析】根据题意，求导得切线的斜率，再结合点斜式，即可求解.
2．（2024高二下·远安月考）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度Y和色差X之间满足线性相关关系，且，当色差为31时，估计色度为（ ）
色差X 22 24 25 26 28
色度Y 17 19 20 23 26
A．25.8 B．24.8 C．24 D．23.8
【答案】A
【知识点】回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由题意得，，，
将代入，即，解得，
所以，当时，.故A正确.
故选：A.
【分析】根据题意，求得数据的样本中心，代入回归直线方程求出，结合回归直线方程，即可作出预测，得到答案.
3．（2024高二下·远安月考）二项式的展开式中，项的系数为（ ）
A．448 B．900 C．1120 D．1792
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：该二项展开式通项为
令，则，则项的系数为
故选：D．
【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，进而求得项的系数，得到答案.
4．（2024高二下·远安月考）设随机变量，，则函数无零点的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【知识点】概率与函数的综合
【解析】【解答】解：由函数无零点，所以，解得，
又由，所以.
故选：B.
【分析】根据题意，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
5．（2024高二下·远安月考）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：设表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，
，
表示事件“抽到两名女同学”，则，
故.
故选：A.
【分析】设表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”， 分别求出，，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.
6．（2024高二下·远安月考）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意，可得在上恒成立，
整理可得：，
函数在上递减，所以，所以，
故选：C.
【分析】根据题意，转化为，进而得出恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
7．（2024高二下·远安月考）已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为20%，30%，50%，且对应的次品率为1%，2%，3%，则该产品的次品率为（ ）
A．2.3% B．3.3% C．1.3% D．3%
【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设产品是次品为事件，该产品是哪家公司的产品分别为事件，，，
则.
故选：A.
【分析】根据题意，利用全概率公式直接计算，即可得到答案.
8．（2024高二下·远安月考）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：对于A中，令，即．
因为满足，所以在区间上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误；
对于B中，令，即．
易判断在区间上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C中，由，得，
易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；
当时，单调递减，且；
当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点．
所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误；
对于D中，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点，
即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确．
故选：D.
【分析】根据题意，利用“不动点”函数的概念，转化为方程有根或对应函数有零点的问题，结合图象，逐项判定、求解，对于函数的新定义问题，把问题合理转化为研究新函数的零点问题，还可以转化为两函数交点问题是解答的关键.
9．（2024高二下·远安月考）已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A．若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B．若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C．若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D．若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
【答案】A,C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：对于A中：甲不能排在最后，则甲有种排法，剩下乙、丙、丁、戊4个人全排有种排法，
所以排队方法有种，故A正确；
对于B中：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有种排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有种排法；
则所有的排队方法有种，故B错误；
对于C中：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余3人放在一起排队，
则共有种排队方法，故C正确；
对于D中：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊3个人，有种排法，在形成的4个空中，再排甲乙，有种排队方法，
故共有种排队方法，故D错误.
故选：AC.
【分析】先安排特殊的人甲或甲、乙，再安排其它人，可判定A、B项；采用捆绑法，将甲和乙捆绑在一起，再和剩余3人放在一起排队，可判定C项；采用插空法，先安排丙、丁、戊3个人，在形成的4个空中，再排甲乙，可判定D项.
10．（2024高二下·远安月考）下列选项中正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，则
B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望
C．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是
D．某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次
【答案】B,C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A中，，，，A错误；
B中，X服从超几何分布，，，B正确；
C中，根据题意，设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则
，，，故C正确；
D中，设9次射击击中k次概率最大，
则，解得，所以同时最大，故或，D错误．
故选：BC．
【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式分别判断A、B，由条件概率与对立事件关系可判断C，由二项分布的性质可判断D．
11．（2024高二下·远安月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C．函数在上存在极值点
D．若，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A中，的定义域为，令，
则当时，；
当时，即在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递增，故A正确；
对于B中，由知在上单调递增，由得，则当时，，令，则当时，；当时，在上单调递增，
在上单调递减，，即的最小值为，故B正确；
对于C中，函数的定义域为，令，
则当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，无极值点，故C错误；
对于D中，若，
则，
由知：均为定义域上的增函数，，
由得，，令，则当时，；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【分析】利用导数求得函数的单调性，可判定A正确；构造新函数，结合函数的单调性与极值，可得判定B正确；求得，令，进而求得函数的单调性与最值，得出单调性，可判定C不正确；令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.
12．（2024高二下·远安月考）某班有40名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，若，则估计该班学生数学成绩不低于分的人数为 ．
【答案】8
【知识点】总体分布的估计
【解析】【解答】解：由题意得数学成绩，
所以由，可得，
所以，
所以估计该班学生数学成绩不低于120分的人数为.
故答案为：.
【分析】根据题意知正态曲线关于对称，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
13．（2024高二下·远安月考）设，则 .
【答案】
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令得，所以，
令得，
所以，所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，分别令和，求得及，两式相减，即可求解.
14．（2024高二下·远安月考）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：.记作数列，若数列的前项和为，则 .
【答案】2059
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：将数列中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角形数阵，如下所示：
使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为，
设位于第，则，所以，，
且第行最后一项在数列中的项数为，
所以，位于杨辉三角数阵的第行第个，
第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为，依此类推，第行各项的和为，
因此，
.
