江西省新余市第四中学2023-2024学年高二下学期第二次段考数学试题
1．（2024高二下·新余月考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：由特称命题的否定知原命题的否定为：，.
故选：C.
【分析】根据特称命题的否定，准确改写，即可求解.
2．（2024高二下·新余月考）已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，，为正项等比数列，
所以，解得.
故选：B．
【分析】根据题意，利用等比数列和的性质，即可求解.
3．（2024高二下·新余月考）函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】从函数的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0，
根据导数的几何意义可得：，即，
故选：C.
【分析】根据图象观察斜率的大小，结合导数的几何意义，结合选项，即可求解.
4．（2024高二下·新余月考）若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：∵，∴，∴，故A错误；
∵，∴，∴．
∵，∴，故B正确；
∵，∴．故C错误；
令，此时．故D错误．
故选：B．
【分析】
利用不等式的性质判断，可判定A；利用基本不等式判断，可判定B；利用指数函数的性质判断，可判定C；利用举例法，可判定D.
5．（2024高二下·新余月考）已知数列中，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：由可得①，
当时，②，
将②式代入①式可得，，即，
即数列的项的周期为，故.
故选：A.
【分析】根据题意，推得，得到数列周期为3，结合数列的周期性，即可求得的值，得到答案.
6．（2024高二下·新余月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，函数定义域为，则，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减.
因，且，故，即，
即，则，故.
故选：A.
【分析】根据三个对数值的特点，构造函数，求导得到函数的单调性，利用函数在上的单调性和对数运算性质，化简计算即可比较大小.
7．（2024高二下·新余月考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】B
【知识点】等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，且为正整数，
所以，所以令，
所以，，
所以，又，故．
故选：B．
【分析】根据题意，得到，化简得到，令，求得，进而可求得答案.
8．（2024高二下·新余月考）设函数，其中，存在使得成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：函数f(x)可以看作动点P(x，ln x2)与点Q(a，2a)的距离的平方，点P在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y=2ln x求导可得 ，令y'=2，解得x=1，此时y=2ln 1=0，则M(1，0)，所以点M(1，0)到直线y=2x的距离 即为直线与曲线之间最小的距离，故 .
由于存在x0使得f(x0) b，则f(x)min b，即 ，
故选：C.
【分析】根据题意，转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式，即可求解.
9．（2024高二下·新余月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，解不等式得，又因为.
对于A，由题意得，故A错误；
对于B，由上已证可知B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误；
故选：BC.
【分析】根据不等式的解法，求得集合，利用集合关系包含与集合运算法则，对各选项逐一分析，即可求解.
10．（2024高二下·新余月考）已知函数.则下列说法正确的有（ ）
A．函数有两个零点
B．函数的单调递减区间为和
C．函数有极大值
D．若关于的方程有三个不同的根.则实数的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，令，所以函数只有一个零点，故A错误；
对于B，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，所以当时，，
所以函数在上单调递减，故B正确；
对于C，由B可知函数在处取得极大值为，故C正确；
对于D，由B可知函数在处取得极小值，由C可知极大值为
又当时，当时，如图，
所以关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是，故D正确；
故选：BCD.
【分析】
令，求得方程的解，可判定A；求得函数的导数，判定和时导数正负，求出函数单调性，进而得解，可判定B；由选项B求出函数的单调性，结合极值的定义，可判定C；分析函数值情况，利用树形结合，可判定D.
11．（2024高二下·新余月考）已知数列满足：，记前项和为，下列选项正确的是（ ）
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由可得，，
设，则，
由可得，，即，于是，，
设，则，即在上单调递增，
依题意，可将看成函数图象上的前后两点，
则，即数列都是单调数列.
又，
由可得，数列是单调递增数列，数列是单调递减数列，
因是增函数，故得是单调递增数列，是单调递减数列，即A正确；
对于B，由可得，
则（*），
因当时，，则，
故时，，于是，由（*）可得，故B正确；
对于C，由B项已得，
则，故C错误；
对于D，因时，，假设（）时，成立，
则时，，
即对恒成立；
又因，假设（）时，成立，
则时，，
即对恒成立，
故得，因是增函数，故，即D正确.
故选：ABD.
【分析】设，得到，构造函数，求得，得出数列都是单调数列，由特值检验得知递增，递减，由为增函数可得A正确；将表示成，利用即得B正确；利用B项结论可推得，故排除C；最后利用数学归纳法证得，推理即得.
12．（2024高二下·新余月考）数列的前100项和等于 .
【答案】100
【知识点】等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【解答】解：数列的前100项和等于：
.
故答案为：100.
【分析】根据摆动数列特点，将数列的前100项和进行分组求和，利用等差数列求和公式计算，即可求解.
13．（2024高二下·新余月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】充分条件；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：在上单调递增
在上恒成立.
即在上恒成立，
所以：.
又是的充分不必要条件，
即.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用导数求得命题，再由是的充分不必要条件，结合集合的包含关系，即可求解.
14．（2024高二下·新余月考）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则 的取值范围是 ．
【答案】[e，7]
【知识点】不等式的综合
【解析】【解答】解：∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴5﹣3a≤4﹣a，
∴a≥ ．
∵5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴ ﹣3≤ ≤ ﹣1．
从而 ≤7，
∵lnb≥a，∴ ≥ （b≥ ），
设f（x）= （x≥ ），则f′（x）= ，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，
∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．
∴f（x）min=f（e）=e．
∴ ≥e，
∴ 的取值范围是[e，7]．
故答案为：[e，7]．
【分析】由题意可求得 ≤7；由lnb≥a可得 ≥ （b≥ ），设函数f（x）= （x≥ ），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是 的最小值，于是问题解决．
15．（2024高二下·新余月考）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】（1）已知 ，即 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 可得， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
16．（2024高二下·新余月考）将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.
（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数；
（2）多大时，盒子的容积最大？并求出最大值.
【答案】（1）解：如图，，
则盒子的高，
所以盒子的底面积，
所以盒子的容积，
（2）解：由（1）可得，
所以，
令，解得（舍去），
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时取得极大值，即最大值，
所以当米时，盒子的容积最大为立方米.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据投影仪，求出盒子的高、盒子的底面积，结合柱体的体积公式，即可得出函数的关系式；
（2）由（1）可得，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到答案.
（1）如图，，
则盒子的高，
所以盒子的底面积，
所以盒子的容积，
（2）由（1）可得，
所以，
令，解得（舍去），
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时取得极大值，即最大值，
所以当米时，盒子的容积最大为立方米.
17．（2024高二下·新余月考）已知函数的图象在点处的切线经过点.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）解：因为，则，
所以，则切线方程为，
即，
令，解得，所以.
（2）解：由（1）可得，.
方法一：
所以，
则，
两式相减得，
故
，
所以由可得，
故；
方法二：
，
所以.
所以由可得，
故.
【知识点】导数的几何意义；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程求得切线方程，令，即可求得；
（2）由（1）可得.方法一，利用错位相减求和可得答案；方法二，利用裂项相消求和可得答案.
（1）因为，则，
所以，则切线方程为，
即，
令，解得，所以；
（2）由（1）可得，.
方法一：
所以，
则，
两式相减得，
故
，
所以由可得，
故；
方法二：
，
所以.
.
所以由可得，
故.
18．（2024高二下·新余月考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由已知可得函数，.
①当时， 当时，，时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
②当时，当时，，
或时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增；
④当时，当时，，或时，；
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由题意，恒成立，因，即恒成立.即需求在上的最大值.
令，，则，
令，，则，
即在上单调递减，
又，所以在上存在唯一的使（*），
当时，，即则在上单调递增；
当时，，即则在上单调递减.
故在时取得最大值，为，
又由（*）可得，，故，
两边取对数得：，
令，由知在定义域内单调递增，
故由可得，，即，
所以，
故，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据题意，求得函数的导数，根据参数进行分类讨论，即可求得函数的单调性区间；
（2）将不等式进行等价变形得到在上恒成立，接着通过构造函数，求其在上的最大值，其间，先分析推出其在时取得最大值，为，由，变形求对数，并利用同构思想和函数单调性推出，从而求得，即得的取值范围.
（1）由已知可得函数，.
①当时， 当时，，时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
②当时，当时，，
或时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增；
④当时，当时，，或时，；
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意，恒成立，因，即恒成立.
即需求在上的最大值.
令，，则，
令，，则，
即在上单调递减，
又，所以在上存在唯一的使（*），
当时，，即则在上单调递增；
当时，，即则在上单调递减.
故在时取得最大值，为，
又由（*）可得，，故，
两边取对数得：，
令，由知在定义域内单调递增，
故由可得，，即，
所以，
故，即.
19．（2024高二下·新余月考） 已知数列，记集合.
（1）若数列为，写出集合；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
【答案】（1）解：由题意可得，，，
所以.
（2）解：假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）解：首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.