故答案为．
【分析】
将数列排列成杨辉三角数阵，使得每行的项数与行的相等，并计算出每行的各项之和，然后确定数列第所处的行数与项的序数，然后利用规律将这些项全部相加即可，解决这类问题关键在于确定所找的项所在杨辉三角所处的位置，并利用规律来解题．
15．（2024高二下·远安月考）已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）试讨论函数的单调性．
【答案】（1）解：若，，定义域为，
则，令，可得，
由，可得，所以在上单调递增，
由，可得，所以在上单调递减，
所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；
（2）解：的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减，
当时，令，可得或，
因为，所以舍去，
所以当时，，
则在上单调递减，
所以当时，，
则在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用单调性研究函数的极值.
（1）当，先求出导函数，令可求出方程的根，令和，可求出函数的单调区间，据此可求出函数的极值；
（2）先求出导函数，分两种情况：当时；当时；讨论导函数导函数的正负，据此可求出函数的单调区间.
16．（2024高二下·远安月考）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近10年投入的年研发费用千万元与年销售量千万件的数据，得到散点如图，对数据作出如下处理：令，得到相关统计量的值如表：
30.5 15 15 46.5
附：线性回归方程中，，.
（1）利用散点图判断和哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出与的回归方程；
（2）已知企业年利润千万元与的关系式为（其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
【答案】（1）由散点图可知，选择更合适，对两边取对数，得，即，由表中数据得，，，所以，所以年销售量关于年研发费用的回归方程为； （2）解：由（1）知，，，令，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，年利润取得最大值，为亿元.故要使得年利润最大，预计下一年度应投入亿元研发费用.
（1）解：由散点图可知，选择更合适，对两边取对数，得，即，
由表中数据得，，
，所以，
所以年销售量关于年研发费用的回归方程为；
（2）解：由（1）知，，，
令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，年利润取得最大值，为亿元.
故要使得年利润最大，预计下一年度应投入亿元研发费用.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；可线性化的回归分析
【解析】【分析】（1）根据散点图的形状，直接选择函数类型，两边取对数后，利用换元法和表格中的参考数据，求回归方程；
（2）由（1）知，利用导数求函数的单调性和极大值点，即可求解.
17．（2024高二下·远安月考）在科技飞速发展的今天，人工智能领域迎来革命性的突破.类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点，它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类，更是拥有强大的语音识别和语言理解能力.某机构分别用，两种人工智能大模型进行对比研究，检验这两种大模型在答题时哪种更可靠，从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答，其中人工智能大模型回答100个问题，有90个正确；人工智能大模型回答剩下的80个问题，有65个正确.
（1）完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关？
回答正确 回答错误 合计
人工智能大模型
人工智能大模型
合计
（2）将频率视为概率，用人工智能大模型回答该知识领域的3道题目，且各题回答正确与否，相互之间没有影响，设回答题目正确的个数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及参考数据：，.
0.15 0.10 0.05 0.010
2.072 2.706 3.841 6.635
【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下表所示：
回答正确 回答错误 合计
人工智能大模型 90 10 100
人工智能大模型 65 15 80
合计 155 25 180
零假设：人工智能大模型的选择和回答正确无关.
故可得：，
故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关.
（2）解：由题意知，人工智能大模型回答题目正确的概率为，
所以随机变量，
所以，，
，.
故的分布列如下所示：
0 1 2 3
所以期望为.
【知识点】实际推断原理和假设检验；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，得到的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，得到随机变量，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.
（1）解：根据题意可得列联表如下表所示：
回答正确 回答错误 合计
人工智能大模型 90 10 100
人工智能大模型 65 15 80
合计 155 25 180
零假设：人工智能大模型的选择和回答正确无关.
故可得：，
故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关.
（2）解：由题意知，人工智能大模型回答题目正确的概率为，
所以随机变量，
所以，，
，.
故的分布列如下所示：
0 1 2 3
所以期望为.
18．（2024高二下·远安月考）已知函数．
（1）若函数有三个零点，求a的取值范围．
（2）若，证明：．
【答案】（1）解：令，则，记
令，得
当时，，时，，时，
所以当时，取得极大值，时，取得极大值，
因为函数有三个零点与有三个交点，
所以，即 a的取值范围为.
（2）证明：记
记
则
记
则
易知在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增
因为，记
所以
由（1）可知，
所以，即
又，所以
因为，所以
由（1）知在区间上单调递增，所以，即
所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 令，再结合指数与对数互化公式，得出 ，记，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合函数有三个零点与有三个交点，从而得出实数a的取值范围。
（2） 记，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数在区间上单调递增，再利用，记，所以，由（1）可知，，再结合函数的单调性得出，再利用，所以，再利用，所以，由（1）知在区间上单调递增，所，进而证出不等式成立。
19．（2024高二下·远安月考）平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目．
（1）若，求的分布列；
（2）定义随机变量，当时，求的分布列与期望；
（3）当时，求的最小值，使得．
（参考公式：若，则）
【答案】（1）解：当时的可能取值为、、，
，，
，
所以的分布列为：
（2）解：对于，则，，
所以的分布列为：
所以期望；
对于，则，，
所以的分布列为：
所以期望；
（3）解：依题意可得，
所以，
由，即，解得，又，所以的最小值为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）依题意，得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列；
（2）分，两种情况讨论，分别求出分布列与数学期望；
（3）结合（2）可得，从而求出的取值范围，即可得解.
（1）当时的可能取值为、、，
，，
，
所以的分布列为：
（2）对于，则，，
所以的分布列为：
所以期望；
对于，则，，
所以的分布列为：
所以期望；
（3）依题意可得，
所以，
由，即，解得，又，所以的最小值为.
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