【知识点】集合的含义；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）理解题意，根据题目给出的集合的定义求解即可；
（2）假设存在，使得，进行计算检验即可；
（3）分别证明时，对任意的都有，和证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
1 / 1江西省新余市第四中学2023-2024学年高二下学期第二次段考数学试题
1．（2024高二下·新余月考）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024高二下·新余月考）已知正项等比数列的前n项和为，，，则的公比为( )
A．1 B． C．2 D．4
3．（2024高二下·新余月考）函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·新余月考）若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·新余月考）已知数列中，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．（2024高二下·新余月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·新余月考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
8．（2024高二下·新余月考）设函数，其中，存在使得成立，则实数的最小值为
A． B． C． D．1
9．（2024高二下·新余月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·新余月考）已知函数.则下列说法正确的有（ ）
A．函数有两个零点
B．函数的单调递减区间为和
C．函数有极大值
D．若关于的方程有三个不同的根.则实数的取值范围是
11．（2024高二下·新余月考）已知数列满足：，记前项和为，下列选项正确的是（ ）
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
12．（2024高二下·新余月考）数列的前100项和等于 .
13．（2024高二下·新余月考）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 .
14．（2024高二下·新余月考）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则 的取值范围是 ．
15．（2024高二下·新余月考）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
16．（2024高二下·新余月考）将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.
（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数；
（2）多大时，盒子的容积最大？并求出最大值.
17．（2024高二下·新余月考）已知函数的图象在点处的切线经过点.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求证：.
18．（2024高二下·新余月考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024高二下·新余月考） 已知数列，记集合.
（1）若数列为，写出集合；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：由特称命题的否定知原命题的否定为：，.
故选：C.
【分析】根据特称命题的否定，准确改写，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，，为正项等比数列，
所以，解得.
故选：B．
【分析】根据题意，利用等比数列和的性质，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】从函数的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0，
根据导数的几何意义可得：，即，
故选：C.
【分析】根据图象观察斜率的大小，结合导数的几何意义，结合选项，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：∵，∴，∴，故A错误；
∵，∴，∴．
∵，∴，故B正确；
∵，∴．故C错误；
令，此时．故D错误．
故选：B．
【分析】
利用不等式的性质判断，可判定A；利用基本不等式判断，可判定B；利用指数函数的性质判断，可判定C；利用举例法，可判定D.
5．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：由可得①，
当时，②，
将②式代入①式可得，，即，
即数列的项的周期为，故.
故选：A.
【分析】根据题意，推得，得到数列周期为3，结合数列的周期性，即可求得的值，得到答案.
6．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，函数定义域为，则，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减.
因，且，故，即，
即，则，故.
故选：A.
【分析】根据三个对数值的特点，构造函数，求导得到函数的单调性，利用函数在上的单调性和对数运算性质，化简计算即可比较大小.
7．【答案】B
【知识点】等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，且为正整数，
所以，所以令，
所以，，
所以，又，故．
故选：B．
【分析】根据题意，得到，化简得到，令，求得，进而可求得答案.
8．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：函数f(x)可以看作动点P(x，ln x2)与点Q(a，2a)的距离的平方，点P在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y=2ln x求导可得 ，令y'=2，解得x=1，此时y=2ln 1=0，则M(1，0)，所以点M(1，0)到直线y=2x的距离 即为直线与曲线之间最小的距离，故 .
由于存在x0使得f(x0) b，则f(x)min b，即 ，
故选：C.
【分析】根据题意，转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式，即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，解不等式得，又因为.
对于A，由题意得，故A错误；
对于B，由上已证可知B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误；
故选：BC.
【分析】根据不等式的解法，求得集合，利用集合关系包含与集合运算法则，对各选项逐一分析，即可求解.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，令，所以函数只有一个零点，故A错误；
对于B，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，所以当时，，
所以函数在上单调递减，故B正确；
对于C，由B可知函数在处取得极大值为，故C正确；
对于D，由B可知函数在处取得极小值，由C可知极大值为
又当时，当时，如图，
所以关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是，故D正确；
故选：BCD.
【分析】
令，求得方程的解，可判定A；求得函数的导数，判定和时导数正负，求出函数单调性，进而得解，可判定B；由选项B求出函数的单调性，结合极值的定义，可判定C；分析函数值情况，利用树形结合，可判定D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由可得，，
设，则，
由可得，，即，于是，，
设，则，即在上单调递增，
依题意，可将看成函数图象上的前后两点，
则，即数列都是单调数列.
又，
由可得，数列是单调递增数列，数列是单调递减数列，
因是增函数，故得是单调递增数列，是单调递减数列，即A正确；
对于B，由可得，
则（*），
因当时，，则，
故时，，于是，由（*）可得，故B正确；
对于C，由B项已得，
则，故C错误；
对于D，因时，，假设（）时，成立，
则时，，
即对恒成立；
又因，假设（）时，成立，
则时，，
即对恒成立，
故得，因是增函数，故，即D正确.
故选：ABD.
【分析】设，得到，构造函数，求得，得出数列都是单调数列，由特值检验得知递增，递减，由为增函数可得A正确；将表示成，利用即得B正确；利用B项结论可推得，故排除C；最后利用数学归纳法证得，推理即得.
12．【答案】100
【知识点】等差数列的前n项和；等差关系的确定
【解析】【解答】解：数列的前100项和等于：
.
故答案为：100.
【分析】根据摆动数列特点，将数列的前100项和进行分组求和，利用等差数列求和公式计算，即可求解.
13．【答案】
【知识点】充分条件；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：在上单调递增
在上恒成立.
即在上恒成立，
所以：.
又是的充分不必要条件，
即.
故答案为：.
【分析】根据题意，利用导数求得命题，再由是的充分不必要条件，结合集合的包含关系，即可求解.
14．【答案】[e，7]
【知识点】不等式的综合
【解析】【解答】解：∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴5﹣3a≤4﹣a，
∴a≥ ．
∵5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴ ﹣3≤ ≤ ﹣1．
从而 ≤7，
∵lnb≥a，∴ ≥ （b≥ ），
设f（x）= （x≥ ），则f′（x）= ，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，
∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．
∴f（x）min=f（e）=e．
∴ ≥e，
∴ 的取值范围是[e，7]．
故答案为：[e，7]．
【分析】由题意可求得 ≤7；由lnb≥a可得 ≥ （b≥ ），设函数f（x）= （x≥ ），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是 的最小值，于是问题解决．
15．【答案】（1）已知 ，即 ①，
当 时， ②，
①-②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）中 可得， ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时 ．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）由（1）及等比中项的性质求出a1，即可得到{an}的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．
16．【答案】（1）解：如图，，
则盒子的高，
所以盒子的底面积，
所以盒子的容积，
（2）解：由（1）可得，
所以，
令，解得（舍去），
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时取得极大值，即最大值，
所以当米时，盒子的容积最大为立方米.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据投影仪，求出盒子的高、盒子的底面积，结合柱体的体积公式，即可得出函数的关系式；
（2）由（1）可得，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到答案.
（1）如图，，
则盒子的高，
所以盒子的底面积，
所以盒子的容积，
（2）由（1）可得，
所以，
令，解得（舍去），
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时取得极大值，即最大值，
所以当米时，盒子的容积最大为立方米.
17．【答案】（1）解：因为，则，
所以，则切线方程为，
即，
令，解得，所以.
（2）解：由（1）可得，.
方法一：
所以，
则，
两式相减得，
故
，
所以由可得，
故；
方法二：
，
所以.
所以由可得，
故.
【知识点】导数的几何意义；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）求出、，由直线的点斜式方程求得切线方程，令，即可求得；
（2）由（1）可得.方法一，利用错位相减求和可得答案；方法二，利用裂项相消求和可得答案.
（1）因为，则，
所以，则切线方程为，
即，
令，解得，所以；
（2）由（1）可得，.
方法一：
所以，
则，
两式相减得，
故
，
所以由可得，
故；
方法二：
，
所以.
.
所以由可得，
故.
18．【答案】（1）解：由已知可得函数，.
①当时， 当时，，时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
②当时，当时，，
或时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增；
④当时，当时，，或时，；
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：由题意，恒成立，因，即恒成立.即需求在上的最大值.
令，，则，
令，，则，
即在上单调递减，
又，所以在上存在唯一的使（*），
当时，，即则在上单调递增；
当时，，即则在上单调递减.
故在时取得最大值，为，
又由（*）可得，，故，
两边取对数得：，
令，由知在定义域内单调递增，
故由可得，，即，
所以，
故，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据题意，求得函数的导数，根据参数进行分类讨论，即可求得函数的单调性区间；
（2）将不等式进行等价变形得到在上恒成立，接着通过构造函数，求其在上的最大值，其间，先分析推出其在时取得最大值，为，由，变形求对数，并利用同构思想和函数单调性推出，从而求得，即得的取值范围.
（1）由已知可得函数，.
①当时， 当时，，时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
②当时，当时，，
或时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增；
④当时，当时，，或时，；
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意，恒成立，因，即恒成立.
即需求在上的最大值.
令，，则，
令，，则，
即在上单调递减，
又，所以在上存在唯一的使（*），
当时，，即则在上单调递增；
当时，，即则在上单调递减.
故在时取得最大值，为，
又由（*）可得，，故，
两边取对数得：，
令，由知在定义域内单调递增，
故由可得，，即，
所以，
故，即.
19．【答案】（1）解：由题意可得，，，
所以.
（2）解：假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）解：首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.
【知识点】集合的含义；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【分析】（1）理解题意，根据题目给出的集合的定义求解即可；
（2）假设存在，使得，进行计算检验即可；
（3）分别证明时，对任意的都有，和证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
